帶電粒子在磁場中的運(yùn)動習(xí)題

1、M0N帶電粒子在磁場中的運(yùn)動【例1】圓心為0、半徑為r的圓形區(qū)域中有一個磁感強(qiáng)度為B、方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蚶锏膭驈?qiáng)磁場，與區(qū)域邊緣的最短距離為L的0/處有一豎直放置的熒屏 MN ,今有一質(zhì)量為 m的電子以速 率v從左側(cè)沿OO，方向垂直射入磁場，越出磁場后打在熒光屏 上之P點(diǎn)，如圖3所示，求0, P的長度和電子通過磁場所用的 時間.【例2】如圖所示，MN為一豎直放置足夠大的熒光屏，距熒光屏左邊I的空間存在著一寬度也為 I、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁強(qiáng)。0為熒光屏上的一點(diǎn)，00 與熒光屏垂直，一質(zhì)量為 m、電荷量為q的 帶正電的粒子(重力不計(jì))以初速度V0從0點(diǎn)沿00方向射入磁場區(qū)域。粒子離開磁場后打

2、到熒光屏上時，速度方向與豎直方向成 角。(1) 求勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和粒子打在熒光屏上時偏離的距離；(2) 若開始時在磁場區(qū)域再加上與磁場方向相反的勻強(qiáng)電場(圖中未畫出)，場強(qiáng)大小為E，則該粒子打在熒光屏上時的動能為多少300 點(diǎn)fj工 X二 4 TtK X X XM X K X（磁感應(yīng)智Vqk【例3】一質(zhì)量為 m、帶電量為q的帶電粒子以某一初速射入如圖所示的勻強(qiáng)磁場中 強(qiáng)度為B,磁場寬度為 L），要使此帶電粒子穿過這個磁場，則帶電粒子的初速度 應(yīng)為多大？【例4】如圖所示，在垂直 xoy坐標(biāo)平面方向上有足夠大的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，其磁感強(qiáng)度B= 1 T, 一質(zhì)量m= 3X 10 T6 kg、電

3、量為q=+1X10七的質(zhì)點(diǎn)（其重力忽略不計(jì)），以v= 4X Wm/s速率通過坐標(biāo)原點(diǎn)O,之后歷時4nX 10 8 s飛經(jīng)x軸上A點(diǎn)，試求帶電質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的圓心坐標(biāo)，并在坐標(biāo)系中畫出軌跡示意圖【例5】如圖所示，在一個圓形區(qū)域內(nèi)，兩個方向相 反且都垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場分布在以直徑A2A4為邊界的兩個半圓形區(qū)域I、n中，A2A4與AiA3的夾角為600.一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子以某一速度從I區(qū)的邊 緣點(diǎn)Ai處沿與AiA3成300角的方向射入磁場，隨后該粒 子以垂直于 a2a4的方向經(jīng)過圓心 0進(jìn)入n區(qū)，最后再從 A4處射出磁場.已知該粒子從射入到射出磁場所用的時間 為t,求I區(qū)和n區(qū)中磁

4、感應(yīng)強(qiáng)度的大?。ê雎粤Ｗ又亓Γ?A1 二_；* / +/ + *:+J:+A J.”-圖/片* t:+ / +/_60o_+n yA3直于平面向外的勻強(qiáng)磁場?，F(xiàn)有一質(zhì)量為 方向從坐標(biāo)為 軸方向夾角為（1）粒子從（2）粒子從【例6】如圖所示，在xoy坐標(biāo)平面的第一象限內(nèi)有沿一y方向的勻強(qiáng)電場，在第四象限內(nèi)有垂m,帶電量為+ q的粒子（重力不計(jì)）以初速度V0沿一x（31, I）的P點(diǎn)開始運(yùn)動，接著進(jìn)入磁場后由坐標(biāo)原點(diǎn)0射出，射出時速度方向與 y45,求：0點(diǎn)射出時的速度 v和電場強(qiáng)度 P點(diǎn)運(yùn)動到0點(diǎn)過程所用的時間。hP1-【例7】如圖所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場， 左側(cè)勻強(qiáng)電場的

5、場強(qiáng)大小為E方向水平向右，其寬度為L;中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場的磁感強(qiáng)度大小為B方向垂直紙面向外；右側(cè)勻強(qiáng)磁場的磁感強(qiáng)度大小也為 B方向垂直紙面向里.一個帶正電的粒子（質(zhì)量 m,電量q,不計(jì)重力）從電場左邊緣a點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動，穿過中間 磁場區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁場區(qū)域后，又回到了a點(diǎn)，然后重復(fù)上述運(yùn)動過程.求：中間磁場區(qū)域的寬度 d.帶電粒子從a點(diǎn)開始運(yùn)動到第一次回到 a點(diǎn)時所用的時間t.【例8】如圖甲所示，MN為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d,兩板中央有一個NO乙圖1小孔OO正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間的變化如圖乙所示.有一群 正離子在t=0時垂直于M板從小孔O射入磁場

6、， 已知正離子質(zhì)量為 m、帶電量為q,正離子在磁場 中做勻速圓周運(yùn)動的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化周 期都為T0.不考慮由于磁場的變化而產(chǎn)生電場的影 響，不計(jì)離子所受重力.求：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度Bo的大??；和方向豎直向上的勻強(qiáng)電a，它運(yùn)動到最低點(diǎn)處恰與原 ，碰后兩（2）要使正離子從 O孔垂直于N板射出磁場， 正離子射入磁場時的速度 V0的可能值.Ea 0, 0x0，xa的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。在0點(diǎn)出有一小孔,一束質(zhì)量為m、帶電量為q (q0)的粒子沿x周經(jīng)小孔射入磁場，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值

7、。已知速度最大的粒子在0xa的區(qū)域中運(yùn)動的時間之比為2 : 5,在磁場中運(yùn)動的總時間為7T/12 ,其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動的周期。試求兩個熒光屏上亮線的范圍XX :-XhllX :hXIIIX i -1XX i1XX i yO(不計(jì)重力的影響)。25. (2007)兩屏幕熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別去垂直于兩屏交線的直線為25. (2008)如圖所示，在坐標(biāo)系 xOy中，過原點(diǎn)的直線限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場，其上邊界與電場邊界 重疊、右邊界為y軸、左邊界為圖中平行于 y軸的虛線，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直紙面向里。一帶正電荷 q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場

8、左OC與x軸正向的夾角0 =120。，在OC右側(cè)有一勻強(qiáng)電場；在第二、三象邊界上的A點(diǎn)射入磁場區(qū)域，并從 O點(diǎn)射出，粒子射出磁場的速度方向與x軸的夾角0 = 30 ，大小為V。粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且 弧的半徑為磁場左右邊界間距的兩倍。粒子進(jìn)入電場后，在電場力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場區(qū)域，經(jīng)過一段時間后再次離開磁場。已知粒子從A點(diǎn)射入到第二次離開磁場所用的時間恰好等于粒 子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期。忽略重力的影響。求Ay(1 )粒子經(jīng)過A點(diǎn)時速度的方向和 A點(diǎn)到x軸的距離；1|(2) 勻強(qiáng)電場的大小和方向；(3) 粒子從第二次離開磁場到再次進(jìn)入電場時所用的時間。*ihi參考

9、答案【例1】解：電子所受重力不計(jì).它在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，圓心為 跡AB所對的圓心角為0，電子越出磁場后做速率仍為/ OAOB OBO同一直線上，且/Ov的勻速直線運(yùn)動，又 OA丄O A，故 OB丄O B,由于原有 BP丄OO / OP= / AO B= 0，在直角三角形OO /，半徑為R圓弧段軌 如圖所示，連結(jié)OB,B，可見O、B、P在P 中，O / P=(L+r)tan 0，而tans2tan1-tan2)2tan()= = ,所以求得R后就可以求出 O/ P 了，電子經(jīng)過磁場的時間可用2 RABt= 一V罟來求得.BemV!得Rm/R=mV OP =(L + r)ta n9 eB2 R

10、 mV62ta n(ntan =21 -tan2()22eBrmV= m2V2 -e2B2r2O,P =(L+r)tan2(2V；r)eBBmV2 m V -e B r d2eBrmV0 =arctan( _)mV -e B r甲 m , 2eBrmV 、t =廠-arctan()V eBm V -e B rMON圖【例2】解：(1)粒子從O點(diǎn)射入，P點(diǎn)射出，沿直線運(yùn)動到熒光屏上的S點(diǎn)，如圖所示，由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動轉(zhuǎn)過的圓心角0 =60運(yùn)動軌道半徑為:R =sin 60qvB2v=m一r（2）再加上電場后，根據(jù)運(yùn)動的獨(dú)立性，帶電粒子沿電場方向勻加速運(yùn)動，運(yùn)動加速度qEa

11、 =m71R7Td粒子在磁場中運(yùn)動時間為：2兀mqB1T- v2兀R22兀mqB2設(shè)圓形區(qū)域的半徑為 r,如答圖 連接AiA2, A1OA2為等邊三角形，5所示，已知帶電粒子過圓心且垂直A3A4進(jìn)入n區(qū)磁場,A2為帶電粒子在n區(qū)磁場中運(yùn)動軌跡的圓心，其半徑：某些方面 R=OA2 =r圓心角NAA2O =60,帶電粒子在I區(qū)磁場中運(yùn)動的時間為帶電粒子在n區(qū)磁場中運(yùn)動軌跡的圓心在0A的中點(diǎn)，即:在“區(qū)磁場中運(yùn)動時間為：1=產(chǎn)帶電粒子從射入到射出磁場所用的總時間:t =ti +t2由以上各式可得Bl =6 qt【例6】解：根據(jù)題意可推知：帶電粒子在電場中作類平拋運(yùn)動，由 作勻速圓周運(yùn)動，最終由 0點(diǎn)

12、射出。(軌跡如圖所示)Q點(diǎn)時速度大小為 V,Q點(diǎn)進(jìn)入磁場，在磁場中(1)根據(jù)對稱性可知，粒子在vcos45= V0方向與一x軸方向成45。則有:解得：v = J2v0在P到Q過程中:qEI Jmv221-mv22解得E二空02ql(2)粒子在Q點(diǎn)時沿P到Q的運(yùn)動時間方向速度大小 Vy = vsin45tiVyVyqEP到Q沿一x方向的位移為：S=V0t1則0Q之間的距離為：0Q = 31 S粒子在磁場中的運(yùn)動半徑為 r，則有:V2r ：= l粒子在磁場中的運(yùn)動時間1 2町t2 =v粒子在由P到Q的過程中的總時間T= tl + t2由解得:兀 丨丁=(2+歳【例7】解：(1)電場中加速，由動能定

13、理得 qEL2mV磁場中偏轉(zhuǎn)，由牛頓第二定律得2v qvB =m r馬* J01J*1 (2mELmv r =一 qB如圖，三段圓弧的圓心組成的三角形OQQ是等邊三角可見在兩磁場區(qū)粒子運(yùn)動半徑相同, 形，其邊長為2r二 d =rsin601 6mEL(2)電場中,ti2v 2mv c j2mLTIE2帰中間磁場中,t2= 2xTS6 3qB_ 5兀m3qB右側(cè)磁場中,則 t =ti +t2 +t3十7兀m3qB【例8】解：碰撞前a做曲線運(yùn)動，電場力和重力做功，獲得速度V, a、b碰撞動量守恒，碰后合液滴豎直方向合力為零，沿水平方向勻速直線運(yùn)動.設(shè)a電量為一4q,質(zhì)量為2m, b電量為q，質(zhì)量為

14、 m1 碰前對a由動能定理：2mgh+4Eqh =mw對b碰前有：qE=mga、b碰撞，動量守恒2m = (2m +m)v2碰后合液滴水平直線，力平衡，總電量-3q ,質(zhì)量3m(4)f 洛=3mg +3Eq3Bqw =3mg+3Eq由聯(lián)立得h3E22Jim【例9】解析：(1) Bo =；詳解略.qTo要使粒子射出時滿足題設(shè)應(yīng)有：d = n 4R,n =1,2,3,2由牛頓第二定律得：qvBo = mvo / R由以上兩式得：v0 =Jid2nT0(n =1,2,3 )17. (16 分)(1)設(shè)兩板間電壓為 U時，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場，則有dJat22 2=1器(+)2 ；代入數(shù)據(jù)，

15、解得：U=100V在電壓低于100V時，帶電粒子才能從兩板間射出，電壓高于 100V時，帶電粒子打在極板上，不能 從兩板間射出。粒子剛好從極板邊緣射出電場時，速度最大，設(shè)最大速度為V1，則有:2mv2 =1mv0 +q 牛； 解得：Vj =72x105m/s=1.414 X 105m/s(2)設(shè)粒子進(jìn)入磁場時速度方向與OO的夾角為0，則速度大小V=CV ,粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑R _ mv _ mv) qB qBcosT，粒子從磁場中飛出的位置與進(jìn)入磁場的位置之間的距離2mvos=2Rco心甫代入數(shù)據(jù)，解得s=0.4m,與0無關(guān)，即射出電場的任何一個帶電粒子進(jìn)入 磁場的入射點(diǎn)與出射點(diǎn)

16、間距離恒為定值。(3)粒子飛出電場進(jìn)入磁場，在磁場中按逆時針 方向做勻速圓周運(yùn)動。粒子飛出電場時的速度方向V072與OO的最大夾角為 a, cosa=wV12a =45。當(dāng)粒子從下板邊緣飛出電場再進(jìn)入磁場時，在磁場中運(yùn)動時間最長,tmax =3T 3 Tm- -6=3n X 10 s=9.42 X 10 s ;4 2qB當(dāng)粒子從上板邊緣飛出電場再進(jìn)入磁場時，在磁場中運(yùn)動時間最短,T nmtmi42qB=nX 10-6s=3.14 X 10-6s25、(2007)解：粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的半徑為:mvr =一qBXV a的區(qū)域走完 半圓的直徑在 y 0到a,屏上發(fā)亮速度小的粒子將

17、在 圓，射到豎直屏上。 上，半徑的范圍從 圍從0到2a。軌道半徑大于 a的粒子開始進(jìn)入右 場，考慮r= a的極限情況，這種粒 右側(cè)的圓軌跡與X軸在D點(diǎn)相切(虛 OD = 2a,這是水平屏上發(fā)亮范圍的 界。速度最大的粒子的軌跡如圖中實(shí)線所示, 軸上，由對稱性可知 C在 設(shè)ti為粒子在0V XV aC 和 c/,側(cè)磁 子在 線)，左邊它由兩段圓弧組成，圓心分別為 x= 2a直線上。的區(qū)域中運(yùn)動的時間，t2為在x a的區(qū)域中運(yùn)動的時間，由題意可知g = 2t2 5解得:tltlt2=7!12 =T65!-12由兩式和對稱性可得:/ OCM = 60/ MC/N = 605X = 15012/ NC/

18、P= 150。一 60 = 90 ZMC / P = 360所以1即NP為圓周，因此，圓心 C/在 X軸上。4設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為R,由直角ACOC/可得2Rsi n60 = 2a由圖可知OP = 2a+R,因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo)X = 2(1 +25 (2008) (22 分)(1 )設(shè)磁場左邊界與 X軸相交于D 粒子過O點(diǎn)的速度v垂直。在直角三角形 OO =2d。依題意可知，粒子第一次進(jìn)入磁場的運(yùn)動軌跡的圓心即為 為300,且OA為圓弧的半徑 R。由此可知，粒子自 A點(diǎn)射入磁場的速度與左邊界垂直。A點(diǎn)到X軸的距離點(diǎn)，與CO相交于O點(diǎn)，則幾何關(guān)系可知，直線 OO 與OO D中/ OO D =300。設(shè)磁場左右邊界間距為 d,則O點(diǎn)，圓孤軌跡所對的圓心角AD =R(1 -COS30J由洛侖茲力公式、牛頓第二定律及圓周運(yùn)動的規(guī)律,2C mvqvB =R22聯(lián)立式得qB(2)設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期為T ,_T_12tiP第一次在磁場中飛行的時間為X軸正向夾角應(yīng)為150(。由幾何關(guān)系可知，粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場的速度方向與磁場右邊夾角為60a設(shè)粒子第二次在磁場中飛行的圓弧的圓心為O , O必定在直線OC上。設(shè)粒子射出磁場時與磁場右邊界交于P點(diǎn)，