中考復(fù)習(xí)專題——解直角三角形.doc

1、本文格式為word版，下載可任意編輯中考復(fù)習(xí)專題解直角三角形.doc 1 中考復(fù)習(xí)之 解直角三角形 1.了解直角三角形的概念，探究并把握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。把握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角； 2.探究勾股定理及其逆定理，并把握運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問題； 3.利用相像的直角三角形，探究并熟悉銳角三角函數(shù)(sin a、cos a、tan a)；知道 30°、45°、60°角的三角函數(shù)值； 4會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角； 5.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形

2、，并用相關(guān)學(xué)問解決一些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問題 三 學(xué)問回顧 1學(xué)問脈絡(luò) 2基礎(chǔ)學(xué)問 (1)勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 即：假如直角三角形的兩條直角邊分別為 a、b，斜邊為 c，那么 a 2 +b 2 =c 2 勾股定理的逆定理：假如三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形 (2)銳角三角函數(shù) 銳角三角函數(shù)的定義 如圖 7-1，在 rtabc 中，c=90°，則 sin a=a Ð 的對(duì)邊斜邊=ac，cos a=a Ð 的鄰邊斜邊=bc， tan a=aaÐÐ的對(duì)邊的鄰邊=ab

3、 sin a、cos a、tan a 分別叫做銳角a 的正弦、余弦、正切，統(tǒng)稱為銳角a 的三角函數(shù) 銳角三角函數(shù)的取值范圍 0sin a1，0cos a1，tan a0 各銳角三角函數(shù)間的關(guān)系 a c b 斜邊 c a 的對(duì)邊 a a 的鄰邊 b 圖 7-1 直角三角形 邊的關(guān)系：勾股定理 邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù) 解直角三角形 角的關(guān)系：兩個(gè)銳角互余 銳角三角函數(shù)的應(yīng)用 中考. . 解直角三角形 2 sin a=cos (90°a)，cos a=sin (90°a) 特別角的三角函數(shù)值 a sin a cos a tan a 30° 12 32 33 45

4、6; 22 22 1 60° 32 12 3 使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角 (3)解直角三角形 解直角三角形的的定義：已知邊和角(其中必有一條邊)，求全部未知的邊和角. 解直角三角形的依據(jù) 角的關(guān)系：兩個(gè)銳角互余； 邊的關(guān)系：勾股定理； 邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)； 解直角三角形的常見類型及一般解法 rtabc 中的已知條件 一般解法 兩邊 兩直角邊 a，b (1)2 2c a b = + ； (2)由 tanaab= 求出a； (3)b=90°a. 始終角邊 a，斜邊 c (1)2 2b c a = - ； (2)由 sinaac= 求

5、出a； (3)b=90°a. 一邊一銳角 始終角邊 a，銳角 a (1)b=90°a； (2)tanaba= ； (3)sinaca= . 斜邊 c，銳角 a (1)b=90°a； (2)a=csin a； (3)b=ccos a. 實(shí)際問題中術(shù)語的含義 如圖 7-2，在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視中考. . 解直角三角形 3 線與水平線的夾角叫做俯角 如圖 7-3，坡面的鉛垂高度(h)和水平寬度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作 i，即hil= 坡度通常寫成 1m 的形式，如 i=16坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作

6、a ，有hil= =tan a 明顯，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡. 方位角：指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于 90角的為方位角 解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型，要擅長(zhǎng)把實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題在解直角三角形的過程中，常會(huì)遇到近似計(jì)算，應(yīng)依據(jù)題目要求的精確度確定答案 四例題分析： 1. 勾股定理與銳角三角函數(shù)學(xué)問的應(yīng)用 例 例 1 1 在 rt abc 中，c=90，若 sin a=513，則 cos a 的值為( ) a512 b813 c23 d1213 【分析】 先畫出圖形，由于 cos a=acab，故只需求得 ac，ab 的關(guān)系，可利用 sin a

7、=513先求得bc，ab 的關(guān)系，再利用勾股定理即可求得 【解】選 d 【說明】 本題主要是要同學(xué)了解三角函數(shù)的定義及勾股定理解決這一類問題，必需嫻熟把握三角函數(shù)的定義以及勾股定理的應(yīng)用，把它們有機(jī)地結(jié)合起來，因此在復(fù)習(xí)時(shí)要引導(dǎo)同學(xué)加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問的鞏固 變式： 變式： 如圖 7-4，在 rt abc 中，c=90，ab=10，sin a=25. 求 bc 的長(zhǎng)和 tan b 的值 鉛垂線 視線 視線 水平線 仰角 俯角 圖 7-2 a i=h:l h l 圖 7-3 中考. . 解直角三角形 4 【分析】用正弦的定義即可求得 bc，而要求 tan b 則先要用勾股定理求得 ac 【解】sin

8、a=bcab=25，ab=10，bc=4 ac=2 22 21 ab bc - = ， tan b=acbc=212 【說明】 本題是最基本的解直角三角形問題 2. 仰角、俯角、方位角、坡角和坡度( ( 或坡比) ) 的概念 例 例 1 1 如圖 7-6-1，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌 cd，小李在山坡的坡腳 a 處測(cè)得廣告牌底部 d 的仰角為 60沿坡面 ab 向上走到 b 處測(cè)得廣告牌頂部 c 的仰角為 45，已知山坡 ab 的坡度 i=1： 3 ，ab=10 米，ae=15 米(i=1： 3 是指坡面的鉛直高度bh 與水平寬度 ah 的比) (1)求點(diǎn) b 距水平面 ae 的高度 bh；

9、 (2)求廣告牌 cd 的高度 (測(cè)角器的高度忽視不計(jì)，結(jié)果精確到 0.1 米參考數(shù)據(jù)： 2 1.414， 3 1.732) 【分析】 (1)明顯在 rt abh 中，通過坡度的概念求出 bh、ah； (2)在 ade 解直角三角形求出 de 的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出 eh 即 bg 的長(zhǎng)，在 rt cbg 中，cbg=45°，則 cg=bg，由此可求出 cg 的長(zhǎng)然后依據(jù) cd=cg+ge-de 即可求出宣揚(yáng)牌的高度 【解】(1)如圖 7-6-2，過 b 作 bgde 于 g， 在 rt abf 中， i=tanbah=13=33， bah=30°. bh=12ab=5； (2)

10、由(1)得：bh=5，ah=5 3 ， bg=ah+ae=5 3 +15. 在 rt bgc 中， b a c 圖 7-4 圖 7-6-1 c d b h a e 45 60 c d b h a e 45 60 g 圖 7-6-2 中考. . 解直角三角形 5 cbg=45°， cg=bg=5 3 +15 在 rt ade 中， dae=60，ae=15，de= 3 ae=15 3 cd=cg+gede=5 3 +15+5-15 3 =20-10 3 2.7m 答：宣揚(yáng)牌 cd 高約 2.7 米 【說明】 此題綜合考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解

11、直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵 例 例 2 2 如圖 7-7-1，為了測(cè)量山頂鐵塔 ae 的高，小明在 27m 高的樓 cd 底部 d 測(cè)得塔頂a 的仰角為 45，在樓頂 c 測(cè)得塔頂 a 的仰角 3652已知山高 be 為 56m，樓的底部 d 與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高 ae(參考數(shù)據(jù)：sin36520.60，tan36520.75) 【分析】 依據(jù)樓高和山高可求出 ef，繼而得出 af，在 rt afc中表示出 cf，在 rt abd 中表示出 bd，依據(jù) cf=bd 可建立方程，解出即可 【解】 如圖 7-7-2，過點(diǎn) c 作 cfab 于點(diǎn) f 設(shè)塔高 ae=x，由題意得

12、： ef=be-cd=56-27=29，af=ae+ef=(x+29)， 在 rt afc 中， acf=3652，af=(x+29)， cf=tan36 52af¢ °=290.75x+=x+1163， 在 rt abd 中， adb=45，ab=x+56，bd=ab=x+56. cf=bd，x+56=x+1163. 解得：x=52. 答：該鐵塔的高 ae 為 52 米 【說明】 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，留意利用方程思圖 7-7-1 45 3652 a e b d c 45 3652 a e b d c f 圖 7-7-2 中考. .

13、 解直角三角形 6 想求解，難度一般 例 例 3 3 如圖 7-8，在一筆直的海岸線 l 上有 ab 兩個(gè)觀測(cè)站，a 在 b 的正東方向，ab=2(單位：km)有一艘小船在點(diǎn) p 處，從 a 測(cè)得小船在北偏西 60的方向，從 b 測(cè)得小船在北偏東 45的方向 (1)求點(diǎn) p 到海岸線 l 的距離； (2)小船從點(diǎn) p 處沿射線 ap 的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn) c 處，此時(shí)，從 b 測(cè)得小船在北偏西 15的方向求點(diǎn) c 與點(diǎn) b 之間的距離(上述兩小題的結(jié)果都保留根號(hào)) 【分析】 (1)過點(diǎn) p 作 pdab 于點(diǎn) d，設(shè) pd=x km，先解 rt pbd，用含 x 的代數(shù)式表示 bd，再解

14、 rt pad，用含 x 的代數(shù)式表示 ad，然后依據(jù) bd+ad=ab，列出關(guān)于 x 的方程，解方程即可； (2)過點(diǎn) b 作 bfac 于點(diǎn) f，先解 rt abf，得出 bf=12ab=1，再解 rt bcf，得出bc= 2 bf= 2 【說明】 本題中涉及到方位角的問題，引導(dǎo)同學(xué)分析三角形的外形后，通過作高構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵這一問題的解決，會(huì)讓同學(xué)進(jìn)一步感悟到數(shù)學(xué)學(xué)問在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用 變式：1如圖，天空中有一個(gè)靜止的廣告氣球 c，從地面點(diǎn) a 測(cè)得點(diǎn) c 的仰角為 45，從地面點(diǎn) b 測(cè)得點(diǎn) c 的仰角為 60已知 ab=20 m，點(diǎn) c 和直線ab 在同一鉛垂平面上，求

15、氣球離地面的高度(結(jié)果保留根號(hào)) 2如圖所示，海上有一燈塔 p，在它四周 3 海里處有暗礁，一艘客輪以 9 海里時(shí)的速度由西向東航行，行至 a 點(diǎn)處測(cè)得 p 在它的北偏東 60的方向，連續(xù)行駛 20 分鐘后，到達(dá) b 處又測(cè)得燈塔 p 在它的北偏東 45方向問客輪不轉(zhuǎn)變方向繼圖 7-8-1 45 60 b c p a 東 北 中考. . 解直角三角形 7 續(xù)前進(jìn)有無觸礁的危急? 3. 數(shù)形結(jié)合思想與 轉(zhuǎn)化思想的滲透 例 例3 3 如圖7-5-1是工人將貨物搬運(yùn)上貨車常用的方法,把一塊木板斜靠在貨車車廂的尾部,形成一個(gè)斜坡,貨物通過斜坡進(jìn)行搬運(yùn)依據(jù)閱歷,木板與地面的夾角為 20°(即圖

16、 10-5-2 中acb=20°)時(shí)最為合適,已知貨車車廂底部到地面的距離 ab=1.5m,木板超出車廂部分ad=0.5m,懇求出木板 cd 的長(zhǎng)度 (參考數(shù)據(jù)：sin 20°0.3420,cos 20°0.9397,精確到 0.1m) 【分析】在 rtabc 中,利用acb 的正弦即可求得 ac 的長(zhǎng),進(jìn)而可得 cd 【說明】 本題考查同學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問分析、解決簡(jiǎn)潔實(shí)際問題的力量本題取材于同學(xué)熟識(shí)的生活實(shí)際,解決這類題目的難度雖不大,但有利于引導(dǎo)同學(xué)關(guān)注生活中的數(shù)學(xué),關(guān)注身邊的數(shù)學(xué),培育他們從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的力量,促進(jìn)同學(xué)形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)的良

17、好意識(shí) 變式： 1.如圖所示，某風(fēng)景區(qū)內(nèi)有一古塔 ab，在塔的北面有一建筑物，冬至日的正午光線與水平面的夾角是 30，此時(shí)塔在建筑物的墻上留下了高 3米的影子 cd；而在春分日正午光線與地面的夾角是 45，此時(shí)塔尖 a 在地面上的影子 e與墻角 c 有 15 米的距離（b、e、c 在一條直線上），求塔 ab 的高度（結(jié)果保留根號(hào)） a b c d 圖 7-5-1 圖 7-5-2 中考. . 解直角三角形 8 2如圖，在觀測(cè)點(diǎn) e 測(cè)得小山上鐵塔頂 a 的仰角為 60，鐵塔底部 b 的仰角為 45已知塔高 ab=20m，觀看點(diǎn) e 到地面的距離 ef=35m，求小山 bd 的高（精確到 0.1m

18、， 31.732） 3如圖所示，小山的頂部是一塊平地，在這塊平地上有一高壓輸電的鐵架，小山的斜坡的坡度 i=1： 3 ，斜坡 bd 的長(zhǎng)是 50 米，在山坡的坡底處測(cè)得鐵架頂端 a 的仰角為 45，在山坡的坡項(xiàng) d 處測(cè)得鐵架頂端 a 的仰角為 60 （1）求小山的高度； （2）求鐵架的高度（ 3 1.73，精確到 0.1 米） 四綜合演練 填空題 1如圖 1，防洪大堤的橫斷面是梯形，壩高 ac 等于 6 米，背水坡 ab 的坡度 i=1：2，則斜坡 ab 的長(zhǎng)為_米 2如圖 2 所示，ab 是o 的直徑，弦 ac、bd 相交于 e，則cdab等于（ ） atanaed bcotaed csi

19、naed dcosaed 3如圖 3，在矩形 abcd 中 deac 于 e，設(shè)ade=a，且 cos=35，ab=4，則 ad 的中考. . 解直角三角形 9 長(zhǎng)為（ ） a3 b 1620 16. .3 3 5c d 4如圖兩條寬度為 l 的帶子以角交叉重疊，則重疊部分(陰影部分)的面積是 a、sin a b1sin a c11 cos a - d21sin a 5有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形，它的上底長(zhǎng)為 6 m，下底長(zhǎng)為 10 m，高為 2 3 m，那么此攔水壩斜坡的坡度和坡角分別是 ( ) a33，60 b 3 ，30 c 3 ，60 d33，30 解答題： 1某地某時(shí)刻太陽光與水平

20、線的夾角為 31，此時(shí)在該地測(cè)得一幢樓房在水平地面上的影長(zhǎng)為 30m，求這幢樓房的高 ab（結(jié)果精確到 1m）（參考數(shù)據(jù)：sin310.52，cos310.86，tan310.60） 2為測(cè)量某塔 ab 的高度，在離該塔底部 20m 處目測(cè)塔頂，仰角為 60，目高為 1.5m，試求該塔的高度（精確到 0.1m， 3 1.7） 3如圖，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行，請(qǐng)你依據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算回答：小敏身高 1.78 米，她乘電梯會(huì)有碰頭危急嗎？姚明身高 2.29 米，他乘電梯會(huì)有碰頭危急嗎？（可能用到的參考數(shù)值：sin27=0.45，cos27=0.89，tan27=0.51）

21、中考. . 解直角三角形 10 （圖 6） 4 4 某商場(chǎng)為緩解我市"停車難'問題，擬建筑地下停車庫，圖 6 是該地下停車庫坡道入口的設(shè)計(jì)示意圖，其中， abbd，bad18 o ，c 在 bd 上，bc0.5m依據(jù)規(guī)定，地下停車庫坡道入口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知駕駛員所駕車輛能否平安駛?cè)胄∶髡J(rèn)為 cd 的長(zhǎng)就是所限制的高度，而小亮認(rèn)為應(yīng)當(dāng)以 ce 的長(zhǎng)作為限制的高度小明和小亮誰說的對(duì)？請(qǐng)你推斷并計(jì)算出正確的結(jié)果（結(jié)果精確到 0.1m） 參考數(shù)據(jù)：sin18 0 =0.31,cos18 0 =0.95,tan18 0 =0.325 新 5rtabc 中，c=90，ac=12，a 的平分線 ad=8 3 ，求 bc，ab 6兩建筑物 ab 和 cd 的水平距離為 45m，