高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題復(fù)習(xí)--不等式

1、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題第六章不等式不等式知識關(guān)系表不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)(對稱性或反身性);(傳遞性);(可加性),此法則又稱為移項(xiàng)法則;(同向可相加)(可乘性) . (正數(shù)同向可相乘)(乘方法則)(開方法則)(倒數(shù)法則)掌握不等式的性質(zhì)，應(yīng)注意：條件與結(jié)論間的對應(yīng)關(guān)系，是“”符號還是“”符號；運(yùn)用不等式性質(zhì)的關(guān)鍵是不等號方向的把握，條件與不等號方向是緊密相連的。 運(yùn)用不等式的性質(zhì)可以對不等式進(jìn)行各種變形,雖然這些變形都很簡單,但卻是我們今后研究和認(rèn)識不等式的基本手段.例1. “a+b>2c”成立的一個(gè)充分條件是（ ）(A)a>c或b>c (B)a>c且b<c

2、(C)a>c且b>c (D)a>c或b<c例2.若a>b,下列式子中; a3>b3;, 正確的有( )(A)1個(gè) (B)2個(gè)(C)3個(gè) (D)4個(gè)例3.的大小關(guān)系為 .例4. 設(shè),且則與的大小關(guān)系是 .例5. 已知滿足, 試求的取值范圍.重要不等式1.定理1：如果a,bx|x是正實(shí)數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號）.注:該不等式可推出:當(dāng)a、b為正數(shù)時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”號）即:平方平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)2.含立方的幾個(gè)重要不等式（a、b、c為正數(shù)）： 由可推出(,);如果a,b,cx|x是正實(shí)數(shù)，那么.（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取

3、“=”號）3.絕對值不等式：注：均值不等式可以用來求最值(積定和小，和定積大),但特別要注意條件的滿足：一正、二定、三相等.例6.“a>0且b>0”是“”的( )(A)充分而非必要條件 (B)必要而非充要條件(C)充要條件 (D)既非充分又非必要條件例7. 若, A, G,H，其中R+，則A，G，H的大小關(guān)系是( )（A）AGH （B）AHG（C）HGA （D）GHA例8.若,且，那么有最小值（ ）(A)6 (B)9 (C)4 (D)3例9. 不等式的最大值是（ ）(A)(B)(C)(D)例10. 若a +b +c = 3，且a、b、cR+，則的最小值為 .不等式解法解不等式是尋找

4、使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。一元一次不等式和一元二次不等式是最簡單的不等式.其它不等式，如高次不等式、分式不等式、無理不等式、指數(shù)和對數(shù)不等式、絕對值不等式、含有字母系數(shù)的不等式等，一般都轉(zhuǎn)化為一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來解。解不等式時(shí)，要注意不等式的同解原理和變形過程的等價(jià)性的正確運(yùn)用，對各類不等式要掌握它的特點(diǎn)，變形過程的程序性和特殊性，注意歸納解各類不等式的思路和方法。（1）高次不等式若可以分解成幾個(gè)含x的一次因式，可用列表法或數(shù)軸標(biāo)根法來解。（2）分式不等式要正確運(yùn)用以下同解原理。（3）無理不等式: 將無理不等式變形為與它同解的

5、不等式組。不等式的同解不等式組是不等式的同解不等式組是（4）指數(shù)、對數(shù)不等式指數(shù)不等式的同解不等式：當(dāng)時(shí)，為；當(dāng)時(shí)，為.例11.若關(guān)于的不等式的解集是,則等于( ) 例12.不等式的解集是( ) 例13. 不等式的解集是（ ） 例14. 不等式的解集是( )(A) (B)或(C) (D)或不等式解法對數(shù)不等式的同解不等式：當(dāng)時(shí)，為;當(dāng)時(shí)，為因此，在解指數(shù)、對數(shù)不等式時(shí)，首先要注意利用對數(shù)的性質(zhì)化為同底不等式.（5）絕對值不等式解絕對值不等式關(guān)鍵是化為等價(jià)的不含絕對值符號的不等式（組），主要方法：對含有幾個(gè)絕對值符號的不等式，用分區(qū)間的方法化為等價(jià)的不含絕對值的不等式組。注:絕對值的幾何意義:

6、表示數(shù)軸上的數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.表示數(shù)軸上的數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的距離.（6）含字母系數(shù)的不等式對上述各類不等式，都可能涉及到不等式中的字母系數(shù)，解不等式時(shí)，對字母的取值要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?，分類時(shí)要不重、不漏，然后根據(jù)分類進(jìn)行求解。注: 解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時(shí)的重要手段，與“等式變形”并列的“不等式的變形”，是研究數(shù)學(xué)的基本手段之一。例15.不等式的解集是_.例16. 解不等式例17. 解關(guān)于x的不等式不等式的證明不等式的證明1.證明不等式的基本依據(jù)：（1）實(shí)數(shù)大小的比較原則；（2）不等式的性質(zhì)；（3）幾個(gè)重要不等式，特別是算術(shù)幾何平均值不等式（4）已知函數(shù)的增減性；（

7、5）實(shí)系數(shù)一元二次方程的根的判別式.例18. 已知xR，求證：2<2.不等式的證明2.證明不等式的常用的方法:比較法：作差比較，要點(diǎn)是：作差變形判斷。這種比較法是普遍適用的，是無條件的。根據(jù)ab>0a>b，欲證a>b只需證ab>0；作商比較，要點(diǎn)是：作商變形判斷。這種比較法是有條件的，這個(gè)條件就是“除式”的符號一定。當(dāng)b>0時(shí)，a>b>1。比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時(shí)根據(jù)題設(shè)可轉(zhuǎn)化為等價(jià)問題的比較（如冪、方根等）。分析法：就是不斷尋找并簡化欲證不等式成立的充分條件，到一個(gè)明顯或易證其成立的充分條件為止。對于思路不明顯，感到

8、無從下手的問題宜用分析法探究證明途徑。這種方法的實(shí)質(zhì)是“充分條件”的化簡。 分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：.分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因綜合法：就是從已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用不等式性質(zhì)及適當(dāng)變形（恒等變形或不等變形）推導(dǎo)出要求證明的不等式。用綜合法證明不等式的關(guān)鍵是適當(dāng)選擇一個(gè)已知的不等式，從此出發(fā)推出所證結(jié)果，怎樣選擇已知的不等式就適當(dāng)呢？一般有兩條途徑。（1）從分析法找思路，（2）從“重要不等式”，特別是平均值不等式找思路。用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：.綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч趴s法若證明“AB”，我們先證明“AC”，然后再證明“CB”，則“AB”。例19. 若求證:.例2

9、0. 設(shè),且,求證:例21. 設(shè) 用放縮法證明:.不等式的證明用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:有關(guān)自然數(shù)的命題，（當(dāng)然這里是不等式）可用數(shù)學(xué)歸納法證明。有關(guān)自然數(shù)的命題成立的條件有二：一是它必需具備特殊性，二是它必需具備遞推性。數(shù)學(xué)歸納法就是證明有關(guān)自然數(shù)的命題具有上述兩條性質(zhì)，從而確定其正確性。用代數(shù)方法證明不等式是考查思維能力的重要內(nèi)容，但隨著對思維能力考查的力度的增加，運(yùn)用多種方法證明不等式和綜合代數(shù)、三角等的有關(guān)內(nèi)容而產(chǎn)生的有關(guān)不等式證明的綜合問題應(yīng)充分重視。熟練掌握不等式的性質(zhì)和一些基本不等式，靈活運(yùn)用常用的證明方法（比較法、分析法、綜合性、反證法、數(shù)學(xué)歸納法），以及運(yùn)用放縮、增量、構(gòu)造（函

10、數(shù)或不等式）、判別式等方法。例22. 已知ABC的三邊長是a，b，c，且m為正數(shù)，求證: .不等式的應(yīng)用不等式的應(yīng)用不等式是研究方程、函數(shù)的重要工具，在歷年高考題中，多次用到不等式解決函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值，函數(shù)的單調(diào)性以及用不等式討論方程中根與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用不等式去解決有關(guān)應(yīng)用問題。例23.建造一個(gè)容積為18m3,深為2m的長方形無蓋水池,如果池底和池壁每m2的造價(jià)分別是200元和150元,那么池的最低造價(jià)為_元.例24. 甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn).甲有一半時(shí)間以速度行走,另一半時(shí)間以速度行走;乙有一半路程以速度行走,另一半路程以速度行走.如果,甲、乙兩人誰先到

11、達(dá)指定地點(diǎn).數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題(第六章不等式)答案例1.C 例2. B 例3. 例4. n3+1>n2+n例5.提示:把“”、“”看成一個(gè)整體.解:=又,的取值范圍是例6. A 例7.A 例8.B例9. B 例10. 例11.B例12.D 例13. C 例14.D例15.例16. 解：原不等式等價(jià)于情形1 當(dāng)x>0時(shí)，上述不等式組變成解得：情形2 當(dāng)x<0時(shí)，上述不等式組變成解得所以原不等式解集為例17.解: 原不等式等價(jià)于由于恒成立， 當(dāng)a>0時(shí)，；當(dāng)a=0時(shí)，；當(dāng)a<0時(shí)，.例18. 證明:令y=，去分母，整理得(y2)x2+(2y)x+y+1=0.當(dāng)y2

12、時(shí)，要方程有實(shí)數(shù)解，須=(2y)24(y2)(y+1)0 得2y2，又y2 2y<2;當(dāng)y=2時(shí),代入(y2)x2+(2y)x+y+1=0中,得3=0，矛盾.綜上所述, 2y<2得證.例19. 綜合法提示:另外本題還可用幾何法.證明:對于，可想到直角三角形的斜邊，先考慮a、b、c為正數(shù)的情況，這時(shí)可構(gòu)造出圖形：以a+b+c為邊長畫一個(gè)正方形，如圖，則，.顯然，即.當(dāng)a、b、c中有負(fù)數(shù)或零時(shí)，顯然不等式成立.例20. 答案見高中數(shù)學(xué)第二冊(上)第27頁例1可用分析法,比較法,綜合法,三角換元法以及向量法等證例21. 提示:利用例22. 高中數(shù)學(xué)第二冊(上)第17頁習(xí)題9法一:構(gòu)造函數(shù)

13、法證明： f(x) = (m>0) = 1在(0, + ¥)上單調(diào)遞增，且在ABC中有a + b > c>0， f(a + b)>f(c)，即 > 。 又 a，b Î R*， + = ， .法二:分析法證明:要證，只要證a(b + m)(c + m) + b(a + m)(c + m)c(a + m)(b + m)>0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2abcacmbcmcm2>0，即abc + 2abm + (a + bc)m2>0，由于a,b,c為ABC的邊長，m&

14、gt;0，故有a + b> c，即(a + bc)m2>0。所以abc + 2abm + (a + bc)m2>0是成立的，因此 .例23.5400, 例24.答案見2005-7-30高中數(shù)學(xué)第二冊(上)第13頁例46、當(dāng)你發(fā)現(xiàn)有“非凡天賦”,就“瘋狂地造夢”吧！Think great thoughts and you will be great!偉大的理想，會讓你變得偉大！一個(gè)人的夢想有多么偉大，他就有多么偉大！偉大的目標(biāo)，即使吹起牛來都很爽！所以，目標(biāo)一定要遠(yuǎn)大！你人生才會過得充實(shí)而干勁十足！ 

15、;   我在這十多年瘋狂英語的奮斗路上，我發(fā)現(xiàn)一個(gè)真理：    “人的潛能無限！相信自己，就能創(chuàng)造奇跡；懷疑自己，人生就會在可憐、悲慘中度過！”    每個(gè)人其實(shí)都是一座寶藏！“相信自己”是人生最重要的品格，“I can ”是家庭給孩子最寶貴的財(cái)富。    而可悲的是，大多數(shù)的父母并沒有給自己孩子這把“最重要的鑰匙”，因?yàn)樗麄兊母改?，和他們所處的時(shí)代，也沒有給他們這把鑰匙。    我們太

16、多人，就像是在黑暗中苦苦摸索，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)有這把鑰匙的時(shí)候，已經(jīng)年過30歲了    其實(shí)，成功根本不用等到30！10歲、20歲就可以很成功！而“相信自己”就是人生最大的成功源頭。    在此，我非常急切地想與大家分享一個(gè)“18歲就成功的故事”，告訴你如果發(fā)現(xiàn)自己有“非凡天賦”時(shí),就瘋狂地造夢想吧，從此，你就會自發(fā)地苦練，并為自己的家庭帶來夢中渴求的一切。    在丁俊暉8歲時(shí)，父親送給他一件特別的禮物一支臺球桿。他很快發(fā)現(xiàn)：兒子在臺球桌上有非凡的天賦，兩年下來，已經(jīng)打遍當(dāng)?shù)責(zé)o敵

17、手。    有一次，爸爸讓小俊暉與臺球名將亨得利一起合影照相，沒想到他卻口吐狂言：“我跟他照什么相，我以后把球打好了，別人找我照相還差不多，總有一天我要戰(zhàn)勝他?！?#160;   看到兒子有如此雄心大志，父親做出了一個(gè)驚人的決定：賣掉家鄉(xiāng)的房子，辭去工作，全家搬遷到陌生的廣東東莞，讓兒子專心學(xué)習(xí)臺球，成為職業(yè)臺球手。    為了節(jié)省開銷，他們沒有租住球館宿舍，只是在宿舍走道的盡頭蹭了張床，木板隔出一個(gè)6平方米的空間，全家三口只睡一張單人床。隔板外，是宿舍樓公廁，悶熱、蚊蟲叮咬、廁所異味

18、竟然令13歲的丁俊暉含淚向父母發(fā)誓：一定要用球桿，為他們打回一套房子！從此，他把臺球當(dāng)成了自己一輩子奮斗的職業(yè)。    丁俊暉練球常常進(jìn)入到癡迷的狀態(tài)，整天與臺球?yàn)榘?，很快，父親送給他的臺球桿被練斷了。修理后又接著打，不久又?jǐn)嗔朔捶磸?fù)復(fù)，一支桿要打斷6、7次，變得不能再打了，才換新球桿。    即使這樣，他父親還時(shí)刻提醒、監(jiān)督他，有時(shí)剛吃完飯，丁俊暉在一邊坐著休息的時(shí)間稍長一點(diǎn)，父親就過來催促：“你去房間練球吧，空調(diào)已幫你開好了?！?#160;   他父親說：“人做事一定要堅(jiān)定，做一件事就要把它做好，如果連這點(diǎn)精神和承擔(dān)失敗的勇氣都沒有，做其他事也不可能成功！人活著就要轟轟烈烈，在有生之年做些事，但我不會強(qiáng)加給他沒興趣的東西做。我堅(jiān)信我兒子是5000年才出一個(gè)的神童！”    也許，是先有了偉大的丁俊暉父親，才有了18歲成為世界級臺球冠軍的丁俊暉?，F(xiàn)在丁俊暉已經(jīng)在老家買了新房，他實(shí)現(xiàn)了當(dāng)初許下的用球桿為父母掙回一套房的承諾！用手中的球桿，兌現(xiàn)了奪得世界冠軍的諾言！    所以，偉大的夢想造就偉大的人生！    Great dreams&#