甘肅省天水市2013年中考數學真題試題（解析版）

1、甘肅省天水市2013年中考數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項選出來。）1（4分）（2013天水）下列四個數中，小于0的數是（）A1B0C1D考點：有理數大小比較分析：在數軸上表示出各數，再根據數軸的特點進行解答即可解答：解：如圖所示：1在0的左邊，10故選A點評：本題考查的是有理數的大小比較，熟知數軸的特點是解答此題的關鍵2（4分）（2013天水）下列計算正確的是（）Aa3+a2=2a5B（2a3）2=4a6C（a+b）2=a2+b2Da6÷a2=a3考點：同底數冪的除法；冪的乘方與積的乘方；完全平方公

2、式分析：根據合并同類項法則；積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；完全平方公式，同底數冪相除，底數不變指數相減，對各選項分析判斷后利用排除法求解解答：解：A、a3和a2不是同類項不能合并，故本選項錯誤；B、（2a3）2=4a6，正確；C、應為（a+b）2=a2+b2+2ab，故本選項錯誤；D、應為a6÷a2=a4，故本選項錯誤故選B點評：本題主要考查了同底數冪的除法，積的乘方，合并同類項，以及完全平方公式，是中學階段的基礎題目3（4分）（2013天水）下列圖形中，中心對稱圖形有（）A1個B2個C3個D4個考點：中心對稱圖形分析：根據中心對稱圖形的概念求解解答：解：

3、第一個圖形是中心對稱圖形；第二個圖形是中心對稱圖形；第三個圖形是中心對稱圖形；第四個圖形不是中心對稱圖形故共3個中心對稱圖形故選C點評：掌握好中心對稱圖形的概念中心對稱圖形關鍵是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合4（4分）（2013天水）函數y1=x和y2=的圖象如圖所示，則y1y2的x取值范圍是（）Ax1或x1Bx1或0x1C1x0或x1D1x0或0x1考點：反比例函數與一次函數的交點問題專題：計算題分析：由兩函數的交點橫坐標，利用圖象即可求出所求不等式的解集解答：解：由圖象得：y1y2的x取值范圍是1x0或x1故選C點評：此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，利用了數形結合的思想

4、，熟練掌握數形結合思想是解本題的關鍵5（4分）（2013天水）如圖，直線l1l2，則為（）A150°B140°C130°D120°考點：平行線的性質；對頂角、鄰補角；同位角、內錯角、同旁內角專題：計算題分析：本題主要利用兩直線平行，同旁內角互補以及對頂角相等進行做題解答：解：l1l2，130°所對應的同旁內角為1=180°130°=50°，又與（70°+50°）的角是對頂角，=70°+50°=120°故選D點評：本題重點考查了平行線的性質及對頂角相等，是一道較為簡單

5、的題目6（4分）（2013天水）一個三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的邊長是方程（x2）（x4）=0的根，則這個三角形的周長是（）A11B11或13C13D以上選項都不正確考點：解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系專題：計算題分析：由兩數相乘積為0，兩數中至少有一個為0求出方程的解得到第三邊長，即可求出周長解答：解：方程（x2）（x4）=0，可得x2=0或x4=0，解得：x=2或x=4，當x=2時，2，3，6不能構成三角形，舍去；則x=4，此時周長為3+4+6=13故選C點評：此題考查了解一元二次方程因式分解法，以及三角形的三邊關系，求出x的值是解本題的關鍵7（4分）（2013天水）一

6、組數據：3，2，1，2，2的眾數，中位數，方差分別是（）A2，1，0.4B2，2，0.4C3，1，2D2，1，0.2考點：方差；中位數；眾數分析：找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數（或兩個數的平均）數為中位數；眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不只一個利用方差公式計算方差解答：解：從小到大排列此數據為：3，2，1，2，2；數據2出現了三次最多為眾數，2處在第5位為中位數平均數為（3+2+1+2+2）÷5=2，方差為（32）2+3×（22）2+（12）2=0.4，即中位數是2，眾數是2，方差為0.4故選B點評：本題屬于基礎題，考查了確定一組

7、數據的中位數、方差和眾數的能力注意找中位數的時候一定要先排好順序，然后再根據奇數和偶數個來確定中位數，如果數據有奇數個，則正中間的數字即為所求如果是偶數個則找中間兩位數的平均數8（4分）（2013天水）從一塊正方形的木板上鋸掉2m寬的長方形木條，剩下的面積是48m2，則原來這塊木板的面積是（）A100m2B64m2C121m2D144m2考點：一元二次方程的應用專題：幾何圖形問題分析：從一塊正方形木板上鋸掉2m寬的長方形木條，剩下的仍然是一個長方形，此時這個長方形的長等于原來正方形木板的邊長，寬等于正方形木板的邊長減去2m，根據剩下的長方形的面積是48m2，列出方程，求出解，進而求出原來正方形

8、木板的面積解答：解：設原來正方形木板的邊長為xm由題意，可知x（x2）=48，解得x1=8，x2=6（不合題意，舍去）所以8×8=64故選B點評：本題考查了一元二次方程的應用，理解從一塊正方形木板上鋸掉2m寬的長方形木條，剩下的仍然是一個長方形，是解本題的關鍵9（4分）（2013天水）如圖，已知O的半徑為1，銳角ABC內接于O，BDAC于點D，OMAB于點M，則sinCBD的值等于（）AOM的長B2OM的長CCD的長D2CD的長考點：圓周角定理；銳角三角函數的定義分析：作直徑AE，連接BE得直角三角形ABE根據圓周角定理可證CBD=MAO，運用三角函數定義求解解答：解：連接AO并延長

9、交圓于點E，連接BE則C=E，由AE為直徑，且BDAC，得到BDC=ABE=90°，所以ABE和BCD都是直角三角形，所以CBD=EAB又OAM是直角三角形，AO=1，sinCBD=sinEAB=OM，即sinCBD的值等于OM的長故選A點評：考查了圓周角定理和三角函數定義此題首先要觀察題目涉及的線段，然后根據已知條件結合定理進行角的轉換10（4分）（2013天水）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2，E、F、G分別是邊AB、BC、CA的點，且AE=BF=CG，設EFG的面積為y，AE的長為x，則y與x的函數圖象大致是（）ABCD考點：動點問題的函數圖象專題：探究型分析：根據題意可知

10、AEGBEFCFG三個三角形全等，且在AEG中，AE=x，AG=2x；可得AEG的面積y與x的關系；進而可判斷得則y關于x的函數的圖象的大致形狀解答：解：AE=BF=CG，且等邊ABC的邊長為2，BE=CF=AG=2x；AEGBEFCFG在AEG中，AE=x，AG=2x，SAEG=AE×AG×sinA=x（2x）；y=SABC3SAEG=3×x（2x）=（x2x+1）其圖象為二次函數，且開口向上故選C點評：本題考查動點問題的函數圖象，解答本題的關鍵是求出y與x的函數關系式，另外要求能根據函數解析式判斷函數圖象的形狀二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分。

11、只要求填寫最后結果）11（4分）（2013天水）已知點M（3，2），將它先向左平移4個單位，再向上平移3個單位后得到點N，則點N的坐標是（1，1）考點：坐標與圖形變化-平移分析：直接利用平移中點的變化規(guī)律求解即可平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減解答：解：原來點的橫坐標是3，縱坐標是2，向左平移4個單位，再向上平移3個單位得到新點的橫坐標是34=1，縱坐標為2+3=1則點N的坐標是（1，1）故答案填：（1，1）點評：解題關鍵是要懂得左右平移點的縱坐標不變，而上下平移時點的橫坐標不變，平移變換是中考的?？键c，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，

12、下移減12（4分）（2013天水）從1至9這9個自然數中任取一個數，使它既是2的倍數又是3的倍數的概率是考點：概率公式分析：從1到9這9個自然數中，既是2的倍數，又是3的倍數只有6一個，所以既是2的倍數，又是3的倍數的概率是九分之一解答：解：既是2的倍數，又是3的倍數只有6一個，P（既是2的倍數，又是3的倍數）=故答案為：點評：本題考查了統(tǒng)計與概率中概率的求法用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比13（4分）（2013天水）已知分式的值為零，那么x的值是1考點：分式的值為零的條件專題：計算題分析：分式的值是0的條件是，分子為0，分母不為0解答：解：根據題意，得x21=0且x+10，解得

13、x=1故答案為1點評：本題考查了分式的值為零的條件若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0這兩個條件缺一不可14（4分）（2013天水）如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，對角線ACBD，且AC=12，BD=5，則這個梯形中位線的長等于6.5考點：梯形中位線定理分析：作DEAC，交BC的延長線于E，則四邊形ACED為平行四邊形，根據已知及平行四邊形的性質得梯形的中位線等于BE的一半，根據勾股定理可求得BE的長，從而不難求得其中位線的長解答：解：作DEAC，交BC的延長線于E，則四邊形ACED為平行四邊形AD=CEACBDBDE=90°梯形的中位線長=（A

14、D+BC）=（CE+BC）=BEBE=13梯形的中位線長=×13=6.5故答案為：6.5點評：本題考查了梯形的中位線定理，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出平行四邊形和直角三角形，將求梯形中位線轉化為求直角三角形斜邊的問題來解答15（4分）（2013天水）有兩塊面積相同的小麥試驗田，分別收獲小麥9000kg和15000kg已知第一塊試驗田每公頃的產量比第二塊少3000kg，若設第一塊試驗田每公頃的產量為xkg，根據題意，可得方程考點：由實際問題抽象出分式方程分析：關鍵描述語是：“兩塊面積相同的小麥試驗田”；等量關系為：第一塊試驗田的面積=第二塊試驗田的面積解答：解：第一塊試驗田的面積

15、為：，第二塊試驗田的面積為：方程應該為：點評：列方程解應用題的關鍵步驟在于找相等關系，找到關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵16（4分）（2013天水）已知O1的半徑為3，O2的半徑為r，O1與O2只能畫出兩條不同的公共切線，且O1O2=5，則O2的半徑為r的取值范圍是2r8考點：圓與圓的位置關系分析：首先根據兩圓的公切線的條數確定兩圓的位置關系，然后根據一圓的半徑和圓心距確定另一個半徑的取值范圍；解答：解：O1與O2只能畫出兩條不同的公共切線，兩圓的位置關系為相交，O1的半徑為3，O2的半徑為r，O1O2=5，r35r+3解得：2r8故答案為：2r8點評：本題考查了圓與圓的位置關系，本

16、題的關鍵是判斷兩圓的位置關系17（4分）（2013天水）如圖所示，在ABC中，BC=4，以點A為圓心，2為半徑的A與BC相切于點D，交AB于點E，交AC于點F，且EAF=80°，則圖中陰影部分的面積是4考點：切線的性質；扇形面積的計算專題：計算題分析：連結AD，根據切線的性質得ADBC，則SABC=ADBC，然后利用S陰影部分=SABCS扇形AEF和扇形的面積公式計算即可解答：解：連結AD，如圖，A與BC相切于點D，ADBC，SABC=ADBC，S陰影部分=SABCS扇形AEF=×2×4=4故答案為4點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑也考查了扇

17、形的面積公式18（4分）（2013天水）觀察下列運算過程：S=1+3+32+33+32012+32013 ， ×3得3S=3+32+33+32013+32014 ， 得2S=320141，S=運用上面計算方法計算：1+5+52+53+52013=考點：整式的混合運算專題：整體思想分析：首先根據已知設S=1+5+52+53+524+525 ，再將其兩邊同乘5得到關系式，即可求得答案解答：解：設S=1+5+52+53+52013 ，則5S=5+52+53+54+52014，得：4S=520141，所以S=故答案為點評：此題考查了有理數的乘方運算，考查了學生的觀察與歸納能力題目難度不大，解

18、題時需細心三、解答題（本大題共3小題，共28分。解答時寫出必要的文字說明及演算過程）19（10分）（2013天水）解不等式組，并把解集在數軸上表示出來計算：（3）0+2sin45°（）1考點：解一元一次不等式組；實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；在數軸上表示不等式的解集；特殊角的三角函數值分析：I、求出每個不等式的解集，找出不等式組的解集即可；II、求出每一部分的值，代入后求出即可解答：解：I、，解不等式得：x1，解不等式得：x5，不等式組的解集為x5，在數軸上表示不等式組的解集為：II、原式=1+32×8=1+38=7+2點評：本題考查了解一元一次不等式（組），在數軸上

19、表示不等式組的解集，零指數冪，負整數指數冪，二次根式的化簡，特殊角的三角函數值的應用，主要考查學生的計算能力20（9分）（2013天水）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，BAC=90°，CED=45°，DCE=30°，DE=，BE=2求CD的長和四邊形ABCD的面積考點：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形分析：利用等腰直角三角形的性質得出EH=DH=1，進而得出再利用直角三角形中30°所對邊等于斜邊的一半得出CD的長，求出AC，AB的長即可得出四邊形ABCD的面積解答：解：過點D作DHAC，CED=45°，DHE

20、C，DE=，EH=DH，EH2+DH2=ED2，EH2=1，EH=DH=1，又DCE=30°，DC=2，HC=，AEB=45°，BAC=90°，BE=2，AB=AE=2，AC=2+1+=3+，S四邊形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=點評：此題主要考查了解直角三角形和三角形面積求法，根據已知構造直角三角形進而得出直角邊的長度是解題關鍵21（9分）（2013天水）某班同學分三組進行數學活動，對七年級400名同學最喜歡喝的飲料情況，八年級300名同學零花錢的最主要用途情況，九年級300名同學完成家庭作業(yè)時間情況進行了全面

21、調查，并分別用扇形圖、頻數分布直方圖、表格來描述整理得到的數據時間1小時左右1.5小時左右2小時左右2.5小時左右人數508012050根據以上信息，請回答下列問題：（1）七年級400名同學中最喜歡喝“冰紅茶”的人數是多少；（2）補全八年級300名同學中零花錢的最主要用途情況頻數分布直方圖；（3）九年級300名同學中完成家庭作業(yè)的平均時間大約是多少小時？（結果保留一位小數）考點：加權平均數；用樣本估計總體；頻數（率）分布直方圖；扇形統(tǒng)計圖專題：圖表型分析：（1）先求出喝紅茶的百分比，再乘總數（2）先讓總數減其它三種人數，再根據數值畫直方圖（3）用加權平均公式求即可解答：解：（1）冰紅茶的百分比

22、為125%25%10%=40%，冰紅茶的人數為400×40%=160（人），即七年級同學最喜歡喝“冰紅茶”的人數是160人；（2）補全頻數分布直方圖如右圖所示（3）（小時）答：九年級300名同學完成家庭作業(yè)的平均時間約為1.8小時點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵；條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小四、解答題（本大題共50分，解答時寫出必要的演算步驟及推理過程）22（8分）（2013天水）如圖所示，在天水至寶雞（天寶）高速公路建設中需要確定某條隧道AB的長度，已知在

23、離地面2700米高度C處的飛機上，測量人員測得正前方AB兩點處的俯角分別是60°和30°，求隧道AB的長（結果保留根號）考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題分析：易得CAO=60°，CBO=30°，利用相應的正切值可得AO，BO的長，相減即可得到AB的長解答：解：由題意得CAO=60°，CBO=30°，OA=2700×tan30°=2700×=900m，OB=2700×tan60°=2700m，AB=2700900=1800（m）答：隧道AB的長為1800m點評：考查解直角三角形的應

24、用；利用三角函數值得到與所求線段相關線段的長度是解決本題的關鍵23（8分）（2013天水）如圖在平面直角坐標系xOy中，函數y=（x0）的圖象與一次函數y=kxk的圖象的交點為A（m，2）（1）求一次函數的解析式；（2）設一次函數y=kxk的圖象與y軸交于點B，若點P是x軸上一點，且滿足PAB的面積是4，直接寫出P點的坐標考點：反比例函數與一次函數的交點問題專題：計算題分析：（1）將A點坐標代入y=（x0），求出m的值為2，再將（2，2）代入y=kxk，求出k的值，即可得到一次函數的解析式；（2）將三角形以x軸為分界線，分為兩個三角形計算，再把它們相加解答：解：（1）將A（m，2）代入y=（x

25、0）得，m=2，則A點坐標為A（2，2），將A（2，2）代入y=kxk得，2kk=2，解得k=2，則一次函數解析式為y=2x2；（2）一次函數y=2x2與x軸的交點為C（1，0），與y軸的交點為（0，2），SABP=SACP+SBPC，×2CP+×2CP=4，解得CP=2，則P點坐標為（3，0），（1，0）點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，求出函數解析式并熟悉點的坐標與圖形的關系是解題的關鍵24（10分）（2013天水）某工程機械廠根據市場需求，計劃生產A、B兩種型號的大型挖掘機共100臺，該廠所籌生產資金不少于22 400萬元，但不超過22 500萬元，且所

26、籌資金全部用于生產此兩型挖掘機，所生產的此兩型挖掘機可全部售出，此兩型挖掘機的生產成本和售價如下表：型號AB成本（萬元/臺）200240售價（萬元/臺）250300（1）該廠對這兩型挖掘機有哪幾種生產方案？（2）該廠如何生產能獲得最大利潤？（3）根據市場調查，每臺B型挖掘機的售價不會改變，每臺A型挖掘機的售價將會提高m萬元（m0），該廠應該如何生產獲得最大利潤？（注：利潤=售價成本）考點：一元一次不等式的應用專題：應用題；方案型分析：（1）在題目中，每種型號的成本及總成本的上限和下限都已知，所以設生產A型挖掘機x臺，則B型挖掘機（100x）臺的情況下，可列不等式22400200x+240（10

27、0x）22500，解不等式，取其整數值即可求解；（2）在知道生產方案以及每種利潤情況下可列函數解析式W=50x+60（100x）=600010x，利用函數的自變量取值范圍和其單調性即可求得函數的最值；（3）結合（2）得W=（50+m）x+60（100x）=6000+（m10）x，在此，必須把（m10）正負性考慮清楚，即m10，m=10，m10三種情況，最終才能得出結論即怎樣安排，完全取決于m的大小解答：解：（1）設生產A型挖掘機x臺，則B型挖掘機（100x）臺，由題意得22400200x+240（100x）22500，解得37.5x40x取非負整數，x為38，39，40有三種生產方案A型38臺

28、，B型62臺；A型39臺，B型61臺；A型40臺，B型60臺（2）設獲得利潤W（萬元），由題意得W=50x+60（100x）=600010x當x=38時，W最大=5620（萬元），即生產A型38臺，B型62臺時，獲得最大利潤（3）由題意得W=（50+m）x+60（100x）=6000+（m10）x總之，當0m10，則x=38時，W最大，即生產A型38臺，B型62臺；當m=10時，m10=0則三種生產方案獲得利潤相等；當m10，則x=40時，W最大，即生產A型40臺，B型60臺點評：考查學生解決實際問題的能力，試題的特色是在要求學生能讀懂題意，并且會用函數知識去解題，以及會討論函數的最大值要結合

29、自變量的范圍求函數的最大值，并要把（m10）正負性考慮清楚，分情況討論問題25（12分）（2013天水）如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a0）經過A（3，0）、B（4，4）兩點（1）求拋物線的解析式；（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；（3）如圖2，若點N在拋物線上，且NBO=ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足PODNOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）考點：二次函數綜合題分析：（1）利用待定系數法求出二次函數解析式即可；（2）根據已知條件可求出OB的解析式為y=x，則向下平移m個單位長度后的解析式為：y=

30、xm由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點坐標；（3）綜合利用幾何變換和相似關系求解方法一：翻折變換，將NOB沿x軸翻折；方法二：旋轉變換，將NOB繞原點順時針旋轉90°特別注意求出P點坐標之后，該點關于直線y=x的對稱點也滿足題意，即滿足題意的P點有兩個，避免漏解解答：解：（1）拋物線y=ax2+bx（a0）經過A（3，0）、B（4，4）將A與B兩點坐標代入得：，解得：，拋物線的解析式是y=x23x（2）設直線OB的解析式為y=k1x，由點B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1直線OB的解析式為y=x，

31、直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為：y=xm，點D在拋物線y=x23x上，可設D（x，x23x），又點D在直線y=xm上，x23x=xm，即x24x+m=0，拋物線與直線只有一個公共點，=164m=0，解得：m=4，此時x1=x2=2，y=x23x=2，D點的坐標為（2，2）（3）直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），點A關于直線OB的對稱點A的坐標是（0，3），根據軸對稱性質和三線合一性質得出ABO=ABO，設直線AB的解析式為y=k2x+3，過點（4，4），4k2+3=4，解得：k2=，直線AB的解析式是y=，NBO=ABO，ABO=ABO，BA和BN重合，即點N在直線AB上，設

32、點N（n，），又點N在拋物線y=x23x上，=n23n，解得：n1=，n2=4（不合題意，舍去）N點的坐標為（，）方法一：如圖1，將NOB沿x軸翻折，得到N1OB1，則N1（，），B1（4，4），O、D、B1都在直線y=x上P1ODNOB，NOBN1OB1，P1ODN1OB1，點P1的坐標為（，）將OP1D沿直線y=x翻折，可得另一個滿足條件的點P2（，），綜上所述，點P的坐標是（，）或（，）方法二：如圖2，將NOB繞原點順時針旋轉90°，得到N2OB2，則N2（，），B2（4，4），O、D、B1都在直線y=x上P1ODNOB，NOBN2OB2，P1ODN2OB2，點P1的坐標為（，

33、）將OP1D沿直線y=x翻折，可得另一個滿足條件的點P2（，），綜上所述，點P的坐標是（，）或（，）點評：本題是基于二次函數的代數幾何綜合題，綜合考查了待定系數法求拋物線解析式、一次函數（直線）的平移、一元二次方程根的判別式、翻折變換、旋轉變換以及相似三角形等重要知識點本題將初中階段重點代數、幾何知識熔于一爐，難度很大，對學生能力要求極高，具有良好的區(qū)分度，是一道非常好的中考壓軸題26（12分）（2013天水）如圖1，在平面直角坐標系中，已知AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連接AP，并把AOP繞著點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到ABD（1）求直線AB的解析式；（2）當點P運動到點（，0）時，求此時DP的長及點D的坐標；（3）是否存在點P，使OPD的面積等于？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由考點：一次函數綜合題專題：壓軸題分析：（1）過點B作BEy軸于點E，作BFx軸于點F依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標設直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標代入可求解（2）由ABD由AOP旋轉得到，證明