《面積問題之”水平寬、鉛錘高“模型的實戰(zhàn)分析》

1、勤奮是一種品質(zhì)，優(yōu)秀是一種習慣三角形面積問題之“寬高公式”的實戰(zhàn)分析高郵市贊化學校段廣猛三角形面積問題之“寬高公式”的兩種證明方法一文中，主要介紹了三種情形下 “寬高公式”模型的證明.1如圖1、圖2、圖3所示，S ABC _ OC AD ,其中OC表示日C兩點在水平方 向2上的距離，簡稱這個三角形的“水平寬”；而AD表示點A到邊BC在豎直方向上的距離，I簡稱這個三角形的“鉛錘高”.于是三角形的面積S=2 水平寬 鉛錘高，這個公式不妨稱為“寬高公式”.細心觀察上面三種情形，操作方式都是過點A作平行于y軸的直線交邊BC所在的直線于點D,則AD就是“鉛錘高”；而 B、C兩點之間的水平距離，即線段OC

2、就是“水平寬”.在實際應(yīng)用中，筆者不建議學生固化思維，強記這里的結(jié)論而直接使用.一方面，這個公式課本上并沒有直接出現(xiàn)，中考時能不能直接使用值得商榷；另一方面，對于圖2的 結(jié)論，大部分學生普遍可以接受，但是若是不知道這個公式推導的來龍去脈而強行直接使 用，圖1及圖3的結(jié)論，多數(shù)學生是很難理解原理而導致不能正確使用更何況，這三種情形下的推導過程也是相輔相成、思想統(tǒng)一的，都采用了 “改斜歸正”及“割補法”的思想，而這兩種思想方法又是極其重要的解題原理，需要同學們認真 深刻體會的，所以筆者強烈建議學生體會這里的推導原理，以達到靈活使用的目的.其實，掌握了原理，怎么割補三角形都可以，只要過三角形的三個頂

3、點中的任意一點作平行 于坐標軸的直線都可以實現(xiàn)面積處理，僅僅是繁簡程度不一而已，下文會一一提及.如圖4、圖5、圖6所示，S abc _1 BD AE ,其中BD表示點B到邊AC在水平方2向上的距離，簡稱這個三角形的“水平寬”；而AE表示A、C兩點在豎直方向上的距離，簡稱這個三角形的“鉛錘高”.于是依然有三角形的面積S=2 水平寬鉛錘高.這三張圖的操作方式都是過點B作平行于x軸的直線交邊 AC所在的直線于點 D,則BD就是“水平寬”；而 A、C兩點之間的豎直距離，即線段AE就是“鉛錘高”.1 A實際上，過點C作平行于坐標軸的直線， 無論是平行于x軸，還是平行于y軸，最終都可 以實現(xiàn)對于此三角形的

4、面積處理 ，有時是“害 即“面積加法”；有時是“補”，即“面積減法”, 由此可以看出，不用強記公式，只要過三角形的 三個頂點中的任意一點作平行于坐標軸的直線 ， 無論是平行于x軸，還是平行于y軸，都可以實 現(xiàn)面積處理.圖7提供了一種方式，12 - CD AE.ABC那么問題來了，割補方式千變?nèi)f化，而且好像都可行，在解題實戰(zhàn)中，難道就隨意割補嗎？非也！理論上是都可行，但計算量絕不相當！我們知道，“在變化中抓不變量”也是一種重要的思想方法，“以不變應(yīng)萬變”.此時再結(jié)合這個解題策略，就可以使計算過程“如履平地”.在三角形三個頂點中，一般情況下會有兩個定點和一個動點，抓住這兩個定點就是關(guān) 鍵所在.如圖

5、8或圖9所示，點B和點C是兩個定點，而點 A是一個動點.這時，我們就應(yīng) 該過動點A作平行于y軸或者平行于x軸的直線交直線 BC于點D,利用B、C兩個定點求 出直線BC的解析式，再設(shè)出動點 A的坐標，將橫坐標或者縱坐標代入直線 BC的解析式，表示出點D的坐標，進而容易表示出線段 AD.在圖9中，SABC S ACD S ABD =_ 1AD CF2! L1!A AD BE 2 AD (CF BE) 2 AD (OE BE) 2 AD OB,因為 BC都是定點，故 OB是常值，而且直線 BC的解析式易求，進而 AD的長度好表示.若是你“不信邪”，偏偏如圖10所示那樣“割補”，我想說“此路依然行得通

6、”，但與前面的兩種方法相比，一煩在“水平寬” BD上，需要求出直線 AC的解析式，理論上肯 定行得通，這條直線的解析式會因為點A是動點而導致含有參數(shù)，計算量較大；二煩在“鉛錘高” AE上，也是因為點 A是動點而導致含有參數(shù).“罪魁禍首”都在動點A上，而“元兇”就是因為一開始過定點B進行了 “割補”.需要特別說明的是，這種方法并非是錯誤的，僅僅是計算量較大些，其操作依然是可行的下面以2016年蘇州中考壓軸題第(2)問為例具體談?wù)劇皩捀吖健钡氖褂?.(2016? 蘇州)如圖11,直線l : y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于 A、B兩點，拋物線y=ax2- 2ax+a+4 (av 0)經(jīng)過點B

7、. (1)求該拋物線的函數(shù)表達式；第5頁共7頁勤奮是一種品質(zhì)，優(yōu)秀是一種習慣(2)已知點M是拋物線上的一個動點，并且點 M在第一象限 內(nèi)，連接AM BM設(shè)點M的橫坐標為 m, ABM的面積為S,求S 與m的函數(shù)表達式，并求出 S的最大值.對于第(1)小問，易知該拋物線的函數(shù)表達式為：y=-x2+2x+3;對于第(2)小問，這是一個“兩定一動型”三角形面積 問題，“死咬” A、B兩定點“不松口”，過動點 M作平行于坐標軸的直線進行“割補”即可，這里提供兩種方式方式一：如圖12所示，過動點 M作平行于y軸的直線交邊 AB1所在的直線于點 N,則S ABM S MNB S MNA =IMN OG J

8、 2_MN AG MN (OG AG) MN OA.設(shè)M (t , -t 2+2t+3 ),其中t的取值范圍是 0 vt <3,則N (t ,-3t+3 ),從而 MN： yMyN= (-t 2+2t+3 ) - (-3t+3 ) =-t 2+5t,而OA=1 故2228S= (-t 2+5t ) =-t (t-5 ),當 t=時，S 有最后直為.值得一提的是，上面的操作過程可總結(jié)如下：第一步：抓住兩個定點 A和B,它們之間在水平方向上的距離OA作為4ABM的“水平寬”；第二步：過動點 M作平行于y軸的直線交邊 AB所在的直線于點N,則MN乍為4ABM的“鉛錘高”；第三步：將面積“往 豎

9、直線MN±靠"，通過面積“減法”，2得到所求三角形的面積為S ABM MN OA.方式二：如圖13所示，過動點 M作平行于x軸 的直線交邊AB所在的直線于點N交y _LJ_22第#頁共7頁勤奮是一種品質(zhì)，優(yōu)秀是一種習慣軸于點G,則S ABM S MNBS MNA=1MNBG MN OG1 MN (BG OG)2MN OB .設(shè)M (t , -t 2+2t+3 ),其中t的取值范圍是 0vtv3,則t2 _2t 2 t2 2t _t2 5tN(，-1 +2t+3 )，從而 MN= XMXN t- =, 333而 OB=3,故 S=_1_t2 _5t 3=- _1 t (t-5

10、 )，當 t= _5 時，S有2 32225最大值為.上面的操作過程可總結(jié)如下:第一步：抓住兩個定點 A和B,它們之間在豎直方向上的距離 OB作為4ABM的“鉛錘 高”；第二步：過動點 M作平行于x軸的直線交邊 AB所在的直線于點 N,則MN乍為4ABM 的“水平寬”；第三步：將面積“往水平線 MN±靠"，通過面積“加法”，得到所求三角形的面積為_S ABM MN OB .至此，這個“兩定兩動型”三角形面積問題，利用“寬高公式”得到了比較完美的解 答.當然，關(guān)于面積處理，絕不僅僅只有“寬高公式”，還有很多其他的路可走，如“框圖 法”（亦可稱“矩形大法”）、其他的割補法（如上

11、題中連接 OM&是一種很好的分割處理 手段）等等，但大多體現(xiàn)出來的思想方法都是“大同小異”的，即想方設(shè)法將所求“斜面 積” “改斜歸正”，使問題得以解決.后面若有機會，會專門成文，敬請期待！通過前面的模型證明及本文的實戰(zhàn)分析，筆者認為根本不用記憶所謂的“寬高公式”，只要在處理面積的問題中，狠抓不動點不放手，過動點作平行于坐標軸的直線交 這不動邊所在的直線于一點，將三角形的面積進行“害或"補”，即面積“加”或“減”，然后平移其中一條高線，即可轉(zhuǎn)化為高線的“加”或“減”，就能夠得出所謂的 “寬高公式”！這道蘇州中考真題中有一個限制條件“點M在第一象限內(nèi)”，很明顯是為了簡化起見.若是將這個條件去掉，即“點M是拋物線上任意一動點”，那么 ABM的面積為S關(guān)于m的函數(shù)表達式又如何求解呢？我想其他的方法就未必恰當了，這時“寬高法”的作用會更 明顯.圖14及圖15給出了兩種情形，前者可看出此時方法過程跟原題一模一樣；而后者可 看出唯一的區(qū)別就是點 N位于了點M的上方，此時 MN= yN yM,其他都沒變化也就是這時候要分類了，分類的標準就是M N “誰高誰低”，可分三類，也可分兩類.甚至于，結(jié)合本人作品巧用絕對值避