相似原理與量綱分析

1、第五章相似理論與量綱分析5. 1基本要求本章簡單闡述和實驗有關(guān)的一些理論性的基本知識。其中，包括作為模型實驗理論根據(jù)的相似性原理，闡述原型和模型相互關(guān)系的模型律，以及有助于選擇實驗參數(shù)的量綱分析法。5.1.1 識記幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似的定義，Re、Fr、Eu等相似準(zhǔn)則數(shù)的含義,量綱的定義。5.1.2 領(lǐng)會流動的力學(xué)相似概念，各個相似準(zhǔn)數(shù)的物理意義，量綱分析法的應(yīng)用。5.1.3 應(yīng)用量綱分析法推導(dǎo)物理公式，利用模型律安排模型實驗。重點：相似原理，相似準(zhǔn)則，量綱分析法。難點：量綱分析法，模型律。5. 2基本知識點5. 2. 1相似的基本概念為使模型流動能表現(xiàn)出原型流動的主要現(xiàn)象和特性，并從

2、模型流動上預(yù)測出原型流動的結(jié)果，就必須使兩者在流動上相似，即兩個互為相似流動的對應(yīng)部位上對應(yīng)物理量都有一定的比例關(guān)系。具體來說， 兩相似流動應(yīng)滿足幾何相似、運(yùn)動相似和動力相似。原型流動用下 標(biāo)n表示，模型流動用下標(biāo) m表示。1.幾何相似兩流動的對應(yīng)邊長成同一比例，對應(yīng)角相等。即Ln Lm n 相應(yīng)有 A Am 2. 運(yùn)動相似兩流動的對應(yīng)點上流體速度矢量成同一比例，dndmClLnLmCaC2Vm同。CvCl3即對應(yīng)點上速度大小成同一比例，方向相unumn_cCum相應(yīng)有 CuC.乜或者CtCtClCuCaCuCu2Ct3 .動力相似兩流動的對應(yīng)部位上同名力矢成同一比例,即對應(yīng)的受同名力同時作用

3、在兩流動上，且-FEnCfFEm各同名力方向一致，大小成比例。Fn反A國巨FmFimF mFemFpm4 .流動相似的含義幾何相似是運(yùn)動相似和動力相似的前提與依據(jù)；動力相似是決定二個流動相似的主導(dǎo) 因素；運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)；凡相似的流動，必是幾何相似、運(yùn)動相似和 動力相似的流動。5 . 2. 2相似準(zhǔn)則描述流體運(yùn)動和受力關(guān)系的是流體運(yùn)動微分方程，兩流動要滿足相似條件就必須同時 滿足該方程，利用該方程可得到模型流動和原型流動在滿足動力相似時各比例系數(shù)之間的約 束關(guān)系即相似準(zhǔn)則。常用的相似準(zhǔn)數(shù)為：1 .雷諾數(shù)ReRe -uL uL, Re數(shù)表征了慣性力與粘滯力作用的對比關(guān)系。2 .

4、弗汝德數(shù)Fr2Fr , Fr數(shù)表征慣性力與重力作用的對比關(guān)系。gL3 . 歐拉數(shù)EuEu -pr, Eu數(shù)表征壓力與慣性力作用的對比關(guān)系。u4 .斯特勞哈勒數(shù)StSt 'St數(shù)是時變加速度與位變加速度的比值，標(biāo)志流動的非定常性。tu u L5 . 2. 3模型律1 .模型律的選擇動力相似可以用相似準(zhǔn)數(shù)表示，若原型和模型流動動力相似，各同名相似準(zhǔn)數(shù)均相等，如果滿足則稱為完全相似。但同時滿足所有相似準(zhǔn)數(shù)都相等，在實際上是很困難的，有時也是不必要的。實際上我們往往只需要考慮主要動力相似，即只要起主導(dǎo)作用的相似準(zhǔn)數(shù)相等即可。要達(dá)到主要動力相似就應(yīng)該根據(jù)所研究或所需解決的原型流動的性質(zhì)來選擇恰當(dāng)

5、的相 似準(zhǔn)數(shù)。2 .模型試驗?zāi)Ｐ驮囼灢襟E：選定 Ci ；求模型的幾何邊界；選模型律；實現(xiàn)相似，計算相 應(yīng)物理量。5. 2. 4量綱分析法1 .量綱分析1)量綱量綱是物理量的單位種類。注意量綱與單位的區(qū)別！基本量綱是具有獨(dú)立性的量綱，在流體力學(xué)領(lǐng)域中有三個基本量綱：長度量綱L、時間量綱T和質(zhì)量量綱 M。導(dǎo)出量綱由基本量綱組合表示。任一物理量均可由基本量綱的指數(shù)乘積的形式來描述：q M L T2 ) 無量綱量無量綱量指物理量的量綱為 1,用M0L0T0表示，實際是一個數(shù)，但與單純的數(shù)不一樣， 它是幾個物理量組合而成的綜合物理量。無量綱量可由幾個有量綱量通過乘除組合而成或由同類量的比值組成。無量綱量

6、的優(yōu)點：客觀；不受運(yùn)動規(guī)模的影響；可進(jìn)行超越函數(shù)的運(yùn)算。3)量綱和諧原理量綱和諧性原理又被稱為量綱一致性原理，也叫量綱齊次性原理，指一個物理現(xiàn)象或一個物理過程用一個物理方程表示時，方程中各項的量綱應(yīng)該是一致的。推論：(1)凡正確反映客觀規(guī)律的物理方程，都可表示成由無量綱項組成的無量綱方程。(2)量綱和諧原理規(guī)定了一個物理過程與有關(guān)物理量之間的關(guān)系。2. 定理：對于某個物理現(xiàn)象，如果存在n個變量互為函數(shù)，即 F(A, A2,L ,An) 0。而這些變量中含有m個基本量，則可把這n個變量成(n-m)個無量綱數(shù)的函數(shù)關(guān)系 f( 1, 2,L , n) 0 , 即可合并n個物理量為(n-m)個無量綱兀

7、數(shù)。定理解題步驟如下：1) 確定關(guān)系式：確定所研究流動問題所包含的各個物理量及其關(guān)系式:F(A,A2,L A) 0,或 A F(A1,4,L ,A 1, A i,L , An)2) 確定基本量：從n個物理量中選取 m個基本物理量作為基本量綱，一般 m 3, 如 Ai, A2, A3;3) 確定無量綱變量 兀數(shù)的數(shù)目(n-m),并寫出其余物理量與基本物理量組成的兀表達(dá)式：1 AAAAi i 1,2,n m； i, i, i為待定指數(shù)4) 確定無量綱兀數(shù)：由量綱和諧原理解聯(lián)立指數(shù)方程，求出各兀項的指數(shù)，從而定出各無量綱兀參數(shù)。5) 寫出描述物理現(xiàn)象的關(guān)系式：f ( 1, 2 ,L , n )0 或

8、者 i f( 1, 2,L , ii, ii,L , nm)5. 3典型例題例5-1某水庫以長度比尺 Cl 100做底孔放空模型實驗，今在模型上測得放空時間為12小時，求原型上放空水庫所需的時間。2gl【解】取 Frn Frm,即 一 glc .C .100 10又CtClC1001010所以tnCttm10 12 120h(重討論：弗汝德數(shù)的適用范圍： 凡有自由水面并且允許水面上下自由變動的各種流動力起主要作用的流動)，如堰壩溢流、孔口出流、明渠流動與隧洞流動等。本題中水庫內(nèi)水的出流是重力出流，因此選擇重力相似準(zhǔn)則，即弗汝德數(shù)相等。20 N,實物船所受例5-2 已知某船體長122 m ,航行

9、速度15 m/s ,現(xiàn)用船模在水池中實驗船模長3.05 m。求船模應(yīng)以多大速度運(yùn)動才能保證與原型相似。若測得船模運(yùn)動阻力為 阻力等于多少?！窘狻咳rnglgl m所以lm ny ln153.05122n2.37m/s所以Fn例53有一直徑)n (2,)m2F ( l)nF (In-)3.Fm2 Fm()1(l )m l m122 a20 (f)3 1.28 106 N3.0520cm的輸油管道，輸送運(yùn)動粘滯系數(shù)為油40 10 6 m2/s的油,其流量Q 10 l/s。若在模型中采用直徑為5cm的圓管，求模型中用運(yùn)動粘滯系數(shù)為水17 10 6 m2/s的水做試驗時的流量?！窘狻窟x用雷諾數(shù)相似準(zhǔn)

10、則，即ndm dmQm4QdmQn dn nn4Qndn 4Qmdmd n n d m m17 10-6TT 10 1.06 l/s20 40 10討論：雷諾數(shù)的適用范圍：主要是受水流阻力即粘滯力作用的流體流動，凡是有壓流動,重力不影響流速分布，主要受粘滯力的作用，這類流動相似要求雷諾數(shù)相等。另外，處于水下較深的運(yùn)動潛體，在不至于使水面產(chǎn)生波浪的情況下，也是以雷諾數(shù)相等保證動力相似的。如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動和潛體繞流問題等。例54 建筑物模型在風(fēng)速為5 m/s時，迎風(fēng)面壓強(qiáng)為 50 N/m 2,背風(fēng)面壓強(qiáng)為一30 N/m 2,若氣溫不變，風(fēng)速增至15 m/s時，建筑物迎風(fēng)面和背風(fēng)

11、面的壓強(qiáng)各為多少【解】采用Eu相似準(zhǔn)則,pm因為 n m n m所以，迎風(fēng)面壓強(qiáng)背風(fēng)面壓強(qiáng)2mn2 m2 nPnPn1525215252一 一 -250 450 N/m 2(30)270 N/m討論：一般，兩流動的雷諾數(shù)相等,歐拉數(shù)也相等；兩液流的弗勞德數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等。只有出現(xiàn)負(fù)壓或存在氣蝕情況的液體，才需考慮歐拉數(shù)相等來保證流動相似。例5-5假設(shè)流量Q與管徑D、喉管直徑d、流體密度、壓強(qiáng)差P及流體的動力粘滯系數(shù) 有關(guān)，試用 兀定理分析文丘里管的流量表達(dá)式?！窘狻?據(jù)題意擬定函數(shù)關(guān)系式：F Q,D,d,P,為獨(dú)立變量，則可建立3個無量綱兀1 1d將各兀數(shù)代入3 f ( 1, 2)2D 2

12、22 p3D 33 3Q對1:1= 1L 13 1ML1_ 1ML TL :13 111M:110T :10求解上述方程組可得：11,10, 1所以1d同理可得DP22D2i1LDQ3DQ上)22)Q而吟辭）討論：從本例題可以看出，利用兀定理，可以在僅知與物理過程有關(guān)物理量的情況下,求出表達(dá)該物理過程關(guān)系式的基本結(jié)構(gòu)形式。但是用量綱分析法所確定的物理方程中包含待定系數(shù)，這個系數(shù)要通過實驗來確定。而量綱分析法求解中已指定如何用實驗來確定這個系數(shù)。因此，量綱分析法也是流體力學(xué)實驗的理論基礎(chǔ)。例56試用量綱分析法證明風(fēng)洞運(yùn)行時所需功率為nL2 3f l / ,式中N為功率，p 為流體密度，科為動力粘

13、性系數(shù)，L為風(fēng)洞的特征長度?！窘狻?本題共5個變量，選3個基本量綱，則無量綱 兀數(shù)為2。選定p、L、為基本量，則1L 1 1 ,顯見2 N 2L2 23ML22LT0 0T02T 3M LT ML TN口 n N , L所以 2 T-, 即f( )NL2 3f (L)5. 4習(xí)題1 . 當(dāng)水溫為20 C,平均速度為 4.5 m/s ,直徑為0.3 m水平管線某段的壓降為kN/m 2。如果用比例為6的模型管線，以空氣為工作流體，當(dāng)平均流速為 30 m/s時，要求在相應(yīng) 段產(chǎn)生kN/m2的壓強(qiáng)降。計算力學(xué)相似所要求的空氣壓強(qiáng)，設(shè)空氣溫度為20C。（答案：15at）2 .為了確定吸風(fēng)口附近的速度分布

14、，取比例為10作為模型設(shè)計。模型吸風(fēng)口的流速為13m/s ,距風(fēng)口軸線0.2 m處測得流速為0.5m/s。若實際風(fēng)速為18 m/s ,怎樣換算成原型 流動的速度（答案：0.69 m/s ）3 .為研究輸水管道上直徑 600 mm閥門的阻力特性， 采用直徑300 mm的閥門用氣流做模 型實驗。已知輸水管道的流量為0.283 m3/s,水的運(yùn)動粘度 水=1 10-6m2/s,空氣的運(yùn)動粘度 空氣=1.6 10-6 m2/s，試求模型的氣流量。（答案：2.26m3/s）4 .潛艇長50 m,水面航速6 m/s.在水池中作模型試驗，以確定該潛艇在水面航行時的阻力。若船模的幾何尺度是實船的l/50,求船

15、模在水池中的拖曳速度。（答案：0.85m/s）5 .溢水堰模型設(shè)計比例為20,當(dāng)在模型上測得模型流量為Qm 3001/S時，水流推力Pm 300 N ,求實際流量Qn和推力Pn。(答案：537 m3/s； 2400 kN)6 .為了研究汽車的性能，在風(fēng)洞中進(jìn)行汽車的模型試驗。已知風(fēng)洞風(fēng)速m 45m/s ,測得模型上的阻力Fm 1.5 kN 。若汽車高h(yuǎn)n 1.5 m ,行車速度n 108 km/h。試求 模型的高度hm及汽車所受到的阻力 Fn。(答案：1m; kN)7 .溢流壩泄流模型實驗，模型長度比尺為60,溢流壩的泄流量為 500m3/So試求：(1)模型的泄流量；(2)模型的堰上水頭hm

16、 6m,原型對應(yīng)的堰上水頭是多少題57圖（答案：Qm 0.0179m 3/s； h 3.6 m）8 .用油泵抽貯油池中的石油，現(xiàn)需用實驗方法確定最小油位ho已知原型設(shè)備中吸入管直徑dn 250 mm ,運(yùn)動粘度n 0.75 10 4 m2/s ,流量Q0 140 L/s ,長度比尺Cl 5,試確定：(1)模型中運(yùn)動粘度m ?，流量Qm ?，流速m ?(2)若模型中出現(xiàn)漩渦的最小液柱高度hm 60 mm ,求hn?(答案：m 0.068 10 4 m2/s, Qm 2.5 L/s , m 1.27 m/s , hn 300 mm)9 .假設(shè)自由落體白下落距離 s與落體的質(zhì)量 m、重力加速度g及下落時間t有關(guān)，試用量綱分析法導(dǎo)出自由落體下落距離的關(guān)系式。（答案：s kgt2）10 . 一長度為1的物體以速度U在密度為p,粘性系數(shù)為 科的流體中運(yùn)動，試以量綱分析的 方法導(dǎo)出物體所受到的阻力D的無量綱數(shù)的表示式。（答案：D f Re U2）11 .球形固