傅里葉變換與拉普拉斯變換.

1、 4. 11拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系主要內(nèi)容引言從函數(shù)拉氏變換求傅氏變換重點(diǎn)：從函數(shù)拉氏變換求傅氏變換難點(diǎn)：判斷函數(shù)傅氏變換的存在一、引言我們?cè)谝隼献儞Q 時(shí)，是針對(duì)/(”不滿足絕對(duì) 可積條件，對(duì)其乘以一個(gè)衰減因子 嚴(yán)，作傅氏變換 潼變?yōu)槔献儞Qorllf(t =ii(t)= F(ss=a+ja) 由此可以得到傅氏變換與拉氏變換的關(guān)系當(dāng)bo 0時(shí)，收斂邊界落于E右半平面% V0時(shí),收斂邊界落壬左半平面當(dāng)b =0時(shí),收斂邊界位于虛軸傅氏變換與拉氏變換的區(qū)別和聯(lián)系($ = b + Jfi?)L當(dāng)60時(shí),收斂邊界落于平面右半邊/(rUr) (ao) 其拉氏變換：F(s)=-收斂域：aa不能由

2、F($)求FS).華92.當(dāng)s 0)(v)= 1收斂域：b-aa十s 衰減函數(shù)，傅氏變換是存在zF(jco) = ? a+jG)f (妙=F(Q i _LM)B!-aJ3.當(dāng)s =B士收斂邊界位于虛軸F($)是存在的，F(xiàn)肖卩($比間不再是簡(jiǎn)單的置嫖:系, 因?yàn)楦凳献儞Q中包括耕函數(shù)項(xiàng)例如:/(Z)= z/(Z)F(s)= - , F(/cy) = ;r&a?)+Sj3若收斂坐標(biāo)Oq=0, F(s)的收斂城為Re s 0, F(s) 的收斂域不包含j3軸，故F(s)在j3軸上不收斂.若令2j3, 則F(s)不等于F(jco).和虛軸上都有極點(diǎn)，并且虛軸上的極點(diǎn) 為m個(gè)一階極點(diǎn)j2,m).將F(s)

3、展開(kāi)為部分分式,表示為N K 尸($)=巧($)+工冷-旳式中，叫(S)表示左半平面極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分式.令Fa(s)的原函數(shù)為fjt),則F(s)的原函數(shù)為N0 = LF(C1 = + 工 K叫 II =fa(n + 幾(Z)H-IN其中幾=k腫叫zr-lf(t)的傅里葉變換為F(jco)=尸/(/) = FLA(/)1 +(01由于是化(s)的原函數(shù)，并且巴($)的極點(diǎn)在左半面，故F(jco) = F(s)傅里葉變換的線性性質(zhì)和頻移性質(zhì)，并且由于嘆0的傅里 葉變換為鋅7rSco)十得爐rFH=d 7rSco-H-iNF(j4 = FaG) =ja +工心兀 geo-NKN=恥)十 Z -一 +工

4、 K 加(Q - )n-I J3-J% n-INs+ 工3(-5)心例：已知f (t)=e2tcos t - e (t)的單邊拉氏變換為F(s) = + ?(S + 2)2 + 1求/傅里葉變換F(jeo解F (S)的收斂坐標(biāo)bo=2 ,即boVO因此一、 70+2F(je) =(je+ 2)2+1另一方面，根據(jù)傅里葉變換的調(diào)制定理，由于所以有7Q+2(加 +2)2 + 1F(ja) = Fe %a)cos72 八0 + 1) + 2 + J+l) + 2思考題-根據(jù)函數(shù)拉氏變換，如何判斷它的傅氏變 換是否存在？例 1 己矢口： F(s) = _，求/().) = ?5皿 /(0+)= lin

5、i/a)= lim護(hù)() = 1 / tO 令5 即單位階躍信號(hào)的初始值為I2c例 2 F(s)=，求/(打)=?BACK21 / 昭 “ )= =-2 +f f * s + l s + i/. f (0 ) = llm5F(s)-/c51= lim/ 、/(/沖有2刃顧丿r(2、s2-2s *$ + 1 丿=litn 2$ = lim ? = 2 5 $ + I $-00 I /()+)=2 $T-初值定理證明果函數(shù)微分定理可知Q/a)=也Jo- dzJo dz.、F($) = /(0j+J 切2_“d/ 兒dtsF(s)-f(fi_)=Llimyoodr+d/嚴(yán) dr兒dzd)嚴(yán) drdz

6、s drrci/(z)LJ/df =0BACK【例1】【例2】時(shí)移特性例題已知/（） =加（一1）求卩（$）BACKF(s)= L|z(/ -1)=皿(一lh(f -1)+ (f -1) 卜 已坷(t )-72 cosz + 扌/(/)= V2 cos /cos %/2 sin fsiF(s- 一口尸0丿一1 + 21 + 2-1+2M小求F（以兀tsin = cos/ sin t4警+ 3心BACK 已知系統(tǒng)的框圖如下，請(qǐng)寫(xiě)出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和 描述此系統(tǒng)腎輕攻程Lf匕:解二1 /1+h 3 s/f(s)+3Jf(s) = E(s)dr(Z)dr/)孑“、.de(Z)統(tǒng)；一+ 5+ 6r(Z) = 2Zh 6d 廠 (1/ 2時(shí)系統(tǒng)!是忽衆(zhòng)1可得k二滬本章小結(jié)1. 拉普拉斯變換是本課程介紹的第二個(gè)對(duì)信號(hào)的 變換方法，目的是為了解決傅里葉變換在實(shí)際應(yīng)用 中面臨的一些實(shí)際問(wèn)題，它的引入是從一些增長(zhǎng)型 的信號(hào)固不滿足傅里葉變換存在的條件而不能進(jìn)行 傅里葉的分析開(kāi)始的.2. 拉普拉斯變換中值得我們著重注意的是變換收 斂域的概念，以及拉氏變換與傅氏變換相互之間的 關(guān)系。另一方面要了解的是拉氏變換在系統(tǒng)分析中 的應(yīng)用。就變換的性質(zhì)而言，大部分與傅氏變換是 相似的（或本質(zhì)上是相一致的）但也有