初中幾何常用輔助線專題

1、W.圖5 1初中幾何常見輔助線做法一、三角形常見輔助線做法方法1:有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍；含有中點的題目，常常做三角形的中位線，把結(jié)論恰當?shù)霓D(zhuǎn)移例1、如圖57: AD為AABC的中線，求證：AB+AC>2ADO【分析】：要證AB+AO2AD,由圖想到：AB + BD>AD, AC+CD>AD,所以有AB+AC+ BD +CD>AD+AD = 2AD,左邊比要證結(jié)論多BD+CD,故不能直接證出此題，而由2AD想到 要構(gòu)造2AD,即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。證明：延長AD至E,使DE二AD,連接BE,則AE = 2ADVAD為AABC的中線

2、（已知）ABD = CD （中線定義）在4ACD和AEBD中已證）< ZADC=NEO3（對頂角相新AO=EO（輔助線的作法） .AAACDAEBD （SAS）ABE = CA （全等三角形對應邊相等） ;在4ABE中有：AB+BE>AE （三角形兩邊之和大于第三邊）AAB+AC>2ADo例 2、如圖 47: AD 為aABC 的中線，且N1 = N2, N3=N4,求證：BE + CF>EF證明：延長ED至M,使DM二DE,連接 CM, MF。在aBDE和4CDM中,5。= 8（中點的定義）:4 = NCQM （對頂角相等）ED = （輔助線的作法）AABDEACDM

3、 （SAS）又 Z1 = Z2, Z3=Z4 （已知）N1 + N2+N3+N4=18O° （平角的定義）A Z3+Z2=90° ,即：ZEDF=90°A ZFDM=ZEDF =90°在AEDF和MDF中ZO = MD（輔助線的作法）ZEDF = NPOM （已證）QF = OF（公共邊）AAEDFAMDF （SAS）AEF = MF （全等三角形對應邊相等）在ACMF中，CF + CM>MF （三龜形兩邊之和大于第三邊）.BE + CF>EF【備注】：上題也可加倍FD,證法同上。當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通 過延長加倍此線段，構(gòu)

4、造全等三角形，使“千分菽留條件集中。例3、如圖3,在四邊形ABCD中，AB=CD, E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、Ho求證：ZBGE=ZCHEo 證明：連結(jié)BD,并取BD的中點為M,連結(jié)ME、MF,ME是ABCD的中位線，Z. ME g 5 CD, Z. N MEF= N CHE,V MF < A ABD的中位線，. MF g 5 AB,.N MFE= N BGE,TAB二CD,，ME=MF,，NMEF=NMFE,從而 NBGE二NCHE。方法2:含有角平分線的題目，利用南平分線的性質(zhì)做垂線，或構(gòu)造出全等三角形例 4、如圖 2T,已知 AB>

5、AD, NBAC二NFAC, CD=BC。求證：NADC+NB= 180分析：可由C向NBAD的兩邊作垂線。近而證NADC與NB之和為平角。例 5、已知：如圖 37, NBAD二NDAC, AB>AC, CD«LAD 于 D, H 是 BC 中點。求證：DH='(AB-AC)2【分析】：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證。例 6、已知：如圖 3-2, AB=AC, NBAC=90 , BD 為 NABC 的平分線，CE±BE.求證：BD=2CEo【分析】：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線, 可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰

6、三角形。方法3 :證明兩條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法例 7、如圖 2-2,在ABC 中，NA=90 ° , AB=AC, ZABD=ZCBDO 求證：BC=AB+AD【分析】：截長法：在BC上取BE=AB,連接DE,證明4ABDgZEBD, 則AD=DE=CE,結(jié)論可證ZF=ZC=45° , AF=AD,結(jié)論可證補短法：延長BA到F,使BF二BC,連接DF,證明ABCD義ZBFD,例8:已知如圖67:在aABC中，AB>AC, N1 = N2, P為AD上任一點。求證：AB-AOPB-PCo【分析】：要證：AB-AOPB-PC,想到利用三角形

7、三邊關(guān) 系定理證之,因為欲證的是線段之差，故用西邊之差小于 第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC = BN, 再連接PN,則PC = PN,又在中，PB PNVBN,即： AB-AOPB-PCo證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN , 在4APN和4APC中AN = AC（輔助線的作法） N1 = N2（已知） AP = AP（公共邊） bAAAPNAAPC （SAS）PC = PN （全等三角形對應邊相等）在BPN中，有PB-PNVBN （三角形兩邊之差小于第三邊）ABP-PC<AB-AC證明：（補短法） 延長AC至M,使AM=AB

8、,連接PM,在4ABP和AAMP中卜8 = AM （輔助線的作法）丁 N1 = N2（己知）,P = AP（公共邊）/.ABPAAMP （SAS）APB = PM（全等三角形對應邊相等）又在4PCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）AAB-AOPB-PCo二、梯形常用輔助線做法通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三南形、平行四邊形，是解梯形問題的 基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法 如下：圖形例1.如圖所示，在直角梯形ABCD中，ZA=90° ,求CD的長.解：過點D作DE/BC交AB于點E.又ABCD,所以四邊形BC

9、DE是平行四邊形.所以 DE = BC = 17, CD = BE.在RtaDAE中，由勾股定理，得 ae2=de2-ad2,即 ae?=172-152=64.所以AE = 8.AB/DC, AD = 15, AB = 16, BC = 17.所以 BE = AB-AE = 16-8=8.即 CD=8.例 2、如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC, NB+NC=90° , AD=1, BC=3, E、F 分別是 AD、BC的中點，連接EF,求EF的長。W.解：過點E分別作AB、CD的平行線，交BC于點G、H,可得NEGH+ NEHG = NB+ NC = 90°則AEGH

10、是直角三角形因為E、F分別是AD、BC的中點，容易證得F是GH的中點所以 ef=Lgh = L(BCBGCH)22= -(BC-AE-DE) = -BC-(AE+DE) 22= AO) =:(3-1) = 122例 3、已知：梯形 ABCD 中，AD/BC, AD=1, BCM, BD=3, ACM,求梯形 ABCD 的面積.解：如圖，作DEAC,交BC的延長線于£點.VAD/BC 四邊形AGED是平行四邊形，BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5, DE=AC二4;在ADBE 中,BD=3, DE=4, BE=5NBDE=90° .“干 一 BDxED 12作 DH_L

11、BC 于 H,則=BE 5q空,s_(AD + BC)xDH_- XT-J 梯形ABCD 一 一一 0例 4、如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC, NB=50° , NC=80° , AD=2, BC=5,求 CD 的長。解：延長BA、CD交于點Eo在4BCE 中，NB=50° , ZC=80°。所以NE=50° ,從而BC二EC二5,同理可得AD二ED二2所以 CD=EC-ED=5-2=3 例5、如圖，在直角梯形ABCD中，AB/DC, ZABC=90° , AB=2DC,對角線AC«LBD,垂 足為F,過點F作EF/

12、AB,交AD于點E,求證：四邊形ABFE是等腰梯形。證：過點D作DG_LAB于點G,則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BGo因為 AB=2DC,所以 AG二GB。從而 DA二DB,于是/ DAB= Z DBA。又EF/AB,所以四邊形ABFE是等腰梯形。例6、如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD,求證：BD>ACO 證：作AE_LBC于E,作DFLBC于F,則易知AE=DF。在 RtAABE 和 RtADCF 中，因為 AB>CD, AE=DFo所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在 RtABDF 和 RtACAE 中由勾股定理得BD>A

13、C例7、如圖，在梯形ABCD中，AB/DC, 0是BC的中點，NAOD=90° 證：取AD的中點E,連接0E,則易知0E是梯形ABCD的中位線，從而 0E=1 (AB + CD) 2在AOD 中，ZA0D=90° , AE=DE所以。e = Lao2求證:AB+CD=ADo由、得AB+CD=AD。例8、在梯形ABCD中，ADBC, NBAD=90°, E是DC上的中點，連接AE和BE,求證：NAEB=2NCBE。解：分別延長AE與BC ,并交于F點 NBAD=90° 且 ADBCAZFBA=180°-ZBAD=90°又. AD / BCAZDAE=ZFNAED= NFEC , DE=ECAAADEAFCE (AAS)，AE=FE在 AABF 中 NFBA=90° 且 AE=FEBE=FE在AFEB 中 NEBF二NFEBNAEB = NEBF+ NFEB= 2NCBE練習1、如圖，AB=CD, E 為 BC 的中點，ZBAC=ZBCA,求證：AD=2AE。W.2、如圖，ZABC中，BD二DC二AC, E是DC的中點，求證：AD平分NBAE.3、如圖，AC/7BD, EA,EB 分別平分NCAB, NDBA, CD 過點 E,求證;AB=AC+BD,則DE何位置4、