2019高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破——圓錐曲線(xiàn)：圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題學(xué)案

1、 圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題 【知識(shí)梳理】 1 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 判斷直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn) C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線(xiàn)I的方程Ax+ By+ C= 0(A, B不同 時(shí)為 0)代入圓錐曲線(xiàn) C的方程F(x，y) = 0，消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量 x(或 Ax+ By+ C= 0,消去 y，得 ax2 + 匕%+ c = 0. F (x, y) = 0 (1) 當(dāng)a0時(shí)，設(shè)一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0的判別式為 ，則: 0?直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相交; = 0?直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相切; v 0?直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)C相離 (2) 當(dāng)a= 0, 0 時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，貝 U 直線(xiàn)I

2、與圓錐曲線(xiàn)C相交，且只有一個(gè) 交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線(xiàn)，則直線(xiàn)I與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的位置關(guān)系是平行； 若C為拋物線(xiàn)， 則直線(xiàn)I與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系是平行或重合 2.圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng) 1 P 設(shè)斜率為k(kz0)的直線(xiàn)I與圓錐曲線(xiàn) C相交于A B兩點(diǎn)，A(xi, yi) , B(X2, y2)，則 | AB = ； 1 + k X1 X2I =yi+kj( (X1 + X2) 2 4X1X2 考點(diǎn)一、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 2 2 x y 亠 2+【2= 1( ab0)的左焦點(diǎn)為 F( - 1, a b (1) 求橢圓C的方程； 2 設(shè)直線(xiàn)I同時(shí)與橢圓C和拋物線(xiàn)C2: y = 4X相切，求直

3、線(xiàn)I的方程 解析(1)橢圓C的左焦點(diǎn)為F( 1, 0) , c= 1, 又點(diǎn) R0 , 1)在曲線(xiàn) C 上， 0 1 - + 2 = 1,得 b= 1,貝U a = b + c = 2, a b 2 變量y)的一元方程，即 1+k2 1 y1y21 = 【考點(diǎn)突破】 (y1+ y2)2- 4y1y2. 【例 1】在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓C： 0)，且點(diǎn) F(0 , 1)在C上. 2 x 2 所以橢圓C的方程為-+ y2= 1.3 (2) 由題意可知，直線(xiàn)l的斜率顯然存在且不等于 0,設(shè)直線(xiàn)I的方程為y= kx + m X 2 廳+ y =1, 22 2 由丫 2 消去 y,得(1

4、+ 2k )x + 4km灶 2m 2 = 0. y = kx+ m 因?yàn)橹本€(xiàn)I與橢圓C相切， 2 2 2 2 所以 i = 16km 4(1 + 2k )(2 m 2) = 0. 整理得 2k2m+1=0. y =4x, 22 2 消去 y，得 kx + (2 km-4)x + m= 0. y= kx + m 因?yàn)橹本€(xiàn)I與拋物線(xiàn)C2相切， 所以 2 = (2 km- 4)2 4k2m= 0，整理得 km= 1. k=，、 綜合，解得$ 2 或 ,m= 2 所以直線(xiàn)I的方程為y =乂 + 2 或y = fx 2. 【類(lèi)題通法】 研究直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)

5、方程組成的 方程組解的個(gè)數(shù)，消元后，應(yīng)注意討論含 x2項(xiàng)的系數(shù)是否為零的情況，以及判別式的應(yīng)用 但對(duì)于選擇題、填空題要充分利用幾何條件，用數(shù)形結(jié)合的方法求解 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 X2 y2 已知直線(xiàn)I : y= 2x + m橢圓 C： ,+= 1.試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線(xiàn)I與橢圓 C： 4 2 (1) 有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)； (2) 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； (3) 沒(méi)有公共點(diǎn). 解析將直線(xiàn)I的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組 將代入，整理得 9x2 + 8mx+ 2mi 4 = 0. 方程根的判別式 =(8m24x9x (2 m4)=8m+144. 4 (1)當(dāng) 0,即一 3 2n3 2 時(shí)，方程有兩個(gè)

6、不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不 同的實(shí)數(shù)解.5 這時(shí)直線(xiàn)l與橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn). (2)當(dāng)= 0，即mt=3 2 時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同 的實(shí)數(shù)解. 這時(shí)直線(xiàn)I與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)， 即直線(xiàn)I與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn). (3) 當(dāng) 3 2 時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解. 這 時(shí)直線(xiàn)I與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn). 考點(diǎn)二、弦長(zhǎng)問(wèn)題 圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦 AB與CD當(dāng)直線(xiàn)AB斜率為 0 時(shí)，AB= 4. (1)求橢圓的方程； 若|AB + ICD = -7，求直線(xiàn)AB的方程. c 1 解析 由題意知e= = -, 2a= 4. a

7、2 又 a2= b2 + c2,解得 a= 2, b= 3, 2 2 所以橢圓方程為X + y = 1. 4 3 (2)當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線(xiàn)的斜率為 0 時(shí)，另一條弦所在直線(xiàn)的斜率不存在，由 題意知| AB + | CD = 7 不滿(mǎn)足條件. 當(dāng)兩弦所在直線(xiàn)的斜率均存在且不為 0 時(shí)，設(shè)直線(xiàn) AB的方程為y= k(x 1) , A(X1, yj , B(X2, y2), 1 則直線(xiàn)CD的方程為y= r(x 1). k 將直線(xiàn) AB方程代入橢圓方程中并整理得 (3 + 4k2)X2 8k2x + 4k2 12= 0,貝U x1 + % = .2 . 2 8k 4k 12 3+ 4k 3 +

8、4k 所以 |AB = . k2+ 1|X1 X2| 【例 2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓 =1(ab0)的離心率為 過(guò)橢 6 4X1X2= 3斥27 12 k2+ 2 3k + 4 k2+ 1 所以 |AB + |CD = 3 + 4k2 丄 k2+l + 3k2+ 4 所以直線(xiàn) AB的方程為xy 1 = 0 或x + y 1 = 0. 【類(lèi)題通法】 求解弦長(zhǎng)的四種方法 當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解. (2) 聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程，解方程組求出兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間的距離公式求 解. (3) 聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程，消元得到關(guān)于 x或y的一元二次方程

9、，利用根與系數(shù)的 關(guān)系得到(xi X2)2或(yi y2)2，代入兩點(diǎn)間的距離公式. (4) 當(dāng)弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng). 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 2 2 設(shè)Fi, F2分別是橢圓D：篤+右=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò) F2作傾斜角為 號(hào)的直線(xiàn)交 a b 3 橢圓D于A B兩點(diǎn)，F(xiàn)i到直線(xiàn)AB的距離為 2,3,連接橢圓D的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積 為 2 5. (1) 求橢圓D的方程； (2) 設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線(xiàn)l被橢圓D和圓C(x 2)2+ (y 2)2 = 4 所截得的弦長(zhǎng)分別為 mn, 當(dāng)n最大時(shí)，求直線(xiàn)I的方程. 解析 設(shè)F1的坐標(biāo)為(一c, 0) , F2的坐標(biāo)為(c, 0)( c

10、0), / -Jr 則直線(xiàn)AB的方程為y= , 3(x c)，即 3x y 3c = 0, -| 2= 2.3,解得 c= 2. .(,3) +( 1) 1 2 2a 2b= 2 寸 5, ab=寸 5, 2.2 2 2_.2丄 又 a = b + c , a = 5, b = 1, 2 x 2 橢圓D的方程為匚+ y = 1. 5 (2)由題意知，可設(shè)直線(xiàn) l的萬(wàn)程為x=ty + 2則圓心C到直線(xiàn)l的距離d = , k2+ 2 =3+4k2 E 48 ，解得 k= 1, 同理，| CD = 8 由 x2 2 得(t2 + 5)y2+ 4ty 1 = 0, 5+ y= 1 設(shè)直線(xiàn)I與橢圓D的交

11、點(diǎn)坐標(biāo)為(xi, yi) , (X2, y2), 4t 1 y1 + y2 =齊，y1y2 =予， m= 1 +12| y1 y2| = 2 少,；1), .卄 J5”1 =乙w 25 此弦所在的直線(xiàn)方程為 _ . 答案 D (2) x+ 2y 3= 0 解析 因?yàn)橹本€(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)F(3 , 0)和點(diǎn)(1 , 1), 9 2 2 2 + 4a ab =0， 又 a = b + c，所以 b= c = 3, a= 3 2, 2 2 故E的方程為 18+y = 1. (2)法一易知此弦所在直線(xiàn)的斜率存在，所以設(shè)其方程為 y 1 = k(x 1)，此弦的兩端當(dāng)且僅當(dāng)，t 直線(xiàn)I的方程為 【例 3】已知橢

12、圓E： a 2 ，即t = 3 時(shí)，等號(hào)成立 t + 1 ， x 3y 2 = 0 或 x + 3y 2 = 0. 考點(diǎn)三、中點(diǎn)弦問(wèn)題 2 2 x y 2+ 2= 1( a b 0)的右焦點(diǎn)為F(3 , 0)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交E于A, a b B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1 2 x .36+ 27 2 2 x y D .也+ 9 = 1 2 2 1)為橢圓x4+2 = 1 內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過(guò) P引一條弦，使此弦被 P點(diǎn)平分，則 A. C. 2 2 x y 45+ 36=1 2 2 x y + = 1 27+ 18 已知P(1 , ,1) ， 貝U E 的 方 程 為( ) 所以直線(xiàn)y= *x 3)，

13、代入橢圓方程 2 2 x y_ 尹=1消去y，得7+b x孰 x = ty + 2, 所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 即 a2 = 2b2, 9 點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(xi, yi), B(x2, y2). y i = k (x-1), 由 x2 y2 消去 y 整理得，(2 k2+ 1)x2- 4k(k 1)x + 2(k2-2k-1) = 0, 4+ 三=1， 4k (k - 1) 二 x1 + x2 = 2k2+ 1 ， 4k (k - 1) 1 又T X1 + X2= 2 , 一 2k2 + 1 = 2,解得 k =-. 1 故此弦所在的直線(xiàn)方程為 y 1 = -2（x- 1），即x+ 2y-

14、3= 0. 法二易知此弦所在直線(xiàn)的斜率存在，所以設(shè)斜率為 k, 此弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（X1, yj , B（X2, y2）, 2 2 2 2 則+等=1，彳+善=1， -得(x1+x2)( x1-x2) 4 T X1 + X2 = 2, y1 + y2= 2, X1 X2 2 + y1 - y2 = 0, k=y： =-1 .傀 - - c. X1 X2 2 1 此弦所在的直線(xiàn)方程為 y 1 = 2（x 1），即x+ 2y 3 0. 【類(lèi)題通法】 處理有關(guān)中點(diǎn)弦及對(duì)應(yīng)直線(xiàn)斜率關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常用“點(diǎn)差法”，步驟如下: W 融敢石i 點(diǎn)i# . : I . 作差一滿(mǎn)第扁駭;溝甬事芳篷瓜死扭衛(wèi)

15、喩慮務(wù) 整理一遞北臾社卷曳比雖生賽曲走殺交上艷眞逑一解 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1 若橢圓的中心在原點(diǎn)， 一個(gè)焦點(diǎn)為（0, 2）,直線(xiàn)y= 3x + 7 與橢圓相交所得弦的中點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為 1，則這個(gè)橢圓的方程為 _ , 2 2 “宀 x y 答案8+12= i 2 2 y x .2 * + 二=1 b + 4 b(0 + y2) 2 y1- y2)=0, 解析因?yàn)闄E圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為 （0 , 2），貝 y a2 - b2 = 4，所以可設(shè)橢圓方 程為 10 y = 3x+ 7, 由 y2 x2 消去x，整理得 b2T4+b= 1， k (10 b2+ 4)y2 14( b2+ 4)y- 9b4 + 13b2+ 196 = 0, 設(shè)直線(xiàn)y = 3x+ 7 與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)為 (X1, y1), (X2, y2), 2 14( b + 4) 由一兀二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得： y1 + y2= 10b2+ 4- = 2. 解得：b2= 8.所以a2= 12. 2 2 則橢圓方程為x+掃=1. 8 12 2 2 2過(guò)橢圓x_ + y_ = 1 內(nèi)一點(diǎn)F(3 , 1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線(xiàn)的方程是 由于 A, 2 “ X1 故