2018版高中數學蘇教版必修四學案：章末復習課2

1、學習目標】1回顧梳理向量的有關概念，進一步體會向量的有關概念的特征2 系統(tǒng)整理向量線性運算、數量積運算及相應的運算律和運算性質.3體會應用向量解決問題的基本思想和基本方法 4 進一步理解向量的“工具”性作用.U知識梳理-1 .向量的運算：設 a a = (xi,yi), b b=(X2,y2).向量運算法則(或幾何意義)坐標運算向量的線性運算加法a a+ b b=aa減法a a b b=_ iJ測數乘(1)1 掃 1=丨恫；當Z0 時，掃的方向與 a a 的方向；當 疋 0 時，?a 的方向與 a a 的方向；當 入=0 時，掃=0 0?a?a =向量的數量積運算a a b b= |a a|b

2、 b|cosB(B為 a a 與 b b 的夾角)規(guī)定 0 0 a a= 0,數量積的幾何意義是a a 的模與 b b 在 a a 方向上的投影的積a a b b=2兩個定理(1)平面向量基本定理1定理：如果 e ei, e e2是同一平面內的兩個 _ 向量，那么對于這一平面內的 _ 向量a a, , _ 實數兀 使 a a=_ 2基底：把 _的向量 e e1, e e2叫做表示這一平面內 _向量的一組基底.平面向量(2)向量共線定理向量 a a(0 0)與 b b 共線，當且僅當有唯一一個實數入使_3向量的平行與垂直a a， b b 為非零向量，設a=(xi, yi), b b=(X2, y

3、2),a a / b b有唯一實數入使得X1y2 X2y1= 0a a 丄 b b題型探究類型一向量的線性運算例 1 如圖所示，在 ABC 中，AN= 3NC, P 是 BN 上的一點，若 AP= mAJ3+呂AC,則實數3IIm 的值為_反思與感悟向量共線定理和平面向量基本定理是進行向量合成與分解的核心，是向量線性 運算的關鍵所在，常應用它們解決平面幾何中的共線、共點問題.跟蹤訓練 1 在厶 ABC 中，E 為線段 AC 的中點，試問在線段 AC 上是否存在一點 D,使得 BD1 2 =|BC+ 3BE，若存在，說明 D 點位置；若不存在，說明理由.類型二向量的數量積運算例 2 已知 a a

4、= (cosa,sin a), b b=(cos B, sin,且|ka a + b b|=/3|a a kb b|(k0).(1)用 k 表示數量積 abab;求 a a b b 的最小值，并求出此時 a a 與 b b 的夾角B的大小.反思與感悟 數量積運算是向量運算的核心，利用向量數量積可以解決以下問題:(1)設 a a= (xi, yi), b b=(X2,y2), a a b b? xiy2 X2yi= 0,a a 丄 b b? xix2+ yiy2= 0.求向量的夾角和模的問題1設 a a=(xi, yi),則 |a a|=xi+ yi.2兩向量夾角的余弦(0w其na a b bC

5、OS0=|a a|b b|跟蹤訓練 2 已知向量 O)A = (3 , 4), OB = (6, 3), O)C = (5 m, (3 + m).(i)若點 A, B, C 能構成三角形，求實數m 應滿足的條件；若 ABC 為直角三角形，且/ A 為直角，求實數 m 的值.類型三 向量坐標法在平面幾何中的應用例 3 已知在等腰 ABC 中，BB, CC 是兩腰上的中線，且 BB 丄 CC ，求頂角 A 的余 弦值的大小.xix2+ yiy2反思與感悟 把幾何圖形放到適當的坐標系中，就賦予了有關點與向量具體的坐標，這樣就 能進行相應的代數運算和向量運算，從而解決問題這樣的解題方法具有普遍性.跟蹤

6、訓練 3 如圖，半徑為 3 的扇形 AOB 的圓心角為 120，點 C 在AB上，且/ COB = 30,若 OC = OA + pOB,則?d-(1=1._ 在菱形 ABCD 中，若 AC = 2，則 CA AB=_.2 .設四邊形 ABCD 為平行四邊形，|AB|= 6, |AD|= 4若點 M, N 滿足 BM = 3MC , DN= 2NC,- -則 AM NM =_3 .已知向量 a a= (2,3), b b= ( 1,2)，若 ma a + 4b b 與 a a 2b b 共線，則 m 的值為_ .4 .若向量 OA = (1 , 3), |OA|=|OB|, OA OB = 0

7、,則 |AB|=_ .5.平面向量 a a= C 3, 1), b b= 2 ,若存在不同時為 0 的實數 k 和 t,使 x x= a a+ (t2 3)b b, y y= ka a + tb b,且 x x丄y y,試求函數關系式 k= f(t).廠規(guī)律與方法-1.由于向量有幾何法和坐標法兩種表示方法，它的運算也因為這兩種不同的表示方法而有兩 種方式，因此向量問題的解決，理論上講總共有兩個途徑，即基于幾何表示的幾何法和基于 坐標表示的代數法，在具體做題時要善于從不同的角度考慮問題.當堂訓練2.向量是一個有形”的幾何量，因此，在研究向量的有關問題時，一定要結合圖形進行分 析判斷求解，這是研究

8、平面向量最重要的方法與技巧.答案精析知識梳理1.(X1+ X2,1+ y2)(x1 X2, y1 y2)相同 相反(入x入yX1X2+ y22. （1）不共線 任意有且只有一對入 e e1+2e e2不共線所有（2） b b=怡3. b b=掃(a a 0 0) a a b b= 0 X1X2+ 丫2= 0題型探究例 111跟蹤訓練 1 解 假設存在 D 點，使得 BD =3BC+3BE.33BD = 3BC +|BE?BD =城 +2(BC + CE) 2 - 2 2 =BC+CE? BDBC=CE? CD=CE所以當點 D 為 AC 的三等分點 CD = 3CA 時，BD = BC +|B

9、E.例 2 解 由 |ka a+ b b|=.3|a a kb b|,2 2得(ka a + b b) = 3(a a kb b),2 2 2 2 2 2二 k a a + 2ka a b b+ b b = 3a a 6ka a b b+ 3k b b .2 2 2 2 (k3) a a+8ka a b b+(13k ) b b=0.T|a a|= cos2a+sin2a=1,|b b|= cos23+sin23=1,k23+8ka a b b+13 k2=0,k2+ 111（2）a b= 1（k+ k）-1 1由函數的單調性可知，f（k）= /k+）在（0,1上單調遞減，在1 ,+）上單調遞

10、增,b b=2k2+ 28kk2+ 14k 當 k= 1 時，f(k)min= f(1) = 4X(1 + 1) = 2 ,a a b b 1此時a與 b b 的夾角e的余弦值cose=麗廠 1，e=60跟蹤訓練 2 解（1）若點 A, B, C 能構成三角形，則這三點不共線,OA= (3, - 4),OB= (6, - 3), OC = (5- m,- (3 + m), AB = (3,1), BC = (-m- 1, - m),TAB 與 BC 不平行，1- 3m 工m-1,解得 m豐,1當實數 mz寸時滿足條件.若 ABC 為直角三角形，且 / A 為直角，貝 U AB 丄 AC,而 AB = (3,1),3(2 - m)+ (1 - m) = 0,解得 m = 4.例 3 解建立如圖所示的平面直角坐標系，設 A(0, a), C(c, 0)，貝 U B(- c, 0), OA= (0, a),BA=(c, a),OC因為 BB , CC 為 AC, AB 邊上的中線, 所以 BBT =2(BC+ EBA)=3C，號,同理 cC,=-乎，a.- T -T-T -T因為 BB丄CC,所以