高中數(shù)學(xué) 第2章《抽象函數(shù)問題的“原型”》素材 蘇教版必修1

1、抽象函數(shù)問題的“原型”解法抽象函數(shù)問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是各種考試測評的熱點(diǎn)問題之一。研究發(fā)現(xiàn)，由抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì)，聯(lián)想已學(xué)過的基本函數(shù)，再由基本函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，預(yù)測、猜想抽象函數(shù)可能有的相關(guān)結(jié)論，是使抽象函數(shù)問題獲解的一種有效方法。所謂抽象函數(shù)，是指沒有明確給出函數(shù)表達(dá)式，只給出它具有的某些特征或性質(zhì)，并用一種符號表示的函數(shù)。由抽象函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問題叫抽象函數(shù)問題，這類問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，也是各種考試測評的熱點(diǎn)問題之一。研究抽象函數(shù)問題的解法，對教師的教學(xué)，學(xué)生深刻理解并牢固掌握函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)好大綱規(guī)定的基本函數(shù)知識(shí)顯得尤為重要。抽象來源于具體。抽象函數(shù)是由特殊的、具體

2、的函數(shù)抽象而得到的。如有可抽象為。那么=就叫做抽象函數(shù)滿足的“原型”（函數(shù)），分析抽象函數(shù)問題的解題過程及心理變化規(guī)律可知，一般均是由抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到已學(xué)過的具有相同或相似結(jié)構(gòu)的某類（基本）“原型”函數(shù)，并由“原型”函數(shù)的相關(guān)結(jié)論，預(yù)測、猜想抽象函數(shù)可能具有的某種性質(zhì)使問題獲解的，稱這種解抽象函數(shù)問題的方法為“原型”解法。下面給出中學(xué)階段常用的“原型”（函數(shù)）并舉例說明“原型”解法。一、中學(xué)階段常用抽象函數(shù)的“原型”（函數(shù)）1、(為常數(shù)）2、=（0且1）3、 (0且1)4、(為常數(shù)）5、或=(為常數(shù)） 6、=二、“原型”解法例析【例1】 設(shè)函數(shù)滿足，且()=0，、R；求證：為周期函數(shù)，并

3、指出它的一個(gè)周期。分析與簡證：由想：=2coscos原型：=，為周期函數(shù)且2為它的一個(gè)周期。猜測：為周期函數(shù)，2為它的一個(gè)周期令=+，= 則=0為周期函數(shù)且2是它的一個(gè)周期?！纠?】 已知函數(shù)滿足，若，試求(2005)。分析與略解：由想：(+)=原型：=為周期函數(shù)且周期為4×=。猜測：為周期函數(shù)且周期為4×1=4=-(+4)=是以4為周期的周期函數(shù)又f(2)=2004=-f(2005)=- 【例3】 已知函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)0時(shí)，0，(-1)=-2，求函數(shù)在區(qū)間-2，1上的值域。分析與略解：由：想：(+)=+原型：（為常數(shù)）為奇函數(shù)。0時(shí)為減函數(shù)，0時(shí)為增

4、函數(shù)。猜測：為奇函數(shù)且為R上的單調(diào)增函數(shù)，且在2,1上有4,2設(shè)<且，R 則>0 ()>0=0,為R上的單調(diào)增函數(shù)。令=0,則(0)=0,令=，則()=為R上的奇函數(shù)。(-1)=- (1)=-2 (1)=2，(-2)=2(-1)=-4-42(x-2,1)故在-2,1上的值域?yàn)?4，2【例4】 已知函數(shù)對于一切實(shí)數(shù)、滿足(0)0，且當(dāng)<0時(shí)，1（1）當(dāng)0時(shí)，求的取值范圍（2）判斷在R上的單調(diào)性分析與略解：由：想：原型：=（0, 1），=10。當(dāng)1時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，且0時(shí)，1，0時(shí)，01；01時(shí)為單調(diào)減函數(shù)，且0時(shí)，1，0時(shí)，01。猜測： 為減函數(shù)，且當(dāng)0時(shí)，01。（1）對于

5、一切、R，且(0)0令=0，則(0)=1，現(xiàn)設(shè)0，則-0，f(-) 1又(0)=(-)= =1 = 101（2）設(shè)<，、R，則<0，()1且1， f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù)【例5】 已知函數(shù)定義域?yàn)?0,+)且單調(diào)遞增，滿足(4)=1，（1）證明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+ (-3)1，求的范圍；（4）試證()=（nN）分析與略解：由：想：（、R+）原型：（0，0）猜測：有(1)=0，(16)=2，（1）令=1，=4，則(4)=(1×4)=(1)+(4)(1)=0（2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=2(3)+(3)=(3)1=(4)在（0，

6、+）上單調(diào)遞增 （3，4（4）【例6】 已知函數(shù)對于一切正實(shí)數(shù)、都有且1時(shí)，1，(2)=(1)求證：0；（2）求證：（3）求證：在（0，+）上為單調(diào)減函數(shù)（4）若=9，試求的值。分析與簡證：由，想：原型：（為常數(shù)（=）猜測：0，在（0，+）上為單調(diào)減函數(shù)，(1)對任意0，=)=0假設(shè)存在0，使=0，則對任意0=f(=0，這與已知矛盾故對任意0，均有0（2），0, (1)=1()=(·)=(1)=1 (3)、(0,+)，且，則1，()1， 即在（0，+）上為單調(diào)減函數(shù)。（4）(2)=，()=9 (2)()=1(2)=1=f(1)，而在(0，+)是單調(diào)減函數(shù)2=1 即=綜上所述，由抽象函數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想已學(xué)過的具有相同或相似結(jié)構(gòu)的基本（原型）函數(shù)，并由基本函數(shù)的相關(guān)結(jié)構(gòu)，預(yù)測、猜想抽象函數(shù)可能具