高考數(shù)學(xué)之三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、 三角函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1 角，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍瑒t角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義2 角度制，把一周角360等分，每一等價(jià)為一度，弧度制：把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圓心角的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)，則其弧度數(shù)的絕對(duì)值|=,其中r是圓的半徑。定義3 三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y），到原點(diǎn)的距離為r,則正弦函數(shù)sin=,余弦函數(shù)cos=,正切函數(shù)tan=，余切函數(shù)cot=

2、，定理1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tan=,商數(shù)關(guān)系：tan=；乘積關(guān)系：tan×cos=sin,cot×sin=cos；平方關(guān)系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理2 誘導(dǎo)公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan; （）sin=cos, cos=sin（奇變偶不變，符號(hào)看象限）。定理3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=

3、sinx（xR）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期為2. 奇偶數(shù). 有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+時(shí)，y取最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x=3k-時(shí), y取最小值-1。對(duì)稱性：直線x=k+均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)（k, 0）均為其對(duì)稱中心，值域?yàn)?1，1。這里kZ.定理4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=cosx(xR)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k, 2k+上單調(diào)遞減，在區(qū)間2k-, 2k上單調(diào)遞增。最小正周期為2。奇偶性：偶函數(shù)。對(duì)稱性：直線x=k均為其對(duì)稱軸，點(diǎn)均為其對(duì)稱中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2k時(shí)，y取最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x=2k-時(shí)，y取最小值-1。值域?yàn)?1，1。這里k

4、Z.定理5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx(xk+)在開(kāi)區(qū)間(k-,k+)上為增函數(shù), 最小正周期為，值域?yàn)椋?，+），點(diǎn)（k，0），（k+，0）均為其對(duì)稱中心。函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，既無(wú)最大值也無(wú)最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心無(wú)對(duì)稱軸定理6 兩角和與差的基本關(guān)系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin;tan()=定理7 和差化積與積化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=

5、2sincos,cos+cos=2coscos,cos-cos=-2sinsin,sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).定理8 倍角公式:sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=定理9 半角公式:sin=,cos=,tan=定理10 萬(wàn)能公式: , ,定理11 輔助角公式：如果a, b是實(shí)數(shù)且a2+b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a, b)的一個(gè)角為，則sin=,cos=，對(duì)任意的角.asin+

6、bcos=sin(+).定理12 正弦定理：在任意ABC中有，其中a, b, c分別是角A，B，C的對(duì)邊，R為ABC外接圓半徑。定理13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分別是角A，B，C的對(duì)邊。定理14 圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin(x+)的圖象（相位變換）；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到y(tǒng)=sin()的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(>0)的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到y(tǒng)

7、=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。定義4 函數(shù)y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx(x-1, 1)，函數(shù)y=cosx(x0, ) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx(x-1, 1). 函數(shù)y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x-, +).定理15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程c

8、osx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16 若，則sinx<x<tanx.二、方法與例題1結(jié)合圖象解題。例1 求方程sinx=lg|x|的解的個(gè)數(shù)?！窘狻吭谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y=sinx與y=lg|x|的圖象（見(jiàn)圖），由圖象可知兩者有6個(gè)交點(diǎn)，故方程有6個(gè)解。1（浙江卷7）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（A）0 （B）1 （C）2 （D）42最小正周期的確定。例2 求函數(shù)y=sin(2cos

9、|x|)的最小正周期?！窘狻?首先，T=2是函數(shù)的周期（事實(shí)上，因?yàn)閏os(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，當(dāng)且僅當(dāng)x=k+時(shí)，y=0（因?yàn)閨2cosx|2<）,所以若最小正周期為T(mén)0，則T0=m, mN+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以T0=2。1（07江蘇卷）下列函數(shù)中，周期為的是 （ ）A B C D2.（08江蘇）的最小正周期為，其中，則=3.（04全國(guó)）函數(shù)的最小正周期是（ ）.4.（1）（04北京）函數(shù)的最小正周期是.（2）（04江蘇）函數(shù)的最小正周期為（ ）.5.(09年廣東文)函數(shù)是 ( ) A最小正周期為的奇函數(shù) B. 最小

10、正周期為的偶函數(shù) C. 最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù) 6.（浙江卷2）函數(shù)的最小正周期是.3三角最值問(wèn)題。例3 已知函數(shù)y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值?！窘夥ㄒ弧?令sinx=,則有y=因?yàn)?，所以，所?，所以當(dāng)，即x=2k-(kZ)時(shí)，ymin=0，當(dāng)，即x=2k+(kZ)時(shí)，ymax=2.【解法二】 因?yàn)閥=sinx+,=2（因?yàn)?a+b)22(a2+b2)），且|sinx|1，所以0sinx+2，所以當(dāng)=sinx，即x=2k+(kZ)時(shí), ymax=2，當(dāng)=-sinx，即x=2k-(kZ)時(shí), ymin=0。注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|1、|cosx|1、

11、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。練習(xí)1.（09福建）函數(shù)最小值是=。2.（09上海）函數(shù)的最小值是.3將函數(shù)的圖像向右平移了n個(gè)單位，所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則n的最小正值是 A B C D4.若動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點(diǎn)，則的最大值為（ ） A1 B C D25.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 ( )A.1 B. C. D.1+4換元法的使用。例4 求的值域。【解】 設(shè)t=sinx+cosx=因?yàn)樗杂忠驗(yàn)閠2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因?yàn)閠-1，所以，所以y-1.所以函數(shù)值域?yàn)?圖象變換：y=sinx(xR

12、)與y=Asin(x+)(A, >0).由y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，最后向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象。 例5 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值?！窘狻?由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對(duì)任意xR成立

13、。又0，解得=，因?yàn)閒(x)圖象關(guān)于對(duì)稱，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ).又>0，取k=0時(shí)，此時(shí)f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；取k=1時(shí)，=2，此時(shí)f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)；取k=2時(shí)，此時(shí)f(x)=sin(x+)在0，上不是單調(diào)函數(shù)，綜上，=或2。1.(09山東)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位, 再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是2.（1）（07山東）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向平移個(gè)單位（2）（全國(guó)一8）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像向平移個(gè)單位（3）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象

14、向平移個(gè)單位長(zhǎng)度3.將函數(shù)y = cosxsinx的圖象向左平移m（m > 0）個(gè)單位，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小正值是 （D） A. B. C. D. 4.（湖北）將函數(shù)的圖象F按向量平移得到圖象,若的一條對(duì)稱軸是直線,則的一個(gè)可能取值是 ( ) A. B. C. D.6三角公式的應(yīng)用。例6 已知sin(-)=，sin(+)=- ，且-，+，求sin2,cos2的值?！窘狻?因?yàn)?，所以cos(-)=-又因?yàn)?，所以cos(+)=所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+

15、sin(+)sin(-)=-1.例7 求證：tan20+4cos70.【解】 tan20+4cos70=+4sin20求值1、（1）(07全國(guó))是第四象限角，則（2）（09北京文）若，則.（3）（09全國(guó)卷文）已知ABC中，則.(4)是第三象限角，則=2、(1)(07陜西) 已知?jiǎng)t=.(2)（04全國(guó)文）設(shè)，若，則=.（3）（06福建）已知?jiǎng)t=3. (1)(07福建)= (2)（06陜西）=。（3）。4已知，則的值為 （ ）ABC D5已知sin=，（，0），則cos（）的值為 （ ） ABCD6.若，則的取值范圍是： ( )（）（）（）（）7.若則= （ ） （A） （B）2 （C） （D）

16、單調(diào)性1.（04天津）函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是 （ ）. A. B. C. D. 2.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是 （ ） ABCD3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ）A B C D4（07天津卷）設(shè)函數(shù)，則（ ）A在區(qū)間上是增函數(shù)B在區(qū)間上是減函數(shù)C在區(qū)間上是增函數(shù)D在區(qū)間上是減函數(shù)5.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是 ( )A B C D6若函數(shù)f(x)同時(shí)具有以下兩個(gè)性質(zhì)：f(x)是偶函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f()= f()，則f(x)的解析式可以是 （ ）Af(x)=cosxBf(x)=cos(2x)Cf(x)=sin(4x)Df(x) =cos6x四.五.對(duì)稱性1.（08安徽）函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程可能是 （

17、 ）ABCD2 （07福建）函數(shù)的圖象 （） 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于直線對(duì)稱 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于直線對(duì)稱3（09全國(guó)）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為 （ ） (A) (B) (C) (D)7. 圖象4（2006年四川卷）下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是 （ ）（A） （B）（C） （D）5.（2009江蘇卷）函數(shù)（為常數(shù)，）在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，則=. 7(2010·天津)下圖是函數(shù)yAsin(x)(xR)在區(qū)間上的圖象，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將ysinx(xR)的圖象上所有的點(diǎn)()A向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變B向左平移個(gè)單位長(zhǎng)

18、度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變D向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變8(2010·全國(guó))為了得到函數(shù)ysin的圖象，只需把函數(shù)ysin的圖象()A向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位B向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位D向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位9(2010·重慶)已知函數(shù)ysin(x)的部分圖象如圖所示，則()A1，B1，C2，D2，八.解三角形1.(2009年廣東卷文)已知中，的對(duì)邊分別為若且，則2.（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于 2 ，的取值范圍為 . 3.（0

19、9福建） 已知銳角的面積為，則角的大小為5已知ABC中，則的值為7.在中， （）求的值；（）設(shè)的面積，求的長(zhǎng)九.綜合1. （04年天津）定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，則的值為2(04年廣東)函數(shù)f(x)是 （ ）A周期為的偶函數(shù) B周期為的奇函數(shù) C 周期為2的偶函數(shù) D.周期為2的奇函數(shù) 3（ 09四川）已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( ) A. 函數(shù)的最小正周期為2 B. 函數(shù)在區(qū)間0，上是增函數(shù) C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線0對(duì)稱 D. 函數(shù)是奇函數(shù)4(07安徽卷) 函數(shù)的圖象為C, 如下結(jié)論中正確的是圖象C關(guān)于直線對(duì)稱; 圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;函數(shù))內(nèi)是增函數(shù);

20、由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.5.（08廣東卷）已知函數(shù)，則是 （ ）A、最小正周期為的奇函數(shù) B、最小正周期為的奇函數(shù)C、最小正周期為的偶函數(shù) D、最小正周期為的偶函數(shù)6.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是C（A）0 （B）1 （C）2 （D）47若是第三象限角，且cos<0，則是 （ ）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角8已知函數(shù)對(duì)任意都有，則等于 （ ）A、2或0 B、或2 C、0 D、或0十.解答題1（05福建文）已知.（）求的值；（）求的值.2（06福建文）已知函數(shù)（I）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（II）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？3（2006年遼寧卷）已知函數(shù)，.求:(I) 函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；(II) 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.4.（07福建文）在中，（）求角的大小；（）若邊的長(zhǎng)為，求邊的長(zhǎng)5.