專題質(zhì)量評估（八）

1、專題質(zhì)量評估(八) (時間:120分鐘,滿分:160分)一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分) 1.若x,y滿足約束條件 目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值,則a的取值范圍是 . 【解析】作出可行域如圖所示,直線ax+2y=z僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值,由圖象可知即-4<a<2. 【答案】(-4,2) 2.已知f(x)是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),當(dāng)0<x<3時,f(x)的圖象如圖所示,那么不等式cosx<0的解集是 . 【解析】由已知用對稱的方法畫全f(x)在(-3,3)上的圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,如圖所示,從”形”中找出圖象分別在

2、x軸上、下部分的對應(yīng)”數(shù)”的區(qū)間為. 【答案】 3.圓錐曲線離心率則a的值為 . 【解析】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時解得;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時,解得a=-1. 【答案】 -1 4.(2011湖南益陽一模)當(dāng)x,y滿足條件|x|+|y|時,變量的取值范圍是 . 【解析】|x|+|y|表示的平面區(qū)域是正方形及其內(nèi)部,而可以看成是點(diǎn)(3,0)與(y,x)連線的斜率,由圖知,u最大為(3,0)與(0,-1)連線的斜率即最小為(3,0)與(0,1)連線的斜率即. 【答案】 5.三棱柱底面內(nèi)的一條直線與棱柱的另一底面的三邊及三條側(cè)棱所在的6條直線中,能夠成異面直線的條數(shù)的集合是 . 【解析】如圖所示,當(dāng)直線l分別在圖(

3、1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置時,與l異面的直線分別有3條、4條、5條、6條,故能構(gòu)成異面直線的條數(shù)的集合是3,4,5,6. 【答案】3,4,5,6 6.若方程5-m)=0的兩根都大于2,則m的取值范圍是 . 【解析】令5-m,要使方程f(x)=0的兩根都大于2,需函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)均在2的右邊,則 解得. 【答案】(-5,-4 7.已知函數(shù)a<3),若則與的大小關(guān)系是 . 【解析】f(x)的圖象對稱軸為x=-1,因為0<a<3, 則-2<1-a<1,若則-2, 不滿足且-2<1-a<1; 當(dāng)時,由知所以有; 當(dāng)時,有. 又因為

4、f(x)在上為增函數(shù), 所以. 【答案】 8.對任意實(shí)數(shù)x、y,規(guī)定運(yùn)算xy=ax+by+cxy,其中a、b、c是常數(shù),等式右邊的運(yùn)算是通常的加法和乘法運(yùn)算,已知12=3,23=4,并且有一個非零常數(shù)m,使得對任意實(shí)數(shù)x,都有xm=x,則m= . 【解析】依題意,xm=ax+bm+cxm=x對任意實(shí)數(shù)x恒成立,令x=0,則mb=0,由m是非零常數(shù)得b=0. 故xy=ax+cxy. 由已知得 解之得a=5,c=-1. 故5x-mx=x對任意實(shí)數(shù)x恒成立,則m=4. 【答案】4 9.過拋物線的焦點(diǎn)F作相互垂直的兩條弦AB和CD,則AB+CD的最小值為 . 【解析】F(a,0),設(shè)AB的斜率為k.

5、. . . 同理. . 【答案】16a 10.命題甲:成等比數(shù)列,命題乙:lgx,lg(x+1),lg(x+3)成等差數(shù)列,則甲是乙的 條件. 【解析】本題考查數(shù)列的性質(zhì)以及充分必要條件的概念.若甲成等比數(shù)列,有x,解之得x=1或x=-2,滿足條件的x的集合為-2,1,若乙成等差數(shù)列,有2lg(x+1)=mlgx+lg(x+3),且x(x+3),得x=1,則滿足乙的x的集合為1,因1,-21,所以甲是乙的必要不充分條件. 【答案】必要不充分 11.設(shè)函數(shù)sinx,若時,f(mcosf(1-m)>0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 . 【解析】易知f(x)為奇函數(shù)、增函數(shù), f(mcos0,即

6、f(mcosf(m-1), mcos 而時,cos 得m<1. 【答案】 12.定義:若存在常數(shù)k,使得對定義域D內(nèi)的任意兩個、均有|成立,則稱函數(shù)f(x)在定義域上滿足利普希茨條件.若函數(shù)滿足利普希茨條件,則常數(shù)k的最小值為 . 【解析】f 因|(1), |所以. 【答案】 13.(2011遼寧遼陽一模)定義在R上的函數(shù)f(x)具有以下性質(zhì): 對任意R,都有;對于任意R都有則f(0)+f(1)+f(-1)的值是 . 【解析】由題意得f(0)= f(1),f(-1),f(0)從0,-1,1中任選一值. 又當(dāng)時 f(1)+f(-1)+f(0)=0-1+1=0. 【答案】0 14.已知定義在

7、R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù).若方程f(x)=m(m>0),在區(qū)間-8,8上有四個不同的根則 . 【解析】因為定義在R上的奇函數(shù),滿足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)=f(x),因此,函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù).又因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),所以f(x)在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù),如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間-8,8上有四個不同的根不妨設(shè).由對稱性知所以-12+4=-8. 【答案】-8 二、解答題(本大題

8、共6小題,共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15.(本小題滿分14分)把一塊鋼板沖成上面是半圓形,下面是矩形的零件,其周長是P,怎樣設(shè)計才能使沖成的零件面積最大?并求出它的最大面積. 【解】如圖,設(shè)矩形的一邊長為x,則半圓的周長為 矩形的另一邊長為. 設(shè)零件的面積為S,則 . 當(dāng)時,S有最大值,這時. 當(dāng)矩形的兩鄰邊AB與BC之比為12時. 16.(本小題滿分14分)求函數(shù)f(x)=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值. 【解】y=f(x)=2-4asinx-(1-2sin =2sinsinx+1 =2(sin. 設(shè)sinx=t,則 并且y=. 當(dāng)a<-1時,如

9、圖. 有4a, 4a; 當(dāng)時, 有 為g(-1)和g(1)中的較大者, 即 或. 當(dāng)a>1時,有4a, 4a. 17.(本小題滿分14分)(2011安徽滁州二模)若f(x)是三次函數(shù),且f f(0)=1. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值; (2)若求f(x)的最大值、最小值. 【解】f(x)是三次函數(shù),f(0)即為其常數(shù)項, 故由題意可得. (1)f f (x)=-(x-m)(x-3m), 時,f (x)<0,f(x)為減函數(shù); 時,f (x)>0,f(x)為增函數(shù); 時,f (x)<0,f(x)為減函數(shù). 極小值極大值f(3m)=1. (2)m+2>3m,由圖

10、可得最大值在f(0)與f(3m)中產(chǎn)生. 又f(0)=f(3m)=1,所以最大值為1. 最小值在f(m)與f(m+2)中產(chǎn)生. . f(m)-f(m 當(dāng)時,最小值為f(m; 當(dāng)時,最小值為. 18.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)在(-1,1)上有意義,-1,且對任意的x、(-1,1)都有f(x)+f(y)=. (1)若數(shù)列滿足N求; (2)求的值. 【解】(1)|,|. 又. 而 . 是以-1為首項,以2為公比的等比數(shù)列, 故. (2)由題設(shè),有f(0)+ff(0),故f(0)=0. 又有f(x)+f(f(0)=0,得f(-x)=-f(x),故知f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù). 由 得

11、 . 于是 . 故=0. 19.(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)g(x)=其中實(shí)數(shù). (1)若a>0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)當(dāng)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象只有一個公共點(diǎn)且g(x)存在最小值時,記g(x)的最小值為h(a),求h(a)的值域; (3)若f(x)與g(x)在區(qū)間(a,a+2)內(nèi)均為增函數(shù),求a的取值范圍. 【解】(1)f 又a>0,當(dāng)x<-a或時,f (x)>0; 當(dāng)時,f (x)<0, f(x)在和內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù). (2)由題意知. 即恰有一根(含重根). 即. 又. 且a>0, h(a)的值域為. (3)當(dāng)a>0

12、時,f(x)在和內(nèi)是增函數(shù),g(x)在內(nèi)是增函數(shù). 由題意得 解得. 當(dāng)a<0時,f(x)在和內(nèi)是增函數(shù),g(x)在內(nèi)是增函數(shù). 由題意得 解得. 綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,). 20.(本小題滿分16分)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=2ax,g(x)=lnx+b,其中a>0.設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同. (1)用a表示b,并求b的最大值; (2)求證:. 【解】(1)設(shè)y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點(diǎn)處的切線相同. f (x)=x+2a,g 由題意. 即 由得:或舍去). 即有l(wèi)nlna. 令lnt(t>0), 則h(t)=2t(1-3lnt). 于是當(dāng)t(1-3lnt)>0,即0<t<e時,h(t)>0; 當(dāng)t(1-3