因式分解知識點歸納

1、精品文檔因式分解知識點回顧1、因式分解的概念：把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互為逆運算2、常用的因式分解方法：(1 )提取公因式法：ma mb me m(a b c)(2) 運用公式法：平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)；完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2(3) 十字相乘法：x2 (a b)x ab (x a)(x b)因式分解的一般步驟：(1) 如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；(2) 提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；(3) 對二次三項式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。(4) 最

2、后考慮用分組分解法5、 同底數(shù)幕的乘法法則：amgan am n( m,n都是正整數(shù))同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。235如：(a b) ga b) (a b)6、 幕的乘方法則：(am)n amn( m,n都是正整數(shù))幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：(35 )2 310幕的乘方法則可以逆用：即amn (am)n (an)m如：46(42)3(43)27、 積的乘方法則：(ab)n anbn( n是正整數(shù))積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。如:( 2x3y2z)5=( 2)5?(x3)5?(y2)5?z532x15y10z5m n)8、 同底數(shù)幕的除法法則：am

3、 an am n ( a 0,m, n都是正整數(shù)，且同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：(ab)4 (ab) (ab)3 a3b39、零指數(shù)和負(fù)指數(shù)；a0 1，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。1a p p ( a 0, p是正整數(shù))，即一個不等于零的數(shù)的p次方等于這個數(shù)的 p次方的倒數(shù)。a書3131如：2(2)810、單項式的乘法法則： 單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項 式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值。 相同字母相乘，運用同底數(shù)幕的乘法法則。 只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指

4、數(shù)作為積的一個因式 單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。 單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式。如：2x2y3z?3xy11、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加,即 m(a b c) ma mb mc(m,a,b,c都是單項式) 積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。 運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。 在混合運算時，要注意運算順序，結(jié)果有同類項的要合并同類項。如：2x( 2x 3y) 3y(x y)12、多項式與多項式相乘的法則；多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積相加。(3 a 2

5、b)(a 3b)如：(x 5)(x 6)三、知識點分析：1同底數(shù)幕、幕的運算： am an=am+n( m, n都是正整數(shù)).(am)n=amn(m, n都是正整數(shù)).例題1.若2a 264，則 a=;若 27 3n( 3)8，則 n=例題2.若52x 1125，求(x 2)2009 x 的值。例題3.計算x練習(xí)3 n2 m2y2y x2n6n1. 右 a3，則 a =.2. 設(shè) 4x=8y-1 .且 9y=27x-1,則 x-y 等于2積的乘方(ab)n=anbn(n為正整數(shù)).積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘例題1.計算:3.乘法公式b2mP4完全平方和公式:a22

6、abb2完全平方差公式:a22abb2例題1.利用平方差公式計算:2009X200720082平方差公式：a例題2.利用平方差公式計算:20072 20072008 20063. (a 2b+ 3c d) (a+ 2b 3c d)考點一、因式分解的概念因式分解的概念：把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互為逆運算1、下列從左到右是因式分解的是()2 2 2A. x(a-b)=ax-bx B. x-1+y =(x-1)(x+1)+y2C. x -仁(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c 2 2 22、若4a kab 9b可以因式分解為(2 a

7、 3b)，則k的值為23、已知a為正整數(shù)，試判斷 aa是奇數(shù)還是偶數(shù)?24、已知關(guān)于x的二次三項式x提取公因式法:ma mb mcm(a b c)公因式：一個多項式每一項都含有的相同的因式，叫做這個多項式各項的公因式 找公因式的方法：1、系數(shù)為各系數(shù)的最大公約數(shù)2 、字母是相同字母3、字母的次數(shù)-相同字母的最低次數(shù)習(xí)題1、將多項式20a考點二提取公因式法bmx n有一個因式(x 5)，且m+n=17,試求m, n的值12a2bc分解因式，應(yīng)提取的公因式是()2 2A、ab B、4a b C、4abD、4a be2、已知(19x 31)(13x 17)(13x 17)(11x 23)可因式分解為

8、(ax b)(8x e)，其中 a, b，c均為A、-12B、-32C、38D、723、分解因式(1)6a(a b) 4b(a b)(2)3a(x y)6b( y x)nn 1n 2(3) x xx(4)2011(3)(3)2010整數(shù)，則a+b+e等于()4、先分解因式，在計算求值(1)(2x 1)2 (3x 2)(2x 1)(3x 2)2x(1 2x)(3x 2) 其中 x=1.52 2(2)(a 2)(a a 1) (a 1)(2 a)其中 a=184 2 2 25、 已知多項式x 2012x2011 x 2012有一個因式為x ax 1，另一個因式為x bx 求a+b的值22536、

9、若ab 1 0，用因式分解法求ab(a b ab b)的值2012，7、已知 a，b，c 滿足 ab a b bc b c ca c a 3，求(a 1)(b 1)(c 1)的值。(都是正整數(shù))a， b， c考點三、用乘法公式分解因式平方差公式 a2 b2 （a b）（a b）運用平方差公式分解的多項式是二次項，這兩項必須是平方式，且這兩項的符號相反 習(xí)題2 , 2A、x 4yB、 x 2y 1C、2 x4y2 D、x2 4y22、分解下列因式(1)3x2 12（2）（x2)( x4)x24(3)(x y)1下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）(x y)2(4)x3 xy22(5)(a

10、b) 1(6)9(a b)2 30(a2 b2) 25(a b)22009 201120102 13、若n為正整數(shù)，則（2n2 21）（2n1） 一定能被8整除完全平方式a2 2ab b2(a b)2運用完全平方公式分解的多項式是三項式，且符合首平方，尾平方，首尾兩倍中間放的特點，其中首尾 兩項的符號必須相同，中間項的符號正負(fù)均可。習(xí)題1在多項式x2 2xy2 2 2 2 2y x 2xy y x xy+y 4x21+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（）A、B 、 C 、 D 、 4a a3b 2(7) 4x 12xy+9y 4x+6y-3a(4 a2b2)2 x y 2xyxy xy(x

11、 2)a ab ac a(a b29abc 6a b 3abc(32a)2 2 2 2 c x y c xy332xy(x3y)A 0 個 B 、1個C 、2 個 D、5個3、如果 x22(m 3)x16是一個完全平方式，那么 m應(yīng)為（）A、-5B、3C、7D、7 或-14、分解因式2(1) mx 4mx 2m(2)2a2-4a2(3)x3 2x2 x2、下列因式分解中，正確的有（）c)2 2(4) (2x 3) (x 3)2(5) 8x y 8xy 2y(6)(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y5、已知a b2，ab 2，求 3 航236、證明代數(shù)式x22y 10x 8y 45的值

12、總是正數(shù)7、已知a， b，c分別是ABC的三邊長，試比較（a22 2 2 2 2b c )與4a b的大小考點四、十字相乘法2(1)二次項系數(shù)為1的二次三項式X px q中，如果能把常數(shù)項 q分解成兩個因式 a、b的積,2并且a b等于一次項系數(shù) p的值，那么它 就可以把二次三項式 x px q分解成2 2x px q x a b x ab x a x b例題講解1、分解因式：x2 5x 6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于 6=2 X 3=(-2)X (-3)=1 X 6=(-1)X (-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2 X 3的分解適合，即2+3=521 2解：x 5x6 =

13、x (23)x2 313=(x 2)(x 3)1X 2+1X 3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵： 將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積， 且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。 例題講解2、分解因式：x2 7x 6解:原式：2 =x(1)(6)x(1)(6) 1-1 -=(x1)(x6)1-6(-1)+ (-6 ) = -7練習(xí)分解因式(1) x214x 24(2)2 a15a362(3)x 4x 5x2x 2(5)2 小y 2y15(6)x210x242、二次項系數(shù)不為 1的二次三項式一一 ax2 bx c條件：(1)aaa2a1xC1(2)cC1C2a：C2(3)baca2Gba1C2a2&分

14、解結(jié)果：2 axbxc = (a1XG)(a2XC2)例題講解1、分解因式:3x211x10分析:1-23-5'、(-6 ) +(-5 ) = -11解:3x211x10 = (x2)(3x5)分解因式：(1)5x27x 6(2)3x27x2(3) 10x217x 32(4) 6y 11y 10分解因式(1) x2 3xy 2y22 2m 6mn 8n a2 ab 6b24、二次項系數(shù)不為1的多項式例題講解2x2 7xy 6y21 -2y.2 -3y1(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2x3y)2 2x y 3xy 2把xy看作一個整體 1-1-1)+(-2)=

15、-3解：原式=(xy 1)(xy2)分解因式：（1）15x2 7xy 4y22 2(2) a x 6ax 83、二次項系數(shù)為1的多項式例題講解、分解因式：a2 8ab 128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a的二次三項式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。1 8b1-16b 8b+(-16b)= -8b8b( 16b)a 8b ( 16b) = (a 8b)(a 16b)解：a2 8ab 128b2=a2考點五、因式分解的應(yīng)用1、分解下列因式(1)3x2 332(2) x y 4x32(3) x 6x 27x2 2(4) a b 2b 12、計算下列各題2(1) (4a 4a 1) (2a 1)(2) (a2 b2 c2 2ab) (a b c)2(2) (2x 3)(2x 3)3、解方程2 2(1) 16(x 1)25(x 2)4、如果實數(shù)a b，且10a b10b a那么a+b的值等于5、1 221 232426、若多項式x252 622 2 2 220092010201120122009 201020112012ax 12能分解成兩個整系數(shù)的一次因式的乘積，試確定符合條件的整數(shù)a的值（寫出3個）7、先變形再求值（1）已知 2x y 丄，xy 4，求 2x4y x'y4 的值16(2)已知 3x2 8x 2 0，求 12x2 32x 的值8、已知a、b、c為