高考數學第一輪復習——導數

1、高考復習導數復習目標1了解導數的概念，能利用導數定義求導數掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念了解曲線的切線的概念在了解瞬時速度的基礎上抽象出變化率的概念 2熟記基本導數公式,掌握兩個函數四則運算的求導法則和復合函數的求導法則，會求某些簡單函數的導數，利能夠用導數求單調區(qū)間，求一個函數的最大(小)值的問題，掌握導數的基本應用3了解函數的和、差、積的求導法則的推導，掌握兩個函數的商的求導法則。能正確運用函數的和、差、積的求導法則及已有的導數公式求某些簡單函數的導數。4了解復合函數的概念。會將一個函數的復合過程進行分解或將幾個函數進行復合。掌握復合函數的求導法則，并會用法

2、則解決一些簡單問題。三、基礎知識梳理：導數是微積分的初步知識，是研究函數，解決實際問題的有力工具。在高中階段對于導數的學習，主要是以下幾個方面:1導數的常規(guī)問題：（1）刻畫函數（比初等方法精確細微）；（2）同幾何中切線聯系（導數方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便）等關于次多項式的導數問題屬于較難類型。2關于函數特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡便。3導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。4瞬時速度物理學習直線運動的速度時，涉及過瞬時速度的一些

3、知識，物理教科書中首先指出：運動物體經過某一時刻(或某一位置)的速度叫做瞬時速度，然后從實際測量速度出發(fā)，結合汽車速度儀的使用，對瞬時速度作了說明物理課上對瞬時速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時間運動的平均速度的極限來定義瞬時速度5導數的定義導數定義與求導數的方法是本節(jié)的重點，推導導數運算法則與某些導數公式時，都是以此為依據對導數的定義，我們應注意以下三點：(1)x是自變量x在 處的增量(或改變量)(2)導數定義中還包含了可導或可微的概念，如果x0時，有極限，那么函數y=f(x)在點處可導或可微，才能得到f(x)在點處的導數(3)如果函數y=f(x)在點處可導，

4、那么函數y=f(x)在點處連續(xù)(由連續(xù)函數定義可知)反之不一定成立例如函數y=|x|在點x=0處連續(xù)，但不可導由導數定義求導數，是求導數的基本方法，必須嚴格按以下三個步驟進行：(1)求函數的增量；(2)求平均變化率；(3)取極限，得導數。6導數的幾何意義函數y=f(x)在點處的導數，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率由此，可以利用導數求曲線的切線方程具體求法分兩步：(1)求出函數y=f(x)在點處的導數，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率；(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為特別地，如果曲線y=f(x)在點處的切線平行于y軸，這時導數不存，根據切線定義，可得切線方程為7.

5、導數與函數的單調性的關系與為增函數的關系。能推出為增函數，但反之不一定。如函數在上單調遞增，但，是為增函數的充分不必要條件。時，與為增函數的關系。若將的根作為分界點，因為規(guī)定，即摳去了分界點，此時為增函數，就一定有。當時，是為增函數的充分必要條件。與為增函數的關系。為增函數，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函數在某個區(qū)間內恒有，則為常數，函數不具有單調性。是為增函數的必要不充分條件。單調區(qū)間的求解過程已知（1）分析 的定義域； （2）求導數 （3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區(qū)間我們在應用導數判斷函數的單調性時一定要搞清以下三個關系

6、，才能準確無誤地判斷函數的單調性。以下以增函數為例作簡單的分析，前提條件都是函數在某個區(qū)間內可導。函數單調區(qū)間的合并函數單調區(qū)間的合并主要依據是函數在單調遞增，在單調遞增，又知函數在處連續(xù)，因此在單調遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調性相同，且在公共點處函數連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個區(qū)間。8.（1）恒成立 為上 對任意 不等式 恒成立（2）恒成立 在上 對任意不等式 恒成立四、經典例題解析：例1設函數，已知和為的極值點（）求和的值；（）討論的單調性；（）設，試比較與的大小解：（）因為，又和為的極值點，所以，因此解方程組得，（）因為，所以，令，解得，因為當時，；當時，所以在和上

7、是單調遞增的；在和上是單調遞減的（）由（）可知，故，令，則令，得，因為時，所以在上單調遞減故時，；因為時，所以在上單調遞增故時，所以對任意，恒有，又，因此，故對任意，恒有說明：本題主要考查函數的極值及利用導數解決函數單調性問題，另外利用導數證明不等式也是高考不科忽視的考查方向.例2已知函數，求導函數，并確定的單調區(qū)間解：令，得當，即時，的變化情況如下表：0當，即時，的變化情況如下表：0所以，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減當，即時，所以函數在上單調遞減，在上單調遞減例3已知函數，其中.（）若曲線在點處的切線方程為，求函數的解析

8、式；（）討論函數的單調性；（）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.解：（），由導數的幾何意義得，于是由切點在直線上可得，解得所以函數的解析式為（）當時，顯然（）這時在，內是增函數當時，令，解得當變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在，內是增函數，在，(0,)內是減函數（）由（）知，在上的最大值為與中的較大者，對于任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即，對任意的成立從而得，所以滿足條件的的取值范圍是說明：本小題主要考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、解不等式等基礎知識，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力例4水庫的蓄水量隨時間而變化，現用t表示時間，以月為單位，年

9、初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于t的近似函數關系式為V（t）=（）該水庫的蓄水量小于50的時期稱為枯水期.以i1ti表示第i月份（i=1,2,12）,問一年內哪幾個月份是枯水期？（）求一年內該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計算）.解：（）當0t10時，V(t)=(t2+14t40)化簡得t214t+40>0,解得t4，或t10，又0t10，故0t4.當10t12時，V（t）4（t10）（3t41）+5050,化簡得（t10）（3t41）0,解得10t，又10t12,故 10t12.綜合得0<t<4,或10<t12,故知枯水期為1月，2月， 3

10、月，4月，11月，12月共6個月.()由()知：V(t)的最大值只能在（4，10）內達到.由V（t）=令V(t)=0,解得t=8(t=2舍去).當t變化時，V(t)與V (t)的變化情況如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)+0V(t)極大值由上表，V(t)在t8時取得最大值V(8)8e2+50108.32(億立方米).故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米說明：本小題主要考查函數、導數和不等式等基本知識，考查用導數求最值和綜合運用數學知識解決實際問題能力.例5已知函數（且，）恰有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是（）求函數的另一個極值點；（）求函數的極大值和極小值，并求時

11、的取值范圍解：（），由題意知，即得，（*），由得，由韋達定理知另一個極值點為（或）（）由（*）式得，即當時，；當時，（i）當時，在和內是減函數，在內是增函數，由及，解得（ii）當時，在和內是增函數，在內是減函數，恒成立綜上可知，所求的取值范圍為例6求證下列不等式（1）（2）（3）證明：（1）為上 恒成立在上恒成立（2）原式 令 （3）令說明：利用導數證明不等式這一部分內容不可忽視，它本質是還是考查利用導數研究函數的單調性及最值問題。五、強化跟蹤：1設函數f(x)在處可導，則等于 （）A B C D2若，則等于 （）A B C3 D23曲線上切線平行于x軸的點的坐標是 （ ）A（-1，2） B（

12、1，-2） C（1，2） D（-1，2）或（1，-2）4若函數f(x)的導數為f(x)=-sinx，則函數圖像在點（4，f（4）處的切線的傾斜角為（）A90° B0° C銳角 D鈍角5函數在0，3上的最大值、最小值分別是 （ ）A5，15B5，4C4，15D5，166一直線運動的物體，從時間t到t+t時，物體的位移為s，那么為（）A從時間t到t+t時，物體的平均速度B時間t時該物體的瞬時速度C當時間為t 時該物體的速度D從時間t到t+t時位移的平均變化率7關于函數，下列說法不正確的是 （ ）A在區(qū)間（，0）內，為增函數B在區(qū)間（0，2）內，為減函數C在區(qū)間（2，）內，為增函

13、數D在區(qū)間（，0）內，為增函數8對任意x，有，f(1)=-1，則此函數為 （）A B C D9函數y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值與最小值分別是 （ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -1610設f(x)在處可導，下列式子中與相等的是 （）（1）；（2）；（3）（4）。A（1）（2） B（1）（3） C（2）（3） D（1）（2）（3）（4）11f()是定義在區(qū)間c,c上的奇函數，其圖象如圖所示：令g（）=af（）+b，則下列關于函數g（）的敘述正確的是（ ）A若a<0,則函數g（）的圖象關于原點對稱.B若a=1，2<b<

14、;0,則方程g（）=0有大于2的實根.C若a0,b=2,則方程g（）=0有兩個實根.D若a1,b<2,則方程g（）=0有三個實根.12若函數f(x)在點處的導數存在，則它所對應的曲線在點處的切線方程是13設，則它與x軸交點處的切線的方程為_。14設，則_。15垂直于直線2x-6y+1=0，且與曲線相切的直線的方程是_ 16已知曲線，則_。17y=x2ex的單調遞增區(qū)間是18曲線在點處的切線方程為_。19P是拋物線上的點，若過點P的切線方程與直線垂直，則過P點處的切線方程是_。 20在拋物線上依次取兩點，它們的橫坐標分別為，若拋物線上過點P的切線與過這兩點的割線平行，則P點的坐標

15、為_。21曲線在點A處的切線的斜率為3，求該曲線在A點處的切線方程。22在拋物線上求一點P，使過點P的切線和直線3x-y+1=0的夾角為。23判斷函數在x=0處是否可導。24求經過點（2，0）且與曲線相切的直線方程。25已知曲線與。直線l與、都相切，求直線l的方程。六參考答案：15 CBDCA； 610 BDBAB； 11 B12 13y=2(x-1)或y=2(x+1) 14-6 153x+y+6=0 1617(-,-2)與(0,+ ) 18192x-y-1=0 20（2，4）21由導數定義求得，令，則x=±1。當x=1時，切點為（1，1），所以該曲線在（1，1）處的切線方程為y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；當x=-1時，則切點坐標為（-1，-1），所以該曲線在（-1，-1）處的切線方程為y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。22由導數定義得f(