一元函數(shù)連續(xù)性概念復(fù)習(xí)

1、一元函數(shù)連續(xù)性概念（復(fù)習(xí)） 3 二元函數(shù)的連續(xù)性 問題: 1. 一元函數(shù) ( )yf x?在點 0 xx?連續(xù)的三個條件. 2. 一元函數(shù)的間斷分類. 設(shè)y=f(x)在x0鄰域有定義。 若 則稱f(x)在x0連續(xù)， 否則稱f(x)在x0間斷。 00lim( )()xxf xf x?令 則 00()(),yf xxf x? ?0lim0 xy? ?00lim( )()xxf xf x?若f(x)在區(qū)間 I 的每一點連續(xù)，則稱f(x)在區(qū)間 I 連續(xù)。其圖象為一條連續(xù)的曲線. 間斷分類 第一類間斷點 可去間斷點： 跳躍間斷點： 存在, 但與f(x0)不等。 f(x)在x0的左右極限存在，但不相等。

2、 第二類間斷點：f(x)在x0的左、右極限至少有一個不存在。 0lim( )xxf x?一、二元函數(shù)的連續(xù)性 問題: 3. 二元函數(shù) ( , ),( , )zf x yx yD?在點 000(,)Pxy?連續(xù)定義中,對 0P有何要求?是否要求其為D的聚點? 4. 能否將二元函數(shù) ( , ),( , )zf x yx yD?在點 000(,)Pxy?連續(xù)定義表為: 設(shè)D為平面點集， f(P)為定義在D上的二元函數(shù), P0D. 若 00lim()()PPPDf Pf P?則稱f(P)關(guān)于集合D在點P0連續(xù)。 5. 命題判斷: 若 0P為二元函數(shù) ()f P的孤立點,則 ( )f P在點 0P連續(xù).

3、 6. 連續(xù)二元函數(shù)的圖象,是否一定是連續(xù)的曲面? 1、定義 設(shè)D為平面點集， f(P)為定義在D上的二元函數(shù), 若對于任給的0, 相應(yīng)存在 0, 只要 PU(P0;)D, 就有 |f(P)f(P0)|0, 使 U0(P0;)D= 故對于任給的0, 取上述0 ， 只要 PU(P0;)D, 就有 |f(P)f(P0)|0),則存在U(P0), 當(dāng)PU(P0)時，f(P)0. 四則運算法則： 若f(P), g(P)都在P0連續(xù)，則 ()( ),( )( ),( )f Pg xf xg xcf x?在P0連續(xù), 其中c為常數(shù)； 當(dāng) 00()g P?時, ( )( )f Pg P在P0連續(xù). 定理16

4、.7（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性） 若 1) ( , )ux y?和 ( , )vx y?在P0(x0,y0)的鄰域內(nèi)有定義，并在 P0連續(xù)； 2) ( , )f u v在uv平面的Q0(u0,v0)的鄰域內(nèi)有定義，并在Q0連續(xù)； 3) 000000(,),(,),uxyvxy?則，復(fù)合函數(shù) ( , )( , ),( ,)g x yfx yx y?在P0(x0,y0)連續(xù)。 證明分析: 估計 000000|( , )(,)| |( , ),( , )(,),(,)g x yg xyfx yx yfxyxy?00|( , )(,)|f u vf uv?因 f(u,v) 在 (u0,v0)連續(xù)， 所以當(dāng) 0

5、0|,|uuvv?很小時, 00|( , )(,)|f u vf uv?很小. 又 ( , )ux y?和 ( , )vx y?在P0(x0,y0)連續(xù),所以當(dāng) 00|,|xxyy?很小時,能使 00|,|uuvv?很小. 定理16.7（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性） 若 1) ( , )ux y?和 ( , )vx y?在P0(x0,y0)的鄰域內(nèi)有定義，并在 P0連續(xù)； 2) ( , )f u v在uv平面的Q0(u0,v0)的鄰域內(nèi)有定義，并在Q0連續(xù)； 3) 000000(,),(,),uxyvxy?則，復(fù)合函數(shù) ( , )( , ),( ,)g x yfx yx y?在P0(x0,y0)連續(xù)。

6、證： f(u,v)在(u0,v0)連續(xù)： 0000,( , ):|,|,u vuuvv?00|( , )(,)|.f u vf uv?又和在點P0連續(xù)， 對上述 0,?0,?( , ):x y?00|,|,xxyy?有 000| | ( , )(,)|,uux yxy?000| |( , )(,)|,vvx yxy?故當(dāng) 00|,|,xxyy?有 0000|( , )(,)| |( , )(,)|.g x yg xyf u vf uv?故 g(x,y) 在 (x0,y0) 連續(xù)。 初等函數(shù)在其定義上連續(xù)。 對于初等函數(shù)，在有定義處極限運算就是函數(shù)值的計算。 關(guān)于極限的計算，側(cè)重在無定義處或分段

7、函數(shù)分段點處的極限。 3、連續(xù)定義的增量形式 設(shè)f(x,y)在P0(x0,y0)的鄰域有定義。 記 00,xxxyyy?00000000(,)( , )(,)(,)(,)zf xyf x yf xyf xx yyf xy? ? ? ?0000(,)(,)xzf xx yf xy? ?0000(,)(,)yzf xyyf xy? ?z?稱為f(x,y)在P0的全增量. xz?稱為f(x,y)在P0關(guān)于x的偏增量. yz?稱為f(x,y)在P0關(guān)于y的偏增量. f(x,y)在(x0,y0)連續(xù) 0 00(,)( , )limxyz? 3、連續(xù)定義的增量形式 設(shè)f(x,y)在P0(x0,y0)的鄰域

8、有定義。 記 00,xxxyyy?00000000(,)( , )(,)(,)(,)zf xyf x yf xyf xx yyf xy? ? ? ?0000(,)(,)xzf xx yf xy? ?0000(,)(,)yzf xyyf xy? ?z?稱為f(x,y)在P0的全增量. xz?稱為f(x,y)在P0關(guān)于x的偏增量. yz?稱為f(x,y)在P0關(guān)于y的偏增量. f(x,y)在(x0,y0)連續(xù) 0 00(,)( , )limxyz?命題 若 f(x,y) 在(x0,y0)連續(xù)，則f(x,y0)在 x0連續(xù)，f(x0,y)在y0連續(xù)。 反之不然! 命題 若 f(x,y) 在(x0,y

9、0)連續(xù)，則f(x,y0)在 x0連續(xù)，f(x0,y)在y0連續(xù)。 反之不然! 例5 1000,( , ),xyf x yxy?設(shè) xyz一元函數(shù): 0( , )f x?0在x=0連續(xù). 一元函數(shù): 0( , )fy ?0在y=0連續(xù). 但f(x,y)在(0,0)不連續(xù). 問題: 13. 閉區(qū)間上(一元)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)? 14. 你能否相應(yīng)寫出閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)? 二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 15. 小結(jié)閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)必有界的證明思路. 16. 小結(jié)閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)必必取到最大(小)的證明思路. 一元函數(shù)情形： 若f(x)在I= a, b 上連續(xù)，則 1）f(x)在 I 上有界

10、，且取到最大值和最小值； 2）f(x)在 I 上一致連續(xù)； 3）對于介于minf(I)與maxf(I)之間的Q, 在a,b中存在一點c, 使 f(c)=Q. 設(shè)二元函數(shù)f(P)在區(qū)域D連續(xù)。 3. 介值定理 則對滿足 定理16.10 若若P1，P2為為D中兩點， 必在D中存在上點P0，使 且且f(P1) f(P2 ), f(P1) 0， 就有 只要(P,Q), | f(P)f(Q) | 0, 定理16.8 若二元函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上有界， 且能取得最大值和最小值。 證: 有界性（反證法） 設(shè)f(P)在D無界 對任意自然數(shù)n，在D中有Pn,使 | f(Pn)|

11、 n. 在D中構(gòu)造出點列Pn(有界，有無窮個不同的項）. 由聚點定理的推論，Pn有收斂的子列. 不妨設(shè)Pn就是收斂的點列 0lim.nnPP?因D為閉域，故P0在D中. 而f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(P)在P0連續(xù)。 進(jìn)而有 0lim()(),nnf Pf P?與矛盾！ 矛盾！ 定理16.8 若二元函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上有界， 且能取得最大值和最小值。 證:(取得最大值、最小值) 設(shè)f(P)在D有界. 可設(shè)M=supf(D). 若D中的任意Q，都有Mf(Q)0 作函數(shù) F(P)在D連續(xù)，進(jìn)而F(P)在D有界 而因M=supf(D), 在D中，可使Mf(P)任意小 故F(P)在D無界 矛盾！ 與矛盾！ 則對D中的任意Q，有Mf(Q)0 1( )( )F PMf P?定理16.9 若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上一致連續(xù)。 對于D中任意的P、Q， 即對任意0， 就有 只要(P,Q), | f(P)f(Q) | 0, 證: （反證法） 設(shè)f(P)在D有不一致收斂. 對某個00, 及任意的自然數(shù)n, 相應(yīng)總有D中的Pn和Qn. 盡管(Pn,Qn)1/n ,