將軍飲馬系列---最值問(wèn)題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)“將軍飲馬”系列最值問(wèn)題1. 兩點(diǎn)之間，線段最短.2. 點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短.3. 三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小魚(yú)第三邊.4. A B分別為同一圓心0半徑不等的兩個(gè)圓上的一點(diǎn)，文檔-知識(shí)講解如圖，將軍從A出發(fā)到河邊古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天，有位將軍不遠(yuǎn)千里專(zhuān)程前來(lái)向海倫求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題: 飲馬，然后再到B地軍營(yíng)視察，顯然有許多走法.問(wèn)怎樣走路線最短呢？精通數(shù)理的海倫稍加思索, 作了完善的回答.這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被人們稱(chēng)作“將軍飲馬”問(wèn)題.F面我們來(lái)看看數(shù)學(xué)家是怎樣解決的.海倫發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)求折線和最短的數(shù)學(xué)問(wèn)題.根據(jù)公理：連接兩點(diǎn)的所有

2、線中，線段最短.若A、B在河流的異側(cè)，直接連接 AB , AB與I的交點(diǎn)即為所求.若A、B在河流的同側(cè)，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，那么顯然要把折線變成直線再解.AP-aPA B海倫解決本問(wèn)題時(shí)，是利用作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)把折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線現(xiàn)在人們把凡是用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)解題的思想方法叫對(duì)稱(chēng)原理，即軸對(duì)稱(chēng)思想軸對(duì)稱(chēng)及其性質(zhì):把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形.這條直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸.這時(shí)我們就說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線 （或軸）對(duì)稱(chēng).如等腰 ABC是軸對(duì)稱(chēng)圖形.把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就是說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條 直線對(duì)稱(chēng)，這條直線

3、叫做對(duì)稱(chēng)軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn).如下圖，ABC與 A'B'C'關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng)，I叫做對(duì)稱(chēng)軸.A和A , B和B' , C和C'是對(duì)稱(chēng)點(diǎn).軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形有如下性質(zhì): 關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形; 對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線的垂直平分線; 兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，如果他們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上.線段垂直平分線:垂直平分線上點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.通常考慮作軸當(dāng)已知條件出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高，或者求幾條折線段的最小值等情況, 對(duì)稱(chēng)變換，以“補(bǔ)齊”圖形，

4、集中條件。菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓、坐所有的軸對(duì)稱(chēng)圖形（角、線、等腰三角形、等邊三角形、標(biāo)軸），都可以考察“將軍飲馬”問(wèn)題?？疾熘R(shí)點(diǎn):“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(chēng)”，“線段的平移”。解題總思路:找點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問(wèn)題考查。構(gòu)建“對(duì)稱(chēng)模型”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化AM /AAB常見(jiàn)模型:(1)PAPB最小同側(cè)異側(cè)AB圖1A實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)）PAPB最小同側(cè)異側(cè)異側(cè)PA同側(cè)IPB最大B/異側(cè)AII文檔P使的直線I為APB的角平分線【變形】異側(cè)時(shí)，也可以問(wèn)：在直線I上是否存在一點(diǎn)周長(zhǎng)最短類(lèi)型一類(lèi)型二(4)AB“過(guò)河”最短距離A'

5、類(lèi)型三B'類(lèi)型一類(lèi)型二線段和最小實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔E121IF(6 )在直角坐標(biāo)系里的運(yùn)用E12A IA IEi'I FB'EF=1APE= BPE【例11尺規(guī)作圖，作線段 AB的垂直平分線，作COD的角平分線.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)【變式練習(xí)】已知：如圖,ABC及兩點(diǎn) M、N .求作：點(diǎn)P，使得PM PN，且P點(diǎn)到ABC兩邊所在的直線的距離相等.P在直線I請(qǐng)說(shuō)明理【例2】已知點(diǎn)A在直線I外，點(diǎn)P為直線I上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在一個(gè)定點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)的距離總相等，如果存在，請(qǐng)作出定點(diǎn)B ;若不存在,由.【例3】如圖，在公路a的同旁有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù) A、B，現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)

6、站，要求到 A、B兩倉(cāng)庫(kù)的距離和最短，這個(gè)中轉(zhuǎn)站 M應(yīng)建在公路旁的哪個(gè)位置比較合理?A.【變式練習(xí)】如圖， M、N為 ABC的邊AC、BC上的兩個(gè)定點(diǎn)，在 AB上求一點(diǎn)P，使 PMN的周長(zhǎng)最短.B【例4】如圖， AOB 45，角內(nèi)有點(diǎn)P，在角的兩邊有兩點(diǎn) Q、R（均不同于0點(diǎn)），求作Q、使得PQR的周長(zhǎng)的最小.【例5】如圖，在 POQ內(nèi)部有M點(diǎn)和N點(diǎn)，同時(shí)能使 MOP NOQ，這時(shí)在直線 0P上再取A點(diǎn),使從A點(diǎn)到M點(diǎn)及N點(diǎn)的距離和為最??；在直線 0Q上也取B點(diǎn)，使從B點(diǎn)到M點(diǎn)和【例6】的距離和也最小.證明:AM ANBM BN .已知如圖，點(diǎn)M在銳角AOB的內(nèi)部,在OB邊上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P

7、到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA的邊的距離和最小.【例7】已知：A、B兩點(diǎn)在直線Al的同側(cè)，在I上求作一點(diǎn)M，使得|AMBM |最小值和最大值.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)【變式練習(xí)】（07年三帆中學(xué)期中試題）如圖，正方形ABCD中，AB 8 , M是DC上的一點(diǎn)，且DM 2 ,N是AC上的一動(dòng)點(diǎn).求（1） DN MN的最小值與最大值.（2） I DN MN的最小值與最大值.nn【例8】如圖 ABC , D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的點(diǎn)（均不與點(diǎn)A、B、C重合），記DEF的周長(zhǎng)為P，請(qǐng)作出周長(zhǎng)最小的 DEF .C【習(xí)題1】一點(diǎn)P使得PC PE長(zhǎng)度之和最小.如圖，在等腰 Rt ABC中，CA CB 3 , E的BC

8、上一點(diǎn)，滿足 BE 2，在斜邊 AB上求作【習(xí)題2】文檔如圖，菱形 ABCD的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng) 6和8，點(diǎn)M、N分別是變AB、BC的中點(diǎn)，在對(duì)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)角線AC求作一點(diǎn)P使得PM PN的值最小.C【習(xí)題3】如圖，在銳角 ABC中，AB4罷, BAC 45?BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D , M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BMMN的最小值是B【習(xí)題4】已知O O的直徑CD為4 ,AOD的度數(shù)為60 °，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑 CD上找一點(diǎn) P ,使BP AP的值最小,并求BPAP的最小值.BD【習(xí)題5】如圖所示，正方形ABCD的面積為12 , ABE是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形 ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD PE的和最小，則這個(gè)最小值為（DCDCD . 76文檔【習(xí)題6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線I是第一、三象限的角平分線.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)與探究:(1 )由圖觀察易知A 2 ,0關(guān)于直線I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為2 ,0,請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)B 5 ,3、C 2 ,5關(guān)于直線I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'、C'的位置，并寫(xiě)出它們的坐標(biāo):B'C