7-8-3幾何計(jì)數(shù)(三).教師版.docx

1、7-8-3.幾何計(jì)數(shù)（三）目1帽乒圓i1 .掌贏十?dāng)?shù)常用方法；2 .熟記一些計(jì)數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；3 .根據(jù)不同題目靈活運(yùn)用計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)數(shù).本講主要介紹了計(jì)數(shù)的常用方法枚舉法、標(biāo)數(shù)法、樹(shù)形圖法、插板法、對(duì)應(yīng)法等，并滲透分類(lèi)計(jì)數(shù)和用容斥原理 的計(jì)數(shù)思想.、幾何計(jì)數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計(jì)數(shù)問(wèn)題，如計(jì)算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個(gè)數(shù)，若干個(gè)圖分平面所成的 區(qū)域數(shù)等等,這類(lèi)問(wèn)題看起來(lái)似乎沒(méi)有什么規(guī)律可循，但是通過(guò)認(rèn)真分析，還是可以找到一些 處理方法的.常用的方法 有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.條直線最多將平面分成2 + 2 + 3+.+ /?= （/?24-H + 2）個(gè)

2、部分；刀個(gè)圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)為刀）必 刀個(gè)三角形將平面最多分成 23n Cn-1）+2部分；個(gè)四邊形將平面最多分成右Cn-1）+2部分.在其它計(jì)數(shù)問(wèn)題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等,解題時(shí)需要仔細(xì)審題、綜合所學(xué)知識(shí)點(diǎn)逐步求解.排列問(wèn)題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)；組合問(wèn)題與各事物所在的先后順序無(wú)關(guān)， 只與這兩個(gè)組合中的元素有關(guān).二、幾何計(jì)數(shù)分類(lèi)數(shù)線段：如果一條線段上有# 1個(gè)點(diǎn)（包括兩個(gè)端點(diǎn)）（或含有n個(gè)“基本線段一），那么這門(mén)+1個(gè)點(diǎn)把這條線 段一共分成的線段總數(shù)為77+ （/ 1） +2+1條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點(diǎn)類(lèi)似于

3、角圖形中的邊.數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形（對(duì)應(yīng)法），因?yàn)镈E上有15條線段，每條線段的 兩端點(diǎn)與 點(diǎn)A相連，可構(gòu)成一個(gè)三角形，共有15個(gè)三角形，同樣一邊在BC上的三角形也有15個(gè)，所以圖中共有3 （）個(gè)三角 形.數(shù)長(zhǎng)方形、平行四邊形和正方形:般的，對(duì)于任意長(zhǎng)方形（平行四邊形），若其橫邊上共有斤條線段，縱邊上共有加條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形（平行四邊形）力口/?個(gè).模塊一、立體幾何計(jì)數(shù)【例1】用同樣大小的正方體小木塊堆成如下圖的立體圖形，那么一共用了 塊小正方體?！究键c(diǎn)】立體圖形幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，初試，6題，走美杯，4年級(jí)，決賽，第8題【

4、解析】一共有：43- （1 +4+9） =50 （塊）?！敬鸢浮?0塊例2將32個(gè)相同的小正方體拼成一個(gè)體積為32立方厘米的長(zhǎng)方體，將表面涂上紅漆，然后分開(kāi)，其中有2個(gè)面 涂紅的小正方體有24個(gè)，則有1個(gè)面涂紅的小正方體有 個(gè)。【考點(diǎn)】立體圖形幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第7題【解析】32 = 25,所以這個(gè)長(zhǎng)方體的尺寸只有1x1x32,1x2x16 9 1x4x8,2x2x8,2x4x4五種情況，其中只有尺寸為 2x2x8的長(zhǎng)方體的表面染色后，有24個(gè)正方體有2個(gè)面涂紅，所以有1個(gè)面涂紅的小正方體有0個(gè)。【答案】0【例13如圖是一個(gè)由27個(gè)棱長(zhǎng)為1的白色小正方

5、體木塊粘成的棱長(zhǎng)為3的正方體木塊，現(xiàn)任意挖去其中的3個(gè)棱長(zhǎng) 為1的小正方體，然后將所有暴露在外的表面全部刷上藍(lán)漆，那么余下的24個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體中恰好有 3面涂藍(lán)漆的最多能有一個(gè).【考點(diǎn)】立體圖形幾何計(jì)數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5年級(jí)，第12題【解析】1）角塊本身為3面暴露在外的小方塊；2）挖去外側(cè)面中部的小方塊，能夠增加4塊三面暴露在外的小方塊，加上角塊，共形成8塊3面涂漆的小 方塊，為最優(yōu)方案3）因此挖去對(duì)稱(chēng)的2塊外側(cè)中部的小方塊后，將產(chǎn)生16塊3面暴露在外的小方塊4）然后再挖去任意一個(gè)外側(cè)面中部的小方塊，將增加3塊3面暴露在外的小方塊，但同時(shí)破壞原來(lái)的2塊3 面在

6、外的小方塊.5）所以最多有17塊3面涂漆的小方塊【答案】17模塊二、幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用個(gè)面積是2平方【例4如圖，每個(gè)小正方形的面積都是1平方厘米。則在此圖中最多可以畫(huà)出厘米的格點(diǎn)正方形（頂點(diǎn)都在圖中交叉點(diǎn)上的正方形）?！究键c(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】每?jī)尚姓叫慰纱_定3個(gè)面積是2平方厘米的格點(diǎn)正方形,總共有:3x3=9 （個(gè)）【答案】9【鞏固】圖中的每個(gè)小方格都是面積為1的正方形，面積為2的矩形有【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】3星【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試，第8題【解析】4x4+3x5=31【答案】31個(gè)【鞏固】下圖是由25個(gè)面積等于1的小

7、正方形組成的大正方形，圖中面積是6的長(zhǎng)方形有 個(gè)?！究键c(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第4題【解析】每?jī)尚姓叫慰纱_定3個(gè)面積是2平方厘米的格點(diǎn)正方形,總共有:3x4x2 = 24 （個(gè)）【答案】24個(gè)例5如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的4x4方格圖中，共有25個(gè)格點(diǎn)。在以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)分別是1和3的直角三角形共有 個(gè)。底為1,同為23x2=6 （個(gè)）底為1,冏為23x2=6 （個(gè)）底為2,同為12x2=4 （個(gè)）底為 ，向?yàn)?2x2=4 （個(gè)）所以，面積等于1平方厘米的三 角形的個(gè)數(shù)有：6+6+6+6+4+432 （個(gè)）

8、.面積等于2平方厘米的分類(lèi)統(tǒng)計(jì)如下:3x2=6 （個(gè)）1x2=2 （個(gè)）【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第2題【解析】我們把一排連續(xù)三個(gè)正方形叫做三連正方形，三連正方形的個(gè)數(shù)乘上每個(gè)三連正方形中直角三角形的個(gè)數(shù)就 得到所求的總數(shù)：4x2x2x4=64（個(gè)）【答案】64例6用9個(gè)釘子釘成相互間隔為1厘米的正方陣（如右圖）.如果用一根皮筋將適當(dāng)?shù)娜齻€(gè)釘子連結(jié)起來(lái)就得到一 個(gè)三角形，這樣得到的三角形中，面積等于1平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有多少？面積等于2平方厘米的三角形 有多少個(gè)？【解析】面積等于1平方厘米的三角形有32個(gè),面積等于2平方厘米的三角形有8個(gè).面積

9、等于1平方厘米的分類(lèi)統(tǒng)計(jì)如下:所以，面積等于2平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有：6+2=8 （個(gè)）.例7下圖中的正方形被分成9個(gè)相同的小正方形，它們一共有16個(gè)頂點(diǎn)（共同的頂點(diǎn)算一個(gè)），以其中不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成三角形.在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個(gè)？【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】3星【題型】解答【解析】1.顯然應(yīng)先求出陰影三角形的面積設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)是3,則小正方形的邊長(zhǎng)是1,陰影三角形的面積是Ax2x3=32.思考圖中怎樣的三角形的面積等于3（1）一邊長(zhǎng)2,這邊上的高是3的三角形的而積等于3 （即形如圖中陰影三角形）.這時(shí)，長(zhǎng)為2的邊只能在原正方形的邊上，這

10、樣的三角形有2x4x4=32 （個(gè)）；（2） 一邊長(zhǎng)3,這邊上的高是2的三角形的面積等于3 這時(shí)，長(zhǎng)為3的邊是原正方形的一邊或平 行于一 邊的分割線,這樣的三角形有8x2=16（個(gè)）注意不能與（1）中的三角形重復(fù) 所以這樣的三角形共有32+16=48 （個(gè)）【答案】48個(gè)【鞏固】圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1厘米，則在圖中最多可以畫(huà)出面積是3平方厘米的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn) 在圖中交叉點(diǎn)上的三角形）一個(gè)?！究键c(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試，第11題【解析】由三角形面積為3平方厘米，可知三角形的底x高為6,6=lx6=2x3,因?yàn)閳D形中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3厘米，寬為2

11、厘 米。當(dāng)三角形的底二3厘米時(shí)，有4x2二8種情況，；當(dāng)?shù)锥?厘米時(shí)，有1x2二2種情況。所以，一共有8+2=10O【答案】10個(gè)例8在一個(gè)圓周上有8個(gè)點(diǎn)，正好把圓周八等分，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可以作出個(gè)等腰三角形.【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】4星【題型】解答【解析】由于8個(gè)點(diǎn)正好把圓周八等分，所以以其中的任何3個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)都不能組成等邊三角形.那么任意選取其 中的一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)上有三個(gè)不同的等腰三角形，圓周上有8個(gè)頂點(diǎn)，所以一共有3x8 = 24個(gè)等 腰三角形，而且這些等腰三角形互不相同（否則，假設(shè)其中有兩個(gè)等腰三角形相同，這兩個(gè)等腰三角形不可 能是同一個(gè)頂點(diǎn)，只能是不同的頂

12、點(diǎn)，這樣這個(gè)等腰三角形必定是正三角形，與前面的分析不合），所以可 以作出24個(gè)等腰三角形.【答案】24個(gè)等腰三角形 例9圓周上十個(gè)點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間連接一條弦，這些弦在圓內(nèi)有多少個(gè)交點(diǎn)？【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】4星【題型】解答【解析】圓周上4點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四邊形，四邊形兩條對(duì)角線相交可以產(chǎn)生一個(gè)交點(diǎn).問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“圓周上10個(gè)點(diǎn)可以組 成多少個(gè)以他們?yōu)槎c(diǎn)的四邊形？ ”利用上一講的知識(shí)，去掉重復(fù)的部分，可知有：10x9x8x7十（4x3x2xl） =210個(gè).所以交點(diǎn)、有210個(gè).【答案】210個(gè)例10圓周上有8個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)所連的線段叫“弦”，每?jī)牲c(diǎn)連一條弦，各弦無(wú)公共端點(diǎn)，共可連四條弦，各弦互不

13、 相交的連法共有 種.【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【難度】4星【題型】解答 【解析】本題可以利用歸納的方法解決.若圓周上只有2個(gè)點(diǎn)，只有1種連法；若圓周上只有4個(gè)點(diǎn)，先選中1個(gè)點(diǎn)，它可以與相鄰的兩個(gè)點(diǎn)相連，它連好后其它兩點(diǎn)只有1種連法，所以 此時(shí)有1x2 = 2種連法；若圓周上只有6個(gè)點(diǎn)，先選中1個(gè)點(diǎn)，此時(shí)它可以與相鄰的2個(gè)點(diǎn)相連，也可以相對(duì)的1個(gè)點(diǎn)相連，若與相 鄰的點(diǎn)相連，剩下的4個(gè)點(diǎn)有2種連法；若與相對(duì)的點(diǎn)相連，剩下的4個(gè)點(diǎn)只有1種連法，所以此時(shí)有2x 2 + 1 = 5種連法;若圓周上只有8個(gè)點(diǎn)，先選中一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)它可以與相鄰的2個(gè)點(diǎn)相連，也可以與與它相隔2個(gè)點(diǎn)的另外兩 個(gè)點(diǎn)相連,若與相鄰的

14、點(diǎn)相連，剩下的6個(gè)點(diǎn)有5種連法；若與相隔兩個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)相連，剩下的6個(gè)點(diǎn)被分成 兩邊，一邊2個(gè)點(diǎn)，只有一種連法，一邊4個(gè)點(diǎn)，有2種連法.所以此時(shí)共有5x2 + 2x2 = 14種連法.【答案】14種連接法例U九個(gè)大小相等的小正方形拼成了右圖.現(xiàn)從點(diǎn)A走到點(diǎn)，每次只能沿著小正方形的對(duì)角線從一個(gè)頂點(diǎn)到另 一個(gè)頂點(diǎn)，不允許走重復(fù)路線（如圖的虛線就是一種走法）,那么從點(diǎn)A走到點(diǎn)B共有 種不同的走法.每個(gè)點(diǎn)碗三和逸掩【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí)，初試，1（）題【解析】路線相當(dāng)于右圖中從A到B的不同路線（不走重復(fù)路線），從A到C. 到B方法都唯一，從C出發(fā)有3種 方向

15、，從Q出發(fā)也有3種方向（不一定是最短路線），根據(jù)乘法原理，共有3x3=9種不同走法。【答案】9種【例12國(guó)際象棋中“馬”的走法如圖所示，位于。位置的“馬”只能走到標(biāo)有x的格中.在5x5個(gè)方格的國(guó)際 象棋 棋盤(pán)上（如右圖）放入四枚白馬（用。表示）和四枚黑馬（用表示）,要求將四枚白馬移至四枚黑馬的位置， 將四枚黑馬移至四枚白馬的位置，而且必須按照國(guó)際象棋的規(guī)則，棋子只能移動(dòng)到空格中，每個(gè)格最多放一枚 棋子,那么最少需要 步.【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)的應(yīng)用【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級(jí)，初賽，4題【解析】需要移動(dòng)8枚棋子，任意棋子只移動(dòng)一步是無(wú)法到達(dá)目的空格當(dāng)中的，所以，最少需要8x2 =

16、 16步，具體方案：如下圖，用四步交換兩枚棋子到目的空格當(dāng)中,用同樣的方法處理其他6枚棋子,一共需要16步.上角擺上“數(shù)”，那么可能有幾種不同的擺法?！敬鸢浮?6步 【例13請(qǐng)將三個(gè)“數(shù)”、三個(gè)“學(xué)”、三個(gè)“美”填入右圖中，使得每一橫排、每一豎排都有這三個(gè)字，如果在左【考點(diǎn)】復(fù)雜乘法原理【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級(jí)，初賽，第9題【解析】由于有一個(gè)“數(shù)已經(jīng)填在左上角的方格內(nèi)，所以剩下的2個(gè)“數(shù)”只有兩種填法，如下圖所示：對(duì)于上面的 兩個(gè)3x3方格，只要任何一個(gè)空白方格中填入一個(gè)字，則這個(gè)3x3方格都只有唯一填法，比如對(duì)于上左圖， 在第二行第一列填入“學(xué)”則第三行第一列和第二行

17、第三列都只能填“美”；則第三行第二列和第一行第三 列都只能填“學(xué)”，第一行第二列只能填“美，所以只要確 定某一個(gè)空白方格中填的字，也就確定了整個(gè)3x3 方格的填法。而現(xiàn)在每個(gè)空白方格中可以填“學(xué)或“美”，有兩種填法，所以共有2x2 = 4種滿足題意的填 法。數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)【答案】4種【例14圖中共有16個(gè)方格，要把A,瓦C,四個(gè)不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個(gè) 棋子.問(wèn)： 共有多少種不同的放法？【考點(diǎn)】復(fù)雜乘法原理【解析】由于四個(gè)棋子要一個(gè)一個(gè)地放入方格內(nèi)，故可看成是分四步完成這件事第一步放棋子A, A可以放在16個(gè) 方格中的任意一個(gè)中，故有16種不同的放法；第二步放棋子B,由于A

18、已放定，那么放A的那一行和一列中 的其他方格內(nèi)也不能放B,故還剩下9個(gè)方格可以放3, 3有9種放法；第三步放C,再去掉B所在的行和列的 方格，還剩下四個(gè)方格可以放C,C有4種放法；最后一步放再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一個(gè)方 格可以放D,D有1種放法,由乘法原理，共有16x9x4x1=576種不同的放法.【答案】576【鞏固】在下圖的方格內(nèi)放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少種放法?【考點(diǎn)】復(fù)雜乘法原理【難度】3星【題型】解答 【解析】要放五枚棋子，肯定需要分五步完成,觀察到圖中的表格正好是五列的，剛好在每列放一個(gè)棋子于是，我們不妨按第1列、第2列、第3列、第4列、第5

19、列的順序依次擺放棋子.第一步：在第1列填入一個(gè)棋子.因?yàn)榈?列只有兩個(gè)格，所以有2種放法.第二步：在第2列填入一個(gè)棋子,因?yàn)榈?列共有三個(gè)格，可是剛剛放在第一列的那個(gè)棋子占了其中的一行，所以有3-1=2種放法.第三步：在第3列填入一個(gè)棋子,因?yàn)榈?列共有四個(gè)格，可是被放在第一列、第二列的那兩個(gè)棋子各占了 一行,所以有4-2=2種放法.第四步：在第4列填入一個(gè)棋子.同理推得有5-3=2種放法.第五步：在第5列填入一個(gè)棋子.同理推得有5-4=1種放法.根據(jù)乘法原理，往方格內(nèi)放入5枚棋子，每行每列只有一枚棋子，共有2x2x2x2xl = 16種放法.【答案】16【例151下圖是一個(gè)中國(guó)象棋盤(pán)，如果雙

20、方準(zhǔn)備各放一個(gè)棋子，要求它們不在同一行，也不在同一列，那么總共有 多少種不同的放置方法？【考點(diǎn)】復(fù)雜乘法原理【難度】3星【題型】解答【解析】第一個(gè)棋子有90種放法，第二個(gè)棋子有72種放法，根據(jù)乘法原理，共有90x72 = 6480 （種）不同的放置方 法.【答案】6480【鞏固】國(guó)際象棋棋盤(pán)是8x8的方格網(wǎng)，下棋的雙方各有16個(gè)棋子位于16個(gè)區(qū)格中，國(guó)際象棋中的“車(chē)”同中國(guó)象 棋中的“車(chē)” 一樣都可以將位于同一條橫行或豎行的對(duì)方棋子吃掉，如果棋局進(jìn)行到某一時(shí)亥I，下棋的 雙方都只剩下一個(gè)“車(chē)”，那么這兩個(gè)“車(chē)叫立置有多少種情況？【考點(diǎn)】復(fù)雜乘法原理【難度】3星【題型】解答【解析】對(duì)于如果只有一

21、只”車(chē)的情況,它可以有64種擺放位置，如果在棋盤(pán)中再加入一個(gè)“車(chē)”，那么它不能在原 來(lái)那個(gè)“車(chē)”的同行或同列出現(xiàn)，他只能出現(xiàn)在其他七行七列，所以它只有7x7=49中擺放，所以這兩個(gè)“車(chē)” 的擺放位置有64x49=3136種方法.【答案】3136模塊三、幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【例161下圖的兩個(gè)圖形（實(shí)線）是分別用10根和16根單位長(zhǎng)的小棍圍成的.如果按此規(guī)律（每一層比上面一層多 擺出兩個(gè)小正方形）圍成的圖形共用了 60多根小棍，那么圍成的圖形有幾層，共用了多少根小棍？【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【難度】2星【題型】解答【解析】通過(guò)觀察每增加一層，恰好增加6根小棍，這6根恰好是增加那一層比上一層多擺出的兩

22、個(gè)正方形多用的， 即前1層用4根，前2層用4+6根，前3層用4+6x2根，前n層用4+6x （介1）根，現(xiàn)在共用了 60多根， 應(yīng)減去4是6的倍數(shù)，所以共用小棍64根，圍成的圖形有11層.【答案】11層，64根【例17如圖所示，用長(zhǎng)短相同的火柴棍擺成3x1996的方格網(wǎng)，其中每個(gè)小方格的邊都由一根火柴棍組成，那么一共需 用多少根火柴棍？【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【難度】2星【題型】解答【解析】橫放需1996x4根，豎放需1997x3根，共需1 996x4+1997x3 = 13975根.【答案】13975根【例181用3根等長(zhǎng)的火柴可以擺成一個(gè)等邊三角形.如圖用這樣的等邊三角形拼合成一個(gè)更大的等

23、邊三角形如果這 個(gè)大等邊三角形的每邊由20根火柴組成，那么一共要用多少根火柴？【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【難度】2星【題型】解答【解析】把大的等邊三角形分為“20”層分別計(jì)算火柴的根數(shù)：最上一層只用了 3根火柴；從上向下數(shù)第二層用了 3x2=6根；從上向下數(shù)第二層用了 3x3=9根；從上向下數(shù)第二層用T 3x20=60根；所以總共要用火柴3x (1+2+3+.+20) =630.【答案】630【鞏固】用三根火柴可拼成一個(gè)小“”，若用1。8根火柴拼成如圖所示形狀的大三角形，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)共有多少個(gè)三 角形？【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【難度】2星【題型】解答【解析】首先，需弄清形狀如圖的大三角形共有多少層

24、,從上往下，第一層用3 = 3x1根火柴；第二層用6 = 3x2根火柴；第三層用9 = 3x3根火柴；第四層用12=3x4根火柴；第五層用15 = 3x5根火柴；第n層用3/? = 3xh根火柴.根據(jù)題意，有：3 + 6 + 9 + 12 + 15+3/? = 108 ,故1+ 2+ 3+ 4+ 51+，所以，即形狀如圖的大三角形共有8層，是邊長(zhǎng)為8根火柴的大正三角形.然后，數(shù)出共有多少個(gè)三角形.尖朝上的三角形共：(1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) + (1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) + (1+2 + 3 + 4 + 5 + 6) +(1+ 2 +

25、3 + 4 + 5) + (1 +2 + 3 + 4) +(1 + 2 + 3)+ (1 +2) + 1 = 120(個(gè))；尖朝下的三角形共：(1+2+3 +4+ 5+ 6 +7)+ (1+2+3 + 4+ 5)+ (1+2+ 3)+ 1+0 = 50(個(gè))；所以，共有三角形：120 + 50= 170(個(gè)).本題小結(jié)：尖朝上的三角形：每一種尖朝上的三角形個(gè)數(shù)都是由1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù) 最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的基本線段的條數(shù)，依次各個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個(gè) 最大的加數(shù)，直到1為止.尖朝下的三角形的個(gè)數(shù)也是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個(gè)和恰是尖朝

26、上 的第二個(gè)和，依次各個(gè)和都比上一個(gè)和少最大的兩個(gè)加數(shù)，以此類(lèi)推直到零為止.【答案】170個(gè)【例19 3根火柴可以擺成一個(gè)小三角形。圖中用很多根火柴擺成了一個(gè)中空的大三角形。已知大三角 形外【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，決賽，第9題【解析】水平方向的火柴有1 +2x17+ 19+ 20 = 74 （根）而其它兩個(gè)方向的火柴與水平放下的火柴個(gè)數(shù)相同，所以擺 成這個(gè)圖共需要74x3 = 222 （根）火柴?！敬鸢浮?22根【例20 一張長(zhǎng)方形紙片，長(zhǎng)是寬的2倍，先對(duì)折成正方形，再對(duì)折成長(zhǎng)方形，再對(duì)折成正方形，共對(duì)折7次，將紙打 開(kāi)展平，數(shù)一數(shù)用折痕分割成

27、的正方形共有多少個(gè)？【考點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)與找規(guī)律【難度】4星【題型】解答【解析】從簡(jiǎn)單情況入手，從第一次對(duì)折開(kāi)始分析，第一次對(duì)折， 第二次對(duì)折， 第三次對(duì)折，第四次對(duì)折,展平，折痕分割成的正方形共2 = 2,個(gè)；展平，折痕分割成的長(zhǎng)方形共4 = 22個(gè)；展平，折 第五次對(duì)折，痕分割成的正方形共8 = 25個(gè)；展平，折痕分割成的長(zhǎng)方形共16 = 24個(gè)；展平，折痕分割成第六次對(duì)折，的正方形共32 = 2、個(gè); 第匕次對(duì)折，方形共128 = 2個(gè),晨平，折痕分割成的長(zhǎng)方形共64 = 26個(gè);展平，折痕分割成的正觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，奇數(shù)次對(duì)折時(shí)，展平后的折痕分割成的圖形是正方形，所以，對(duì)折七次，將紙展平后，用折痕分割成 的正方形是2? =128個(gè).【答案】128個(gè)【鞏】將正方形紙片由下往上對(duì)折，再由左向右對(duì)折，稱(chēng)為完成一次操作.