2018版高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1.1正弦定理(二)學(xué)案新人教B版必修5

1、1.1.1正弦定理（二）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.熟記并能應(yīng)用正弦定理的有關(guān)變形公式解決三角形中的問題判斷三角形解的個(gè)數(shù) 3 能利用正弦定理、三角變換解決較為復(fù)雜的三角形問題.If問題導(dǎo)學(xué)-知識(shí)點(diǎn)一正弦定理的常見變形1. sinA： sin B : sinC=_;a b ca+b+c2 - -；sinAsinBsinCsinA+ sinB+ sinC - 3.a=_,b=_ ,c=_ ;4._sinA=_, sinB=_ , sinC=_.知識(shí)點(diǎn)二判斷三角形解的個(gè)數(shù)思考 1 在厶ABC中,a= 9,b= 10,A= 60,判斷三角形解的個(gè)數(shù).梳理已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，三角形解的個(gè)數(shù)并不一定唯

2、一.a b例如在ABC中，已知a,b及A的值由正弦定理=，可求得si nAsinB在由 sinB求B時(shí)，如果ab，則有AB,所以B為銳角，此時(shí)B的值唯一;AB,所以B為銳角或鈍角，此時(shí)B的值有兩個(gè).思考 2 已知三角形的兩邊及其夾角，為什么不必考慮解的個(gè)數(shù)？.2.能根據(jù)條bsinAsin B=.a如果ab，則有2梳理解三角形 4 個(gè)基本類型:（1）已知三邊；（2）已知兩邊及其夾角；（3）已知兩邊及其一邊對(duì)角；（4）已知一邊兩角.3其中只有類型（3）解的個(gè)數(shù)不確定.知識(shí)點(diǎn)三正弦定理在解決較為復(fù)雜的三角形問題中的作用思考 1 在厶ABC中，已知acosB= bcosA.你能把其中的邊a，b化為用角

3、表示嗎（打算怎 么用上述條件）?梳理 一個(gè)公式就是一座橋梁，可以連接等號(hào)兩端正弦定理的本質(zhì)就是給出了三角形的邊與對(duì)角的正弦之間的聯(lián)系. 所以正弦定理的主要功能就是把邊化為對(duì)角的正弦或者反過來.簡稱邊角互化.思考 2 什么時(shí)候適合用正弦定理進(jìn)行邊角互化?類型一 判斷三角形解的個(gè)數(shù)例 1 在厶ABC中，已知a= 1,b= ,3,A= 30,解三角形.引申探究若a= 3,b= 1,B= 120,解三角形.尖子主走問成功的赭品riwww.91 ）利用正弦定理探究三諱形解的牛數(shù)反思與感悟已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，首先求出另一邊的對(duì)角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時(shí)， 要根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定

4、該角有一個(gè)值還是兩個(gè)值.或者根據(jù) 該正弦值（不題型探究4等于 1 時(shí)）在 0180范圍內(nèi)求角，一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角，只要不與三角形內(nèi) 角和定理矛盾，就是所求.跟蹤訓(xùn)練 1 已知一三角形中a= 2 3,b= 6,A= 30,判斷三角形是否有解，若有解，解 該三角形.類型二利用正弦定理求最值或取值范圍例 2 在銳角ABC中，角A B, C分別對(duì)應(yīng)邊a,b,c,a= 2bsinA,求 cosA+ sinC的 取值范圍.反思與感悟解決三角形中的取值范圍或最值問題：（1）先利用正弦定理理清三角形中元素間的關(guān)系或求出某些元素.（2）將所求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)（三角函數(shù)），從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值

5、域或最值問題.跟蹤訓(xùn)練 2 在厶ABC中，若C= 2B,求C的取值范圍.類型三正弦定理與三角變換的綜合例 3已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若a+c= 2b,2cos 2B- 8cosB+ 5 = 0,求角B的大小并判斷ABC的形狀.5反思與感悟 借助正弦定理可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系后，常利用三角變換公式進(jìn)行變形、化簡，確定角的大小或關(guān)系，繼而判斷三角形的形狀、證明三角恒等式.跟蹤訓(xùn)練 3 已知方程x2(bcosA)x+acosB= 0 的兩根之積等于兩根之和，其中a、b為ABC勺兩邊，A B為兩內(nèi)角，試判斷這個(gè)三角形的形狀.當(dāng)堂訓(xùn)練1.在ABC中,

6、AC=6,BC=2,B= 60，則角C的值為()A. 45 B . 30 C . 75 D . 90a b c2 .在ABC中,若 cok coriT冊(cè) 貝仏ABC是()A.直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形2sinA sin B“,+63 在ABC中，若a:b：c= 1 : 3 : 5, 求的值.sinC廠規(guī)律與右法 - ,1.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其他兩個(gè)角， 這時(shí)三角形解的情況可能無解，也可能一解或兩解首先求出另一邊的對(duì)角的正弦值，當(dāng)正弦值大于1 或小于 0 時(shí)，這時(shí)三角形解的情況為無解；當(dāng)正弦值大于0 小于 1 時(shí)，再根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定該角

7、有一個(gè)值還是兩個(gè)值.2 判斷三角形的形狀，最終目的是判斷三角形是不是特殊三角形，當(dāng)所給條件含有邊和角時(shí)，應(yīng)利用正弦定理將條件統(tǒng)一為“邊”之間的關(guān)系式或“角”之間的關(guān)系式.7合案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一1.a:b:c2.2R3. 2RsinA2FSinB2RsinCa b c4_ _2R2R2R知識(shí)點(diǎn)二b A103 3思考 1 sinB=-sinA=x=,a929而_235$1，所以當(dāng)B為銳角時(shí)，滿足 sinB=晉的角有 60B90o，故對(duì)應(yīng)的鈍角B有 90B120,也滿足A+Ba,.B A= 30,.B= 60 或 120當(dāng)B= 60時(shí)，C= 180 (A+B)8=180 (30 + 60 ) =

8、 90,bsinC3sinBsin 60當(dāng)B= 120 時(shí)，C= 180 (A+B) = 180 (30 + 120 ) = 30=A, c = a= 1.引申探究asinB解根據(jù)正弦定理，sinA=3sin 120 3= 1 = 2 1.因?yàn)?sinAW1.所以A不存在，即無解.反思與感悟已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，首先求出另一邊的對(duì)角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時(shí)， 要根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定該角有一個(gè)值還是兩個(gè)值或者根據(jù) 該正弦值（不等于 1 時(shí)）在 0180范圍內(nèi)求角，一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角，只要不與三角形內(nèi) 角和定理矛盾，就是所求.跟蹤訓(xùn)練 1 解a= 2 3,b= 6,ab,

9、A= 30 90.又因?yàn)閎sin A= 6sin 30 = 3,bsinAaa,BA B (0 , 180 ), 所以 B= 60 或 120.當(dāng)B= 60 時(shí)，C= 90,c= Va2+b2= 4 3;當(dāng)B= 120 時(shí)，C= 30,c=a= 2 3. 所以 B= 60,C= 90,c= 4 3 或B= 120,C= 30,c= 2 3.類型二例 2 解/a= 2bsinA由正弦定理，得 sinA=2sinBsinA,又A (0 ,n, sinAM0,sinB= bsinA6sin 30a2 391n sinB= 2.TB為銳角B=g.令y= cosA+ sinC=cosA+sinn B+A

10、=cosnn=cosA+sincosA+cos sinA66由銳角ABC知, cosA+ sinC的取值范圍是孑，2-跟蹤訓(xùn)練 2 解因?yàn)锳+B+C=n,C= 2B,n所以A=n 3B0,所以 0玄牙,3所以 12cos B2,所以 1-2.b3=qcos又b=sinCsinBsin 2BsinB2cosBnn2 BA2,323y2所以 2cosB1,A+ sin10類型三例 3 解 /2cos 2B 8cosB+ 5 = 0,112 2(2cos B 1) 8cosB+ 5= 0.2 4cosB8cosB+ 3 = 0, 即(2cosB-1)(2cosB3) = 0.13解得 cosB= 2 或 cosB= 2(舍去).nT0Bn , B=石3/a+c= 2b.由正弦定理，得 sinA+ sinC= 2sinB=2sin才=.3. sin跟蹤訓(xùn)練 3 解 設(shè)方程的兩根為xi、X2,i+X2=bcos A, 由根與系數(shù)的關(guān)系，得乜bcosA=acosB由正弦定理，得 sinBcosA= sinAcosB, sinAcosBcosAsinB=0,sin(AB=0. A、BABC的內(nèi)角， 0An ,0Bn , nABn ,A B= 0，即 卩A=B.2n sinA+ si