n個(gè)串并聯(lián)自感線圈等效自感系數(shù)的計(jì)算

1、n 個(gè)串并聯(lián)線圈等效自感系數(shù)的計(jì)算摘要：本文首先闡述了自感現(xiàn)象、 互感現(xiàn)象的概念。 然后運(yùn)用等效自感電動(dòng)勢法以 及串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的特點(diǎn) , 分別對(duì) n 個(gè)線圈串聯(lián)和并聯(lián)的總等效自感系數(shù)進(jìn)行 分析和討論 , 進(jìn)而得出比較簡單的總等效自感系數(shù)的計(jì)算式。 這對(duì)分析復(fù)雜的混連電 路有一定的指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞： 串聯(lián)線圈；并聯(lián)線圈；等效自感系數(shù)目錄引言、緒論1.1 自感現(xiàn)象1.2 互感現(xiàn)象、n 個(gè)線圈串聯(lián)時(shí)的等效自感系數(shù)2.1 n 個(gè)線圈的順接串聯(lián)2.2 n 個(gè)線圈的反接串聯(lián)2.3 兩個(gè)串聯(lián)線圈等效自感系數(shù) 三、n個(gè)線圈并聯(lián)時(shí)的等效自感系數(shù)3.1 兩線圈的順接并聯(lián)3.2 兩線圈的反接并聯(lián)3.3 兩個(gè)并

2、聯(lián)線圈等效自感系數(shù) 小結(jié) 參考文獻(xiàn)10致謝根據(jù)畢奧一薩法爾定律：自 LI（2）引言在電工、電子技術(shù)等實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到 n個(gè)無鐵芯、不變形的線圈串聯(lián) 或并聯(lián)的情況，而且各個(gè)線圈之間都存在有互感，對(duì)于這種在不忽略互感的前提下， 如何將其進(jìn)行等效處理，如何計(jì)算 n個(gè)串聯(lián)、并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)一直受到人 們的廣泛關(guān)注。電磁學(xué)教材中只計(jì)算了單個(gè)線圈的自感現(xiàn)象和兩個(gè)線圈的互感現(xiàn)象，很少提到n個(gè)線圈的情況。對(duì)于n個(gè)串、并聯(lián)線圈，當(dāng)它等效為一個(gè)自感線圈時(shí)，其等效自 感系數(shù)除了與各個(gè)線圈的自感有關(guān)外，還與各線圈彼此之間的互感和連接方式有 關(guān)。計(jì)算n個(gè)串聯(lián)線圈等效自感系數(shù)的方法有磁鏈法、 磁能法、等效自感

3、電動(dòng)勢法。但磁鏈法和磁能法在計(jì)算并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)時(shí)，是比較復(fù)雜的，所以選擇等 效自感電動(dòng)勢法來計(jì)算1-12。本文是在不忽略互感的前提下，應(yīng)用等效自感電動(dòng)勢法，求解n個(gè)串聯(lián)、并聯(lián) 線圈的等效自感系數(shù)L,并對(duì)計(jì)算結(jié)果作了進(jìn)一步的討論。一、緒論13 16眾所周知，電磁感應(yīng)現(xiàn)象分為自感現(xiàn)象和互感現(xiàn)象。自感現(xiàn)象在電工、無線電 技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用。日光燈鎮(zhèn)流器是自感用于電工技術(shù)的簡單例子。在電子線路 中廣泛使用自感線圈，特別是用它與電容器組成各種諧振電路來完成特定的任務(wù)。 互感現(xiàn)象在電工和電子學(xué)技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用，變壓器就是一個(gè)重要例子。本章從 自感現(xiàn)象和互感現(xiàn)象的概念出發(fā)，解釋了何為自感現(xiàn)象和互感

4、現(xiàn)象。1.1自感現(xiàn)象電流通過線圈時(shí)，其磁場給線圈自身提供磁通。如果電流隨時(shí)間的改變而改變, 磁通就會(huì)隨時(shí)間而變化，線圈便會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢。像這種由自身的電流變化而引 起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象叫做自感現(xiàn)象。根據(jù)線圈的大小、形狀和匝數(shù)的不同，那么它產(chǎn)生自感現(xiàn)象的能力也不同，假 設(shè)有一個(gè)N匝密繞的線圈，則每匝可以近似為一個(gè)閉合曲線，因此才可研究它的磁 通。設(shè)穿過每匝線圈的磁通相等，由法拉第電磁感應(yīng)定律，每匝線圈的自感電動(dòng)勢 應(yīng)為：(1)ddtL為線圈的自感，它僅與線圈本身的因素有關(guān)而與電流無關(guān)，由（3）、（4）可得：(3)I dI自L dt1.2互感現(xiàn)象設(shè)有兩個(gè)彼此靠近的線圈1和2，分別通入電流Ii和I2。

5、當(dāng)線圈1的電流發(fā)生 改變時(shí)，由它所激發(fā)的磁場也將隨之改變， 因而通過線圈2的磁通量也發(fā)生改變，這 樣線圈2中就產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。因此在線圈2激起的感應(yīng)電動(dòng)勢為：21="M 21（ 4dt同樣，當(dāng)線圈2的電流|2發(fā)生改變時(shí)，也會(huì)造成通過線圈1的磁通量發(fā)生改變,這樣線圈1中就產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。 在線圈1中激起的感應(yīng)電動(dòng)勢為：12 -M12 羋（5dt像這種由于一個(gè)線圈中的電流變化，使得其周圍的磁場也發(fā)生變化，從而在鄰 近線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢的現(xiàn)象，叫做互感現(xiàn)象。由于互感現(xiàn)象產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢 稱為互感電動(dòng)勢。公式（4）中的M12稱為線圈2對(duì)線圈1的互感系數(shù)，同樣公式（5） 中的M21稱為線圈1

6、對(duì)線圈2的互感系數(shù)；對(duì)于給定的線圈及磁介質(zhì)（非鐵磁質(zhì)） 有：M12 M21 ,互感系數(shù)僅僅與兩線圈的結(jié)構(gòu)（如形狀、大小、匝數(shù)）有關(guān)，這個(gè) 物理量是表示互感的強(qiáng)弱。、n個(gè)線圈串聯(lián)時(shí)的等效自感系數(shù)1-923.線圈串聯(lián)的方式有兩種，即順接串聯(lián)和反接串聯(lián)。假設(shè)有 n個(gè)理想的線圈，分 別稱為線圈1、線圈2、線圈n ,它們的自感系數(shù)分別為L1、L2、L3丄n,它們之 間的互感分別為 M 12、M 13.M 1n , M 21、M 23.M 2n, M n1、M n2.M n（n 1）, 現(xiàn)在把n個(gè)線圈 串聯(lián)在一起，運(yùn)用等效自感電動(dòng)勢法以及串并聯(lián)電路的特點(diǎn) ，分別對(duì)n個(gè)線圈順接和 反接的等效自感系數(shù)進(jìn)行計(jì)算

7、，進(jìn)而得出等效自感系數(shù)的計(jì)算式。2.1 n個(gè)線圈的順接串聯(lián)若兩線圈之間首尾相連叫做線圈的順接，如圖1所示，此時(shí)各線圈中的電流方 向相同。3設(shè)線圈中通入的電流為I ,并且使電流隨時(shí)間增加，那么在線圈1中產(chǎn)生自感電動(dòng)勢L1和線圈2、3、4 .n對(duì)線圈1的互感電動(dòng)勢這n個(gè)電動(dòng)勢方向相同，并與電流的方向相反。因此，線圈1動(dòng)勢和互感電動(dòng)勢之和21、31 n1。中的感應(yīng)電動(dòng)勢1是自感電1 L1 2131,即:n1dl2M21頁dl331 "d?Mn1din)dt(6)對(duì)于線圈2中的感應(yīng)電動(dòng)勢2為:2 L2 1232n2M12業(yè)M32業(yè)dtdtMn2dIn同理，對(duì)于線圈n有:n Ln 1n 2n(

8、n 1)ndlndl1dl2(LnlT M% M2nT .由串聯(lián)電路性質(zhì)：1 = 11= l2=-那么n個(gè)順接串聯(lián)的線圈，等效為一個(gè)自感線圈后，M(n 1)n 罟)2 n等效自感系數(shù)L為:(8)L dl/dt123dl/dtdijdtdb/dt dln/dt(LjM12M 13. M 1n)( L2 M 21 M 23Mzn)(Ln M n1 M n2M n(n 1)nnLii 1i 1nMj(j i)j 1即等效自感系數(shù)L等于所有線圈總自感之和加所有線圈互感之和。(9)52.2 n個(gè)線圈的反接串聯(lián)兩個(gè)線圈逆接串聯(lián)時(shí)兩個(gè)線圈尾尾或首首 b、d相接,稱為線圈的反接，如圖2ZdVb所示。c圏2 n

9、個(gè)線g串連逆接n 個(gè)線圈串聯(lián)反接時(shí)，即相鄰的兩個(gè)線圈尾尾相接或首首相接，此時(shí)相鄰線圈 中的電流方向相反。對(duì)于任意一個(gè)線圈來說，與之相鄰的線圈反接，與之相隔奇數(shù) 的線圈順接，與之相隔偶數(shù)的線圈反接。順接線圈在該線圈中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢與該 線圈中的自感電動(dòng)勢方向相同，反接線圈在該線圈中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢與該線圈中 的自感電動(dòng)勢方向相反。當(dāng)線圈的電流I從a處通入時(shí)，且電流隨時(shí)間增加，那么在線圈1中產(chǎn)生自感電動(dòng)勢L1和線圈2、3.n 對(duì)線圈1的互感電動(dòng)勢感應(yīng)電動(dòng)勢21、31 n1。因此,線圈中的1 L1 21對(duì)于線圈22 L2 121是自感電動(dòng)勢和互感電動(dòng)勢之和，即:31n1M21 叫-M31 叫dt

10、dt中的感應(yīng)電動(dòng)勢32n2M12 歸 M32ddtdt.-dI 4/ 八 n(n 1)R . dI nM 41(-1)M n1 dtdt2也是自感電動(dòng)勢和互感電動(dòng)勢之和，為:(10)-L芒同理，對(duì)于線圈n有:.(-1n1(n 2)mdIn(11)n Ln 1n 2n(n 1)n仏牛2）（ 1嘰專由并聯(lián)電路性質(zhì)：I I1 I2 I3M4-1)ndI(1)nMdI33ndt.(1)nM(n 1)ndIn1dtIn，那么對(duì)于n個(gè)反接串聯(lián)的線圈，其等效自感系數(shù)L為:(12)6(13)dl/dt123dl/dt1dh/dt2dl2 dtndinfdtnnLii 1i 1nMj(jj 1i)個(gè)反接串聯(lián)的線

11、圈的總自感L等于所有線圈總自感之和減所有反接線圈互感之和。兩個(gè)串聯(lián)線圈等效自感系數(shù)(1) 若兩線圈為順接，根據(jù)上邊的計(jì)算結(jié)果: i, j 1，i j，Mj Mji，解得：L L1 L2 算結(jié)果可已看出，是相互加強(qiáng)的。(2) 若兩線圈為反接，同理可以求得：L 個(gè)計(jì)算結(jié)果可已看出，是相互減弱的。2.3nMij (j i)，此時(shí)n=2,j 1Li2Mi2，那么兩線圈的磁通根據(jù)這個(gè)計(jì)Li L2-2M12，則兩線的圈磁通根據(jù)這8三、n個(gè)線圈并聯(lián)時(shí)的等效自感系數(shù)6"12同樣，線圈并聯(lián)的方式也有兩種，即順接并聯(lián)和反接并聯(lián)。假設(shè)有 n個(gè)理想的 線圈，即線圈1、線圈2、 、線圈n ,自感系數(shù)各為L1、

12、L2、L3.Ln,它們之間 的互感各為 M12、M13.M1n,M21、M23.M2n,Mn1、Mn2.Mn(n 1)。現(xiàn)在把 n 個(gè)線圈并 聯(lián)在一起,運(yùn)用和計(jì)算線圈串聯(lián)時(shí)等效自感系數(shù) L的相同計(jì)算方法，對(duì)n個(gè)線圈并聯(lián) 的順接和反接的等效自感系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，得出等效自感系數(shù)的計(jì)算式。b3.1兩線圈的順接并聯(lián)b如圖3所示，設(shè)從a端通入的電流為I ,并且使電流隨時(shí)間增加，那么在線圈1中產(chǎn)生自感電動(dòng)勢L1和線圈2、3、4 .n 對(duì)線圈1的互感電動(dòng)勢根據(jù)并聯(lián)電路的性質(zhì):I = 11221、31 n1。當(dāng)電流變化時(shí)，在線圈1中產(chǎn)生自感電動(dòng)勢L1和線圈2、3、4 .n 對(duì)線圈1的互感電動(dòng)勢21、互感電動(dòng)勢之

13、和。31 n1因此，線圈1,那么在線圈1中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢1是自感電動(dòng)勢和 中的感應(yīng)電動(dòng)勢1為：1 L1 2131n1dI1y M21 dtdI2(14)線圈2中的感應(yīng)電動(dòng)勢 2是自感電動(dòng)勢和互感電動(dòng)勢之和:2 L2 1232n2dI2 dI1(L2T M12 詁同理，對(duì)于線圈n有:“32dtdIn、Mn2)(15)n Ln 1n2n(n 1)ndIn1 ) dt )設(shè)n個(gè)線圈并聯(lián)后的其等效自感系數(shù)為L,則有 L生，得:dt.dI , dI1 , dl2. dIndt dt dtdtdI1dl2(n 1)n(16)(17)5710整理后得:(LL1）屯（L M21）dl2(LdtM12)罟(L

14、dt(L Mn1)與dt(L Mn2)牛dt(18)(LdliM1n)dt(Ldl2M2n)dt.(Ldli dl2%的齊次方程組,且業(yè)、匹業(yè)的取值是dtdt da dt任意的，即它們是線性無關(guān)的，故方程組共有無窮多解。要使這個(gè)齊次方程組有非叫不會(huì)恒為零，那么這個(gè)系數(shù)行列式必須為零，這樣就可以計(jì)算 dtL的行列式為：把上式可以看成是關(guān)于dt da零解，而理!、叫.dt da出含有待求未知量L1M 12M 21L2.L.LM n1Mn2(19)M1nM2nLn上式如同量子力學(xué)中的久期方程，求解該方程，便可得到等效電感L的表達(dá)式。3.2兩線圈的反接并聯(lián)如圖4所示，當(dāng)n個(gè)線圈并聯(lián)反接時(shí)，對(duì)于任意一個(gè)

15、線圈來說，與之相鄰的線圈反接, 與之相隔奇數(shù)的線圈順接，與之相隔偶數(shù)的線圈反接。順接線圈在該線圈中產(chǎn)生的 互感電動(dòng)勢與該線圈中的自感電動(dòng)勢方向相同 ，反接線圈在該線圈中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢與該線圈中的自感電動(dòng)勢方向相反。當(dāng)線圈的電流I從a處通入時(shí)，且電流隨時(shí)間增加，那么在線圈1中將產(chǎn)生自感電動(dòng)勢L1和線圈2、3、n對(duì)線圈1的互感電動(dòng)勢21、31n1。令21、31n1為線圈2、3、n相對(duì)于線圈1的磁通系數(shù)，若線圈n圈1產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢與線圈1的自感電動(dòng)勢方向相同，那么n1 1，且1n若線圈n對(duì)線圈1產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢與線圈1的自感電動(dòng)勢方向相反，那么 且 n1 - 1n。對(duì)線n1n1n1 ；-1，那么

16、，線圈1中的感應(yīng)電動(dòng)勢1是自感電動(dòng)勢和互感電動(dòng)勢之和，即:1 L1 21L1也dt31 n1“ dl221 M 21dt(20)12(21)線圈2中的感應(yīng)電動(dòng)勢2 L2 1232n2“ dl2 dt 12M12 頁-同樣，線圈n的感應(yīng)電動(dòng)勢L2dI2n2M n2dIndtn Ln 1n 2n(n 1)nn為:2nM2n 晉dt設(shè)n個(gè)線圈并聯(lián)后的等效自感系數(shù)為M dIn 1 L 壘n(n 1) (n 1)n dt n dtlM，根據(jù)并聯(lián)電路性質(zhì):dtL,則L且Ldk旦 dt dt dtdt整理得:（L-L1）業(yè)（L-21M21)羋.(L-n1Mn1)字dtdtdtL 12M12)今（L-L2）壘

17、.（Ln2Mn2)ddtdtdt一、dl1八一、dl2/ 、, 、 din-1n M1n)(L2nM 2n)(L Ln)ndtdtdt000(上式也是一個(gè)齊次線性方程組, 量L的行列式為：L-L1L- 12M1221M 21L2L- 1nM1n2nM 2n(22)(23)(24)根據(jù)3.1中（22）式的分析，那么含有待求未知n1M n1n2M n2(25)Ln同時(shí)，圈反接并聯(lián)后的等效電感系數(shù)MijMji，ijji 5L。i j，解這個(gè)行列式方程，就可以可求得n個(gè)線3.3兩個(gè)并聯(lián)線圈等效自感系數(shù)（1 ）若兩線圈為順接，那么兩線圈磁通相互加強(qiáng)，即1221 1時(shí)，根據(jù)上邊的計(jì)算結(jié)果可得：!_I_-M

18、21L-M12 L-L20，而 M12 M21，解得：LL1L2-M22L1 L2-2M1214（3）若兩線圈為反接，那么兩線圈磁通相互削弱，即1221 -1時(shí)，同理可得:2LL1L2-M12L1 L2 2M12小結(jié)L,根據(jù)以在第二和第三部分分別計(jì)算了 n個(gè)線圈串聯(lián)和并接的等效自感系數(shù)上的計(jì)算，對(duì)等效自感系數(shù)L作如下總結(jié):LinMij(j i)，j 1Li ,由此可以得對(duì)于串聯(lián)線圈：（1）n個(gè)線圈串聯(lián)，連接方式為順接時(shí)，等效自感系數(shù)：Li 1 即順接而成的線圈等效自感系數(shù) L大于n個(gè)線圈自感系數(shù)之和出：線圈整體感應(yīng)能力增強(qiáng)。（2）n個(gè)線圈反接串聯(lián)時(shí)，等效自感系數(shù)：Li 1LinMij(jj 1

19、i）,即反接而成的17串聯(lián)線圈，它的等效自感系數(shù)L小于n個(gè)線圈自感系數(shù)之和L-對(duì)于并聯(lián)線圈：個(gè)線圈并聯(lián)后的等效自感系數(shù)為LLnL-L112M 12L可以通過解下面行列式求出。L-1nM 1n21 M 21L2n1M n1n2M n22nM 2nLnj），即順接并聯(lián)時(shí)ij ji;反接并聯(lián)時(shí)ji。解這個(gè)行列式方程，就可以可求得n個(gè)線圈并聯(lián)后的等效電感系數(shù)L。本文通過求解n個(gè)串并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)，分別n個(gè)串并聯(lián)線圈的等效自 感系數(shù)的計(jì)算公式，這會(huì)對(duì)串并聯(lián)自感電路在實(shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用有著理論性的此時(shí),MijMji，ijij指導(dǎo)作用。參考文獻(xiàn)1 杜永清，李海.自感線圈串聯(lián)時(shí)總自感的求解J |.物理

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22、第二版.北京：高等教育出版社， 2004.244-245.15 Halliday D ，Res nick R. PH YSICSM.Fifth Editio n. JOHN WILEY, 2002.16 美馬丁哈威特.天體物理概念M.北京科學(xué)出版社，1981.致謝本論文是在呂仕儒老師的悉心指導(dǎo)下完成的。首先感謝呂老師在論文中給了我 大量的指導(dǎo)，在我撰寫論文的每一步中，我都得到了他耐心的建議和幫助。其次，感謝我的班主任任青老師陪伴我度過了四年的大學(xué)生活，任老師給我無微不 至的關(guān)懷和幫助，對(duì)我的學(xué)習(xí)和生活產(chǎn)生了很大的影響，在此我向任老師表示深深 的感謝。最后，還要把感激之情獻(xiàn)給我的家人。感謝你們給予我的巨大支持和鼓勵(lì)，使 我可以全身心地投入到學(xué)習(xí)中。正是你們給予我的精神支持和生活幫助，使我順利 完成本論文。Calc