傅里葉變換與拉普拉斯變換.

1、 4. 11拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系主要內容引言從函數拉氏變換求傅氏變換重點：從函數拉氏變換求傅氏變換難點：判斷函數傅氏變換的存在一、引言我們在引出拉氏變換 時，是針對/(”不滿足絕對 可積條件，對其乘以一個衰減因子 嚴，作傅氏變換 潼變?yōu)槔献儞Qorllf(t =ii(t)= F(ss=a+ja) 由此可以得到傅氏變換與拉氏變換的關系當bo 0時，收斂邊界落于E右半平面% V0時,收斂邊界落壬左半平面當b =0時,收斂邊界位于虛軸傅氏變換與拉氏變換的區(qū)別和聯系($ = b + Jfi?)L當60時,收斂邊界落于平面右半邊/(rUr) (ao) 其拉氏變換：F(s)=-收斂域：aa不能由

2、F($)求FS).華92.當s 0)(v)= 1收斂域：b-aa十s 衰減函數，傅氏變換是存在zF(jco) = ? a+jG)f (妙=F(Q i _LM)B!-aJ3.當s =B士收斂邊界位于虛軸F($)是存在的，F肖卩($比間不再是簡單的置嫖:系, 因為傅氏變換中包括耕函數項例如:/(Z)= z/(Z)F(s)= - , F(/cy) = ;r&a?)+Sj3若收斂坐標Oq=0, F(s)的收斂城為Re s 0, F(s) 的收斂域不包含j3軸，故F(s)在j3軸上不收斂.若令2j3, 則F(s)不等于F(jco).和虛軸上都有極點，并且虛軸上的極點 為m個一階極點j2,m).將F(s)

3、展開為部分分式,表示為N K 尸($)=巧($)+工冷-旳式中，叫(S)表示左半平面極點對應的分式.令Fa(s)的原函數為fjt),則F(s)的原函數為N0 = LF(C1 = + 工 K叫 II =fa(n + 幾(Z)H-IN其中幾=k腫叫zr-lf(t)的傅里葉變換為F(jco)=尸/(/) = FLA(/)1 +(01由于是化(s)的原函數，并且巴($)的極點在左半面，故F(jco) = F(s)傅里葉變換的線性性質和頻移性質，并且由于嘆0的傅里 葉變換為鋅7rSco)十得爐rFH=d 7rSco-H-iNF(j4 = FaG) =ja +工心兀 geo-NKN=恥)十 Z -一 +工

4、 K 加(Q - )n-I J3-J% n-INs+ 工3(-5)心例：已知f (t)=e2tcos t - e (t)的單邊拉氏變換為F(s) = + ?(S + 2)2 + 1求/傅里葉變換F(jeo解F (S)的收斂坐標bo=2 ,即boVO因此一、 70+2F(je) =(je+ 2)2+1另一方面，根據傅里葉變換的調制定理，由于所以有7Q+2(加 +2)2 + 1F(ja) = Fe %a)cos72 八0 + 1) + 2 + J+l) + 2思考題-根據函數拉氏變換，如何判斷它的傅氏變 換是否存在？例 1 己矢口： F(s) = _，求/().) = ?5皿 /(0+)= lin

5、i/a)= lim護() = 1 / tO 令5 即單位階躍信號的初始值為I2c例 2 F(s)=，求/(打)=?BACK21 / 昭 “ )= =-2 +f f * s + l s + i/. f (0 ) = llm5F(s)-/c51= lim/ 、/(/沖有2刃顧丿r(2、s2-2s *$ + 1 丿=litn 2$ = lim ? = 2 5 $ + I $-00 I /()+)=2 $T-初值定理證明果函數微分定理可知Q/a)=也Jo- dzJo dz.、F($) = /(0j+J 切2_“d/ 兒dtsF(s)-f(fi_)=Llimyoodr+d/嚴 dr兒dzd)嚴 drdz

6、s drrci/(z)LJ/df =0BACK【例1】【例2】時移特性例題已知/（） =加（一1）求卩（$）BACKF(s)= L|z(/ -1)=皿(一lh(f -1)+ (f -1) 卜 已坷(t )-72 cosz + 扌/(/)= V2 cos /cos %/2 sin fsiF(s- 一口尸0丿一1 + 21 + 2-1+2M小求F（以兀tsin = cos/ sin t4警+ 3心BACK 已知系統(tǒng)的框圖如下，請寫出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數和 描述此系統(tǒng)腎輕攻程Lf匕:解二1 /1+h 3 s/f(s)+3Jf(s) = E(s)dr(Z)dr/)孑“、.de(Z)統(tǒng)；一+ 5+ 6r(Z) = 2Zh 6d 廠 (1/ 2時系統(tǒng)!是忽衆(zhòng)1可得k二滬本章小結1. 拉普拉斯變換是本課程介紹的第二個對信號的 變換方法，目的是為了解決傅里葉變換在實際應用 中面臨的一些實際問題，它的引入是從一些增長型 的信號固不滿足傅里葉變換存在的條件而不能進行 傅里葉的分析開始的.2. 拉普拉斯變換中值得我們著重注意的是變換收 斂域的概念，以及拉氏變換與傅氏變換相互之間的 關系。另一方面要了解的是拉氏變換在系統(tǒng)分析中 的應用。就變換的性質而言，大部分與傅氏變換是 相似的（或本質上是相一致的）但也有