高考數(shù)學圓錐曲線及解題技巧53628

1、 橢圓與雙曲線的性質(zhì)橢 圓1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.2. PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,(,).9. 設(shè)過橢圓焦點F作直線

2、與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MFNF.。、121210. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12. 若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.13. 若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.雙曲線1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角.2. PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸

3、的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相交.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）5. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是阿薩德.6. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：(,當在右支上時，,.當在左支上時，,9. 設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP

4、 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MFNF.10. 過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11. AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.13. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）橢 圓1. 橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2. 過橢圓

5、(a0, b0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3. 若P為橢圓（ab0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則.4. 設(shè)橢圓（ab0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5. 若橢圓（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0e時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準線距離d與PF2的比例中項.6. P為橢圓（ab0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是.8. 已知橢圓

6、（ab0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.9. 過橢圓（ab0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10. 已知橢圓（ ab0）,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則.11. 設(shè)P點是橢圓（ ab0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).12. 設(shè)A、B是橢圓（ ab0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).13. 已知橢圓（ ab0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右

7、焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點.14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.）17. 橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.橢圓與雙曲線的對偶性

8、質(zhì)-（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）雙曲線1. 雙曲線（a0,b0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2. 過雙曲線（a0,bo）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3. 若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）.4. 設(shè)雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5. 若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1e時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是

9、P到對應(yīng)準線距離d與PF2的比例中項.6. P為雙曲線（a0,b0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側(cè)時，等號成立.7. 雙曲線（a0,b0）與直線有公共點的充要條件是.8. 已知雙曲線（ba 0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.9. 過雙曲線（a0,b0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10. 已知雙曲線（a0,b0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則或.11. 設(shè)P點是雙曲線（a0,b0

10、）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).12. 設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).13. 已知雙曲線（a0,b0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點.14. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 雙曲線焦三角形中,外點到

11、一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點).17. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.圓錐曲線問題解題方法圓錐曲線中的知識綜合性較強，因而解題時就需要運用多種基礎(chǔ)知識、采用多種數(shù)學手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準確解題，還須掌握一些方法和技巧。一. 緊扣定義，靈活解題靈活運用定義，方法往往直接又明了。例1. 已知點A（3，2），F(xiàn)（2，0），雙曲線，P為雙曲線上

12、一點。求的最小值。解析：如圖所示，雙曲線離心率為2，F(xiàn)為右焦點，由第二定律知即點P到準線距離。二. 引入?yún)?shù)，簡捷明快參數(shù)的引入，尤如化學中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。例2. 求共焦點F、共準線的橢圓短軸端點的軌跡方程。解：取如圖所示的坐標系，設(shè)點F到準線的距離為p（定值），橢圓中心坐標為M（t，0）（t為參數(shù)），而再設(shè)橢圓短軸端點坐標為P（x，y），則消去t，得軌跡方程三. 數(shù)形結(jié)合，直觀顯示將“數(shù)”與“形”兩者結(jié)合起來，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形，用形助數(shù)，結(jié)合使用，能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問題。例3.

13、 已知，且滿足方程，又，求m范圍。解析：的幾何意義為，曲線上的點與點（3，3）連線的斜率，如圖所示四. 應(yīng)用平幾，一目了然用代數(shù)研究幾何問題是解析幾何的本質(zhì)特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質(zhì)就和“平幾”知識相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時引用，問題就會迎刃而解。例4. 已知圓和直線的交點為P、Q，則的值為_。解：五. 應(yīng)用平面向量，簡化解題向量的坐標形式與解析幾何有機融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識的有力工具。例5. 已知橢圓：，直線：，P是上一點，射線OP交橢圓于一點R，點Q在OP上且滿足，當點P在上移動時，求點Q的軌跡方程。分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來

14、了很大的難度，而如果用向量共線的條件便可簡便地解出。解：如圖，共線，設(shè)，則，點R在橢圓上，P點在直線上，即化簡整理得點Q的軌跡方程為：（直線上方部分）六. 應(yīng)用曲線系，事半功倍利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。例6. 求經(jīng)過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為：則圓心為，在直線上解得故所求的方程為七. 巧用點差，簡捷易行在圓錐曲線中求線段中點軌跡方程，往往采用點差法，此法比其它方法更簡捷一些。例7. 過點A（2，1）的直線與雙曲線相交于兩點P1、P2，求線段P1P2中點的軌跡方程。解：設(shè)，則 得即設(shè)P

15、1P2的中點為，則又，而P1、A、M、P2共線，即中點M的軌跡方程是解析幾何題怎么解高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數(shù)方程和極坐標系中的基礎(chǔ)知識. 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 求解有時還要用到平幾的基本知識,這點值得考生在復(fù)課時強化. 例1 已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t (0t1)，以AB為直腰作直角梯

16、形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系.(1)寫出直線的方程；（2）計算出點P、Q的坐標；（3）證明：由點P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q.講解: 通過讀圖, 看出點的坐標.(1 ) 顯然, 于是直線的方程為；（2）由方程組解出、；（3）,.由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射，反射光線通過點Q.需要注意的是, Q點的坐標本質(zhì)上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?例2 已知直線l與橢圓有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程 講解：從直線所處

17、的位置, 設(shè)出直線的方程, 由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程 得 化簡后，得關(guān)于的一元二次方程 于是其判別式由已知，得=0即在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得 令頂點P的坐標為（x，y）， 由已知，得 代入式并整理，得 , 即為所求頂點P的軌跡方程方程形似橢圓的標準方程, 你能畫出它的圖形嗎? 例3已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是 （1）求雙曲線的方程； （2）已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值. 講解：（1）原點到直線AB：的距離. 故所求雙曲線方程為 （2）把中消去y，整理得 . 設(shè)的中點是，則即故所求k

18、=.為了求出的值, 需要通過消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程.例4 已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且F1PF2的最大值為90，直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，ABF2的面積最大值為12（1）求橢圓C的離心率；（2）求橢圓C的方程 講解：（1）設(shè), 對 由余弦定理, 得，解出（2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況： i) 當k存在時，設(shè)l的方程為 橢圓方程為由得.于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為 將代入，消去得 ,整理為的一元二次方程，得.則x1、x2是上述方程的兩根且，也可這樣求解： ，AB邊上的高ii) 當k不存在時，把直線代入橢圓方程得由知S的最大值為

19、由題意得=12 所以 故當ABF2面積最大時橢圓的方程為： 下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優(yōu)劣：設(shè)過左焦點的直線方程為：（這樣設(shè)直線方程的好處是什么？還請讀者進一步反思反思.）橢圓的方程為：由得：于是橢圓方程可化為：把代入并整理得：于是是上述方程的兩根.,AB邊上的高,從而當且僅當m=0取等號，即由題意知, 于是 .故當ABF2面積最大時橢圓的方程為： 例5 已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上.（）求此橢圓的離心率；（2 ）若橢圓的右焦點關(guān)于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程.講解:（1）設(shè)A、B兩點的坐標分別為得,根據(jù)韋達定理，得 線段AB的中點坐標為（）.

20、 由已知得，故橢圓的離心率為. （2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標為 設(shè)關(guān)于直線的對稱點為解得由已知得 ，故所求的橢圓方程為.例6 已知M：軸上的動點，QA，QB分別切M于A，B兩點，（1）如果，求直線MQ的方程；（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.講解:（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中，故，所以直線AB方程是（2）連接MB，MQ，設(shè)由點M，P，Q在一直線上，得由射影定理得即把（*）及（*）消去a，并注意到，可得適時應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙.A O B C 例7 如圖，在RtABC中，CBA=90，AB=2，AC=。DOAB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變.（1）建立適當?shù)淖鴺讼担笄€E的方程；（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設(shè)，試確定實數(shù)的取值范圍講解: （1）建立平面直角坐標系, 如圖所示| PA |+| PB |=| CA