高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案人教版A版――平面向量的概念及運算

1、2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案（人教版A版）平面向量的概念及運算一【課標要求】（1）平面向量的實際背景及基本概念通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；（2）向量的線性運算通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；通過實例，掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.（3）平面向量的基本定理及坐標表示了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算； 理解用坐標表示的平面向量共線的條件.二【命題走向】本講內(nèi)容屬于平面

2、向量的基礎(chǔ)性內(nèi)容，與平面向量的數(shù)量積比較出題量較小。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標運算等。此類題難度不大，分值59分。預(yù)測2014年高考：（1）題型可能為1道選擇題或1道填空題；（2）出題的知識點可能為以平面圖形為載體表達平面向量、借助基向量表達交點位置或借助向量的坐標形式表達共線等問題。三【要點精講】1向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：.幾何表示法，；坐標表示法。向量的大小即向量的模（長度），記作|.即向量的大小，記作

3、|。向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.零向量長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行.零向量0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件。（注意與0的區(qū)別）單位向量模為1個單位長度的向量，向量為單位向量1。平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作。由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須

4、區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的.相等向量長度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為。大小相等，方向相同。2向量的運算（1）向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法.設(shè)，則+=。規(guī)定：（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有

5、向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點.當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： ，但這時必須“首尾相連”。（2）向量的減法 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量.記作,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。向量減法向量加上的相反向量叫做與的差，記作：.求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）。（3）實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的

6、積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律.3兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=。4平面向量的基本定理如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.5平面向量的坐標表示（1）平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底.由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做

7、向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。規(guī)定：（1）相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)系。（2）平面向量的坐標運算：若，則；若，則；若=(x,y)，則=(x,y)；若，則。四【典例解析】題型1：平面向量的概念例1（1）給出下列命題：若|，則=；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若=，=，則=；=的充要條件是|=|且/；若/，/，則/；其中正確的序號是。（2）設(shè)為單位向量，（1）若為平面內(nèi)的某個向量，則=|·(2

8、)若與a0平行，則=|·；（3）若與平行且|=1，則=。上述命題中，假命題個數(shù)是（ ）A0B1C2D3解析：（1）不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；正確；，且，又 A，B，C，D是不共線的四點，四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，且，因此，。正確；=，的長度相等且方向相同；又，的長度相等且方向相同，的長度相等且方向相同，故。不正確；當/且方向相反時，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要條件，而是必要不充分條件；不正確；考慮=這種特殊情況； 綜上所述，正確命題的序號是。點評：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念。向量的基本概念較多，

9、因而容易遺忘。為此，復(fù)習(xí)時一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想。（2）向量是既有大小又有方向的量，與|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若與平行，則與方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時=|，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選D。點評：向量的概念較多，且容易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。題型2：平面向量的運算法則例2（1）如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，試用，將向量， 表示出來。（1）解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量，

10、來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可。因為六邊形ABCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點A，B，C四點構(gòu)成平行四邊形ABCO，所以，=，=+，由于A，B，O，F(xiàn)四點也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以=+=+=2+，同樣在平行四邊形 BCDO中，()2，。點評：其實在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點中，任兩點為起點和終點，均可用 ，表示，且可用規(guī)定其中任兩個向量為，另外任取兩點為起點和終點，也可用，表示。（3）（2008湖南文，4）11已知向量，則=_.【答案】 【解析】由（4）(2009年廣東卷文)已知平面向量a=，b=，則向量 ( )A平行于軸 B.平行于第一、三象限

11、的角平分線C.平行于軸 D.平行于第二、四象限的角平分線答案 C解析,由及向量的性質(zhì)可知,C正確.例4設(shè)為未知向量，、為已知向量，解方程2-(5+3-4)+-3=0.解析：原方程可化為：(2- 3) + (-5+) + (4-3) = 0， =+ 。點評：平面向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)中實數(shù)與未知數(shù)的運算法則，求解時兼顧到向量的性質(zhì)。題型3：平面向量的坐標及運算例5已知中，A(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC邊上的高為AD，求。解析：設(shè)D(x,y)，則得所以。例6已知點,試用向量方法求直線和（為坐標原點）交點的坐標。解析：設(shè)，則因為是與的交點，所以在直線上，也在直線上。即得，由點得，。

12、得方程組，解之得。故直線與的交點的坐標為。題型4：平面向量的性質(zhì)例7平面內(nèi)給定三個向量，回答下列問題：（1）求滿足的實數(shù)m,n；（2）若，求實數(shù)k；（3）若滿足，且，求。解析：（1）由題意得，所以，得。（2），；（3）由題意得，得或。例8已知（1）求；（2）當為何實數(shù)時，與平行， 平行時它們是同向還是反向？解析：（1）因為所以則（2），因為與平行，所以即得。此時，則，即此時向量與方向相反。點評：上面兩個例子重點解析了平面向量的性質(zhì)在坐標運算中的體現(xiàn)，重點掌握平面向量的共線的判定以及平面向量模的計算方法。題型5：共線向量定理及平面向量基本定理例9（2009北京卷文）已知向量，如果那么( ) A且

13、與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向答案D解析本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運算考查.a，b，若，則cab，dab，顯然，a與b不平行，排除A、B. 若，則cab，dab，即cd且c與d反向，排除C，故選D.點評：熟練運用向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標運算法則進行運算；兩個向量平行的坐標表示；運用向量的坐標表示，使向量的運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機的結(jié)合。例10（1）（06福建理，11）已知=1，=,=0,點C在AOB內(nèi)，且AOC=30°，設(shè)=m+n(m、nR)，則等于（ ）A B3 C D（2）（2009安徽卷理）給定兩個長度為1的

14、平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動.若其中,則的最大值是_.答案 2解析設(shè)，即題型6：平面向量綜合問題例11（2009上海卷文）已知ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量， .（1） 若/，求證：ABC為等腰三角形；（2） 若，邊長c = 2，角C = ，求ABC的面積 .證明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圓半徑，為等腰三角形解（2）由題意可知由余弦定理可知，五【思維總結(jié)】數(shù)學(xué)教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、形成基本技能的“藍本”,能力是在知識傳授和學(xué)習(xí)過程中得到培養(yǎng)和發(fā)展的。新課程試卷中平面向量的有些問題與課本的例習(xí)題相同或相似，雖然只是個別小題，但它對學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義，教學(xué)中重視教材的使用應(yīng)有不可估量的作用。因此，學(xué)習(xí)階段要在掌握教材的基礎(chǔ)上把各個局部知識按照一定的觀點和方法組織成整體，形成知識體系。學(xué)習(xí)本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置