動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題(20200923224459)

1、動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性 （特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。） 動(dòng)點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的 常見題型作簡(jiǎn)單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、以動(dòng)態(tài)幾何為主線的壓軸題（一）點(diǎn)動(dòng)問題.1.（09年徐匯區(qū)）如圖，ABC中，AB AC 10 , BC 12，點(diǎn)D在邊BC上，且BD 4 ,以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作 EDFB，分別交邊AB于點(diǎn)E ,交射線CA于點(diǎn)F .

2、（1）當(dāng)AE 6時(shí)，求AF的長(zhǎng);（2）當(dāng)以點(diǎn)C為圓心CF長(zhǎng)為半徑的O C和以點(diǎn)A為圓心AE長(zhǎng)為半徑的O A相切時(shí),求BE的長(zhǎng);（3）當(dāng)以邊AC為直徑的O O與線段DE相切時(shí)，求BE的長(zhǎng).題型背景和區(qū)分度測(cè)量點(diǎn)本題改編自新教材九上 相似形24.5（4）例六,典型的一線三 角（三等角）問題,試題在原題的基礎(chǔ)上改編出第一小題，當(dāng)E點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滲透入圓與圓的位置關(guān)系（相切問題）的存在性的研究形成了第二小題，加入直線與圓的位置關(guān)系 （相切問題）的存在性的研究形成了第三小題.區(qū)分度測(cè)量點(diǎn) 在直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系，從而利用方程思想來求解.直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建

3、立方程.區(qū)分度性小題處理手法1.2.圓與圓的位置關(guān)系的存在性（相切問題）的處理方法：利用 d=R ± r（ Rr）建立方程.3.解題的關(guān)鍵是用含 x的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段 略解CFCD解: (1)證明 CDF S EBD /.BDBE ，代入數(shù)據(jù)得CF8 , AF=2(2)設(shè) BE=x，則 d AC 10, AE10 X,利用（1）的方法CF32X ,相切時(shí)分外切和內(nèi)切兩種情況考慮：1010 X外切，32XX4/2 321010 x內(nèi)切,X 10 2 姉 0 X 10當(dāng)O C和O A相切時(shí)，BE的長(zhǎng)為4邁或10 2后BE （3）當(dāng)以邊AC為直徑的O 0與線段DE相切時(shí)，3類題一個(gè)動(dòng)

4、點(diǎn):兩個(gè)動(dòng)點(diǎn):（二）線動(dòng)問題 在矩形ABCD 中,E.（1）若直線I過點(diǎn)求BC的長(zhǎng)；09楊浦25題（四月、五月）、09靜安25題、09閘北25題、09松江25題、09盧灣25題、09青浦25題.AB = 3，點(diǎn)O在對(duì)角線 AC上，直線I過點(diǎn)0,且與AC垂直交AD于點(diǎn) B,把 ABE沿直線I翻折，點(diǎn)A與矩形ABCD的對(duì)稱中心A，重合，若直線l與AB1相交于點(diǎn)F,且AO = 4 AC，設(shè)AD的長(zhǎng)為X ,五邊形BCDEF的面積為S.求S關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并指出 x的取值范圍;3探索：是否存在這樣的 X,以A為圓心，以X 4長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切，若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.題型背景

5、和區(qū)分度測(cè)量點(diǎn)本題以矩形為背景，結(jié)合軸對(duì)稱、相似、三角等相關(guān)知識(shí)編制得到.第一小題考核了學(xué)生軸對(duì)稱、矩形、勾股定理三小塊知識(shí)內(nèi)容；當(dāng)直線I沿AB邊向上平移時(shí)，探求面積函數(shù)解析式為區(qū)分測(cè)量點(diǎn)一、加入直線與圓的位 置關(guān)系（相切問題）的存在性的研究形成了區(qū)分度測(cè)量點(diǎn)二.區(qū)分度性小題處理手法1.找面積關(guān)系的函數(shù)解析式，規(guī)則圖形套用公式或用割補(bǔ)法，不規(guī)則圖形用割補(bǔ)法.2直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程.3 .解題的關(guān)鍵是用含 x的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段.略解DAC1（1） / A'是矩形 ABCD的對(duì)稱中心 A' = AA '= 2 AC/ AB = A &#

6、39;, AB = 3 AC = 6BC 33ACAF （X29）12AE2X4xS AEF1 -AE 2AF疋96x3x（X29）296xp/3x3冋842x 270x8196x若圓A與直線I相切,x10 （舍去）,X28-X25 /不存在這樣的X,使圓A與直線I相切. 類題09虹口 25題.（三）面動(dòng)問題如圖，在 ABC中, AB AC 5,BCD、E分別是邊AB、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D不與A、B重合），且保持DE/ BC ,以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG .（1）試求ABC的面積;（2）當(dāng)邊FG與BC重合時(shí)，求正方形DEFG的邊長(zhǎng);（3）設(shè)AD X , ABC與正方形DEFG重疊

7、部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域;（4）當(dāng) BDG是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出 AD的長(zhǎng).題型背景和區(qū)分度測(cè)量點(diǎn)例七,典型的共角相似三角形問題，試題為了形成坡度，在原題的基礎(chǔ)上改編出求等腰三角形 面積的第一小題，當(dāng)D點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，正方形 DEFG整體動(dòng)起來，GF邊落在BC邊=對(duì)應(yīng)的小邊比大 AD的關(guān)系的函數(shù)解析式形成了第三小 用等腰三角形的存在性來設(shè)置區(qū)分測(cè)量點(diǎn)二.上時(shí)，恰好和教材中的例題對(duì)應(yīng)，可以說是相似三角形對(duì)應(yīng)的小高比大高 邊，探尋正方形和三角形的重疊部分的面積與線段 題，仍然屬于面積類習(xí)題來設(shè)置區(qū)分測(cè)量點(diǎn)一，區(qū)分度性小題處理手法CBDEK U圖3-1F 圖3-

8、2圖3-3B區(qū)圖3-4圖3-51找到三角形與正方形的重疊部分是解決本題的關(guān)鍵，如上圖 方形和矩形包括兩種情況.2正確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上圖3.解題的關(guān)鍵是用含 x的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段略解3-1、3-2重疊部分分別為正3-3、3-4、3-5用方程思想解決.解：(1) S ABC 12(2 )令此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為aa，則6，解得125(3)當(dāng) 02時(shí),6 -X536 2 一X25642424當(dāng)2 Xy-X-5 XXX5時(shí)，555251252520AD11 1(4)73117 .2類題改編自09奉賢3月考25題，將條件( 去掉，同時(shí)加到第(3)題中.已知：在 ABC 中，AB=A

9、C , / B=30o, BC=6，點(diǎn) D 在邊 BC 上，點(diǎn)E在線段DC上，DE=3 , DEF是等邊三角形，邊 DF、 EF與邊BA、CA分別相交于點(diǎn) M、N .(1)求證： BDM sA CEN ;(2)設(shè)BD= X , ABC與 DEF重疊部分的面2) “當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時(shí)”,積為y，求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出定義域.F(3)當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時(shí)，是否存在點(diǎn) D，使以M為圓心，BM為半徑的圓與直線 EF相切，如果存在，請(qǐng)求出X的值；如不存在，請(qǐng)說明理由.例1:已知O O的弦AB的長(zhǎng)等于O O的半徑，點(diǎn)C在O O上變化(不與 A、B)重合，求 / ACB的大

10、小.分析：點(diǎn)C的變化是否影響/ ACB的大小的變化呢？我們不妨將點(diǎn)C改變一下，如何變化呢？ 可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧 AB上變化，顯然這兩者的結(jié)果不一樣。那么，當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時(shí)，/ ACB所對(duì)的弧是劣弧 AB，它的大小為劣弧 AB的一半，因此很自然 地想到它的圓心角，連結(jié) AO、BO,則由于AB=OA=OB，即三角形 ABC為等邊三角形，丄則/ AOB=600，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：/ACB= 2 / AOB=300 ,當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時(shí)，/ ACB所對(duì)的弧是優(yōu)弧 AB ,它的大小為優(yōu)弧 / AOB=600得，優(yōu)弧 AB的度數(shù)為3600-600=3000，

11、則由同弧所對(duì)的圓心角 與圓周角的關(guān)系得出：/ACB=1500 ,因此，本題的答案有兩個(gè)，分別為300或1500.反思：本題通過點(diǎn) C在圓上運(yùn)動(dòng)的不確定性而引起結(jié)果的不唯一性。從而需 要分類討論。這樣由點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)變化性而引起的分類討論在解題中經(jīng)常出現(xiàn)。AB的一半，由變式1 :已知 ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若 AB 273，求/ C的大小.ABO當(dāng)則1 AOB 600，即 AOB 1200本題與例1的區(qū)別只是AB與圓的半徑的關(guān)系發(fā)生了一些變化，其解題方法與上面一致，在三1ABsin 丄 AOB 2 角形AOB中，2OB從而當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時(shí),C所對(duì)的弧是劣弧 AB，它的大小為劣弧AB

12、的一半,當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時(shí)，/AB 的一半，由/ AOB=1200 得，同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：/(2)四邊形ABCD的面積由三個(gè)三角形組成，其中三角形AOB的面積為734，而三角OD AF OC形AOD與三角形BOC的面積之和為22BG2(afBG)，又由梯的中位線定理得三角形 AOD與三角形BOC的面積之和BG) EH，要四邊形即 C 600所對(duì)的弧是優(yōu)弧 AB，它的大小為優(yōu)弧優(yōu)弧AB的度數(shù)為 3600-1200=2400,則由C=1200,因此 C600 或/ C=1200.變式2:如圖，半經(jīng)為1的半圓O上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) A、B,若AB=1 , 判斷/ AOB的大小是否會(huì)隨

13、點(diǎn) A、B的變化而變化，若變化，求出變化范 圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。則/ AOB=600 ,解：(1)由于AB=OA=OB，所以三角形 AOB為等邊三角形， 即/ AOB的大小不會(huì)隨點(diǎn) A、B的變化而變化。，當(dāng) AB / CD 時(shí),EH=OE，因此V3ABCD的面積最大，只需 EH最大，顯然EH < OE= 2V3 V3 3/3四邊形ABCD的面積最大值為 4+2=4對(duì)于本題同學(xué)們還可以繼續(xù)思考：四邊形ABCD的周長(zhǎng)的變化范圍. 變式3:如圖,有一塊半圓形的木板，現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的 兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B,另一個(gè)頂點(diǎn) C在半圓上，問怎樣截取才能

14、使截出的三角形 的面積最大？要求說明理由(廣州市2000年考題)分析：要使三角形 ABC的面積最大，而三角形 ABC的底邊AB為 圓的直徑為常量，只需AB邊上的高最大即可。 過點(diǎn)C作CD丄AB于點(diǎn) D，連結(jié)CO,由于CD< CO,當(dāng)O與D重合，CD=CO，因此，當(dāng) CO與AB垂直時(shí),即C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，其三角形 本題也可以先猜想，點(diǎn) 置C1 （不與C重合）ABC的面積最大。C為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形 ABC的面積最大，故只需另選一個(gè)位 ,證明三角形 ABC的面積大于三角形 ABC1的面積即可。如圖1 1顯然三角形 ABC1的面積=2 AB X C1D ,而C1D< C10=C0,

15、則三角形 ABC1的面積=2 AB1X C1D< 2 AB X C10=三角形 ABC的面積，因此，對(duì)于除點(diǎn) C外的任意點(diǎn) C1,都有三角形ABC1的面積小于三角形三角形 ABC的面積，故點(diǎn)C為半圓中點(diǎn)時(shí)，三角形ABC面積最大. 本題還可研究三角形 ABC的周長(zhǎng)何時(shí)最大的問題。提示：利用周長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系。要三角形ABC的周長(zhǎng)最大，AB數(shù)，只需 AC+BC 最大，而（AC+BC ） 2=AC2+CB2+2AC X BC=AB2+4ABC的面積，因此A ABC的面積最大時(shí)，AC+BC最大，從而A ABC 長(zhǎng)最大。從以上一道題及其三個(gè)變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn)方法有： 特殊探路，一般推證 例2

16、: 如圖，O 01和O 02內(nèi)切于A , O 01的半徑為3, O 02的半徑為為常XA的周，解決動(dòng)態(tài)幾何問題的常見Ci2,點(diǎn)P為O O1上的任一點(diǎn)（與點(diǎn) A不重合），直線PA交O 02于點(diǎn)C, PB切O 02于點(diǎn)B ,BP則PC的值為(A) J2(B) “33(C) 2J6(D)2分析：本題是一道選擇題，給出四個(gè)答案有且只有一個(gè)是正確的，因此可以 取一個(gè)特殊位置進(jìn)行研究，當(dāng)點(diǎn)P滿足 PB丄AB時(shí)，可以通過計(jì)算得出PB= J32122 血BC X AP=BP X AB ,因此AB BPbc=Jab2 bp28J2V16 88展264J2在三角形BPC中,JbP2 BC2PC=2463BP所以，

17、PC八。選（B）BP AP當(dāng)然，本題還可以根據(jù)三角形相似得PC BP，即可計(jì)算出結(jié)論。我們得出的結(jié)論只是一個(gè)特殊情況,OA BC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊點(diǎn)E不與B、若變化，求ACCD,延長(zhǎng)4,點(diǎn)M在邊DC上，且DM=1，N為 的最小值為.與建立三角形兩邊之和大于第三邊等問作為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但如果是一道解答題, 還要進(jìn)一步證明對(duì)一般情況也成立。例3:如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，AB、AC上滑動(dòng)并保持 AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合, A重合。判斷 OEF的形狀，并加以證明。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn) E、F的變化而變化, 其變化范圍，若不變化，求它的值.AE

18、F的面積是否隨著點(diǎn) E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。分析：本題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)， 先從特殊情況入手。 最特殊情況為E、F分別為AB、 AC中點(diǎn)，顯然有 EOF為等腰直角三角形。 還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E與A無限接近時(shí)， 點(diǎn)F與點(diǎn)C無限接近，此時(shí) EOF無限接近 AOC，而 AOC為等腰直角三 角形，幾種特殊情況都可以得出EOF為等腰直角三角形。一般情況下成立嗎？OE與OF相等嗎？/ EOF為直角嗎？能否證明。如果它們成立，便可以推出三 角形OFC與三角形OEA全等，一般情況下這兩個(gè)三角形全等嗎？ 不難從題目的條件可得：OA=OC , / OCF= / OAE，而AE=CF，則

19、OEAOFC，貝U OE=OF，且/ FOC= / EOA，所以/ EOF= / EOA+ / AOF= / FOC+ /FOA=9OO，則/ EOF為直角，故A EOF為等腰直角三角形。動(dòng)手實(shí)踐，操作確認(rèn)例4 )在O O中，C為弧AB的中點(diǎn)，D為弧AC上任一點(diǎn)(與 A、C不重合)， 則(A ) AC+CB=AD+DB(B) AC+CB<AD+DB(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB 與AD+DB 的大小關(guān)系不確定分析：本題可以通過動(dòng)手操作一下 ，度量AC、CB、AD、DB的長(zhǎng)度，可以嘗試換幾個(gè)位置量 一量，得出結(jié)論(C) 例5如圖，過兩同心圓的小圓上任一點(diǎn)C分別作小

20、圓的直徑 CA和非直徑的弦CA和CD與大圓分別交于點(diǎn) B、E，則下列結(jié)論中正確的是(A) DE AB (B) DE AB(C) DE AB (D) DE,AB的大小不確定分析：本題可以通過度量的方法進(jìn)行，選(B)本題也可以可以證明得出結(jié)論，連結(jié)DO、EO,則在三角形 OED 中,兩邊之差小于第三邊，則OEOD<DE,即 OBOA<DE,因此 AB ED，即 DE AB建立聯(lián)系，計(jì)算說明B例6:如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，貝U DN+MN 分析：能否將 DN和NM進(jìn)行轉(zhuǎn)化,題，很自然地想到軸對(duì)稱問題，由于 ABCD為正方形，因此連結(jié) BN，顯然有ND=NB，

21、則 問題就轉(zhuǎn)化為 BN+NM 的最小值問題了，一般情況下： BN+NM >BM,只有在B、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值為BM=JBC2 CM 25本題通過建立平面上三個(gè)點(diǎn)中構(gòu)成的三角形中的兩邊之和大于第三邊及共線時(shí)的兩邊之和 等于第三邊的特殊情況求最小值，最后通過勾股定理計(jì)算得出結(jié)論。例7:如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4 , OA BC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動(dòng)并保持 AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。 判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn) E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化, 求它的值.AEF的面

22、積是否隨著點(diǎn) E、F的變化而變化,若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。（即例3的第2、第3問）分析：（2）本題的方法很多，其一，可以建立四邊形AEOF與AE長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，如設(shè) AE=x，則AF= 2（2 x22C而三角形AOB的面積與三角形 AOE的面積之比=x而三角形-OB OA 2AOB的面積=2X，則三角形 AOE的面積=J2，同理三角形 AOF的面積2邁X近 ,因此四邊形 AEOF的面積=X （2 逅 X）2丘;即AEOF的面積不會(huì)隨點(diǎn) E、F的變化而變化，是一個(gè)定值，且為2.當(dāng)然，本題也可以這樣思考，由于三角形 面積與三角形 AOC的面積相等，而 AOC 變化而變化，是一個(gè)定

23、值，且為2.本題通過建立函數(shù)關(guān)系或有關(guān)圖形之間的關(guān)系 用比較廣泛.AOE與三角形COF全等，則四邊形 AEOF的 的面積為2,因此AEOF的面積不會(huì)隨點(diǎn) E、F的，然后通過簡(jiǎn)單的計(jì)算得出結(jié)論的方法應(yīng)第（3）問,也可以通過建立函數(shù)AEF 的面積丄乂。X） -（x 血）2=2 21,又x的變化范圍為0X 2丘,由二次函數(shù)知識(shí)得AEF的面積的范圍為：0 AEF的面積 1本題也可以根據(jù)三角形 AEF與三角形OEF的面積關(guān)系確定AEF的面積范圍：不難證明AEF的面積w OEF的面積，它們公用邊EF,取EF的中點(diǎn)H，顯然由于 OEF-EF為等腰直角三角形，則 0H丄EF,作AG丄EF,顯然AG w AH=

24、AG ( = 2),所以 AEF的面積w OEF的面積，而它們的和為 2，因此0AEF的面積 1本題包容的內(nèi)涵十分豐富，還可以提出很多問題研究: 比如，比較線段 EF與A0長(zhǎng)度大小等(可以通過 得出很多結(jié)論)E、0、F四點(diǎn)在以EF為直徑的圓上點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn) A開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動(dòng)；點(diǎn) Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn) 以1厘米/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t秒表示移動(dòng)的時(shí)間 w t(1)(2)(3)例 &如圖，在矩形 ABCD 中，AB=12cm , BC=6cm ,<6),那么：當(dāng)t為何值時(shí)，三角形 QAP為等腰三角形？求四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn) Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似?A (0分析：(1 )當(dāng)三角形QAP為等腰三角形時(shí)，由于/ A為直角，只能是AQ=AP，建立等量關(guān)系，2t 6t，即t 2時(shí)，三角形 QAP為等腰三角形;四邊形QAPC的面積=ABCD的面積一三角形 QDC的面積一三角形 PBC的面積1212 x7(12 2x) 62=36，即當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形 QAPC的面積不變。顯然有兩種情況: PAQsA ABC , QAP ABC ,2x12 2x由相似關(guān)系得6 x_612，解之得X