如何解分式和絕對(duì)值不等式

1、(一)分式不等式:型如：fix)0或fix)0(其中f(x)、(x)為整式且(x)0)的不等式稱為分式不等式。(x)(x)(1)分式不等式的解法：,一x1_解關(guān)于x的不等式03x2方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化為：方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化為：(x 1)(3x 2) 0x10、x10或3x203x20x1_變式一：一-03x2等價(jià)轉(zhuǎn)化為:(x 1)(3x 2)03x 2 0x 1. x 1比較不等式 -0及-3x 2 3x 20的解集。(不等式的變形，強(qiáng)調(diào)等價(jià)轉(zhuǎn)化，分母不為零)(2)歸納分式不等式與整式不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化:(1)小 0 f (x)(x) 0(x)上0(x)f(x) 0 f(x) (x) 0(x)(x)

2、0f(x) (x) 0f(x) (x) 0(x) 0(3)小結(jié)分式不等式的解法步驟:(1)移項(xiàng)通分，不等式右側(cè)化為“ 0”，左側(cè)為一分式(2)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的整式不等式(3)因式分解，解整式不等式(注意因式分解后，一次項(xiàng)前系數(shù)為正)練一練：解關(guān)于x的不等式3 5x. x 2 一例1、解關(guān)于x的不等式：2x 3丘 x 2解：2 0x 3x 2 2(x 3) 0x 30 （保證因式分解后，保證一次項(xiàng)前的系數(shù)都為正）(x / 30原不等式的解集為8, 3x 8-例2、解關(guān)于x不等式 2x2 2x 3方法一：x2 2x 3恒大于0,利用不等式的基本性質(zhì)方法二：移項(xiàng)、通分，利用兩式同號(hào)、異號(hào)的充要條件，劃歸

3、為一元一次或一元二次不等式。 a例3、解關(guān)于x的不等式：一1x解：移項(xiàng) a 1 0x通分 a一x 0即， xx等價(jià)轉(zhuǎn)化為,x(x a) 0x 0當(dāng)a>0時(shí)，原不等式的解集為（0,a當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為a,0）當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為(二)絕對(duì)值不等式a理解絕對(duì)值的幾何意義：a (a 0)0 (a 0)a (a 0)其幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)A(a) 離開原點(diǎn)o的距離0A(一)注意絕對(duì)值的定義，用公式法即若a°，|x|a,則axa；若a°,|x|a,則xa或xa。例1.解不等式2x3|3x1解：由題意知3x10,原不等式轉(zhuǎn)化為(3x1)2x33x1即：對(duì)于

4、形如1f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式，此類不等式的簡(jiǎn)潔解法是等價(jià)命題法，即:當(dāng)a>0時(shí)，|f(x)laaf(x)a；|f(x)|af(x)a或f(x)a。當(dāng)a=0時(shí)，lf(x)|a,無(wú)解；|f(x)|af(x)0。當(dāng)a<0時(shí)，|f(x)1a,無(wú)解；1f(x)|af(x)有意義。拓展：形如a1f(x)|b(ba0)型不等式，此類不等式的簡(jiǎn)潔解法也是等價(jià)命題法，即：a|f(x)|b(ba0)af(x)b或bf(x)ao例1解以下不等式：(1)|2x3|5.|2x1|0。解：(1)由原不等式可得：2x35或2x35,即x>4或x1。所以原不等式的解集是x|x4或x1(

5、2)因?yàn)樽筮厼榉秦?fù)值，而右邊為0,故不等式無(wú)解，即解集為22|x| x(二)注意絕對(duì)值的非負(fù)性，用平方法等式的兩邊都是非負(fù)值才能用平方法，否則不能用平方法，在操作過(guò)程中用到例2.解不等式1x1|2x3|兩邊都含絕對(duì)值符號(hào)，所以都是非負(fù)，故可用平方法。_ 223) (x 1)即:2_22_2-解：原不等式|x1|2x3|(x1)(2x3)(2x即：對(duì)于形如1f(x)|1g(x)|型不等式，此類不等式的簡(jiǎn)潔解法是利用平方法,-22-|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)g(x)|例2解不等式|x1|2x3|o22o解：原不等式等價(jià)于：|x11|2x3|,即3x10x

6、80,解得(三)注意分類討論，用零點(diǎn)分段法不等式的一側(cè)是兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對(duì)值符號(hào)，常用零點(diǎn)法去絕對(duì)值并求解。例3.解不等式|x2|x1|3解：利用絕對(duì)值的定義，分段討論去絕對(duì)值符號(hào)，令0得分界點(diǎn)x 1于是，可分區(qū)間(，2), 2, 1, 1,討論原不等式x 2, (x 2)(x1)x 1,2 (x1)T x1,或3x2(x1) 3解彳導(dǎo)x 1x綜上不等式的解為2)(1,即：對(duì)于形如1 .解不等式(D利用絕對(duì)值不等式的幾何意義a不等式，用零點(diǎn)分段法這個(gè)不等式的幾何意義是:數(shù)軸上到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離與到 3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和不小于4的所有點(diǎn)的集合(2)零點(diǎn)分段討論：(即去掉絕對(duì)值)注:x=1，與x=3

7、將數(shù)軸分成三段，然后根據(jù)不等式的幾何意義去掉絕對(duì)值，解不等式(3)構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)解集溫馨提示：令f (x)x3畫出函數(shù)圖像進(jìn)行研究總結(jié)：絕對(duì)值不等式的解法(1)xa(a0)axa；xa(a0)xa或xa(2)f(x)a(a0)af(x)a37,f(x)a(a0)f(x)a或f(x)a.f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)5f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；(7)axb(ba0)axb或bxa.22f(x)a(a0)If(x)ag(x)|f(x)ag(x)lg(x)|g(x)0g(x)0-22-一(9)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)

8、g(x)|0(10)對(duì)于形如xaxbm等含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，常用“零點(diǎn)分段”或絕對(duì)值的幾何意義求解課后練習(xí)1、不等式x1(2X1)0的解集為O2、不等式x1(2x1)0的解集為o八"、"心,口!<X<-6、已知不等式|xm|<1成立的充分非必要條件是32則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。7、不等式x2x13的解集是。8、關(guān)于x的不等式x1m的解集為R的充要條件是()a.m0B.m1c,m0D.m19、不等式Ix2-x-6I>3-x的解集是()A.(3,+g)B.(-巴-3)U(3,+g)C.(-巴-3)U(-1,+oo)D,(-8,-3)U(-1,3)U(3,+8)10、解不等式|2x1|x4|x1。11、設(shè)函數(shù)f(X)ax2,不等式1f(x)|6的解集為(1,2),X試求不等式f(x)1的解集提高題ab12、用>或<或或填空：ab13、已知h 0,設(shè)命題甲為兩個(gè)實(shí)數(shù)b滿足2h