高一數(shù)學(xué)不等式解法例題

1、典型例題一例 1 解不等式：(1) 2x3 x2 15x 0； (2) (x 4)(x 5)2(2 x)3 0 .分析：如果多項(xiàng)式 f(x)可分解為n個(gè)一次式的積，那么一元高次不等式f(x) 0 (或f (x)0 )可用“穿根法求解，但要注意處理好有重根的情況.解：(1 )原不等式可化為5把方程x(2x 5)(x 3) 0的三個(gè)根x1 0,x2,x3 3順次標(biāo)上數(shù)軸.然后從右上2開(kāi)始畫(huà)線順次經(jīng)過(guò)三個(gè)根，其解集如以下圖的陰影局部.5原不等式解集為x x 0或x 32(2)原不等式等價(jià)于原不等式解集為 xx 5或 5 x4或x 2x的系數(shù)必為正；對(duì)于偶次或，但注意“奇穿偶不穿，其法說(shuō)明：用“穿根法

2、解不等式時(shí)應(yīng)注意：各一次項(xiàng)中 奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法 如以下圖.典型例題二例2解以下分式不等式:(1)x2 4x 13x2 7x 2分析：當(dāng)分式不等式化為 3 0(或 0)時(shí)，要注意它的等價(jià)變形g(x)器 0 f(x) g(x) 0f(x) g(x) g(x) 或佟g(x)f(x) 或f(x) g(x) (1)解：原不等式等價(jià)于 用“穿根法原不等式解集為(，2)1,26,2x3X 1(2)解法一：原不等式等價(jià)于二 3X一1 3x7x 211原不等式解集為(，丄)(丄,1)(2,)。32解法二：原不等式等價(jià)于(2x 1)(x (3x 1)(x 2)用“穿根法11原不

3、等式解集為(，)(，1)(2,)32典型例題三例3解不等式x24 x 2分析：解此題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，而去絕對(duì)值符號(hào)有兩種方法：一是根據(jù)絕對(duì)值的意義a(a )aa (a )二是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：x a a x a, x.a x a或x a ,因此此題有如解法二：原不等式等價(jià)于(x 2) x24 x 22 x2 x4x22 ： 3 故 1x3.4 (x 2) x 1 或x2典型例題四例4解不等式x2 6x 512 4x x2F兩種解法.解法一:原不等式2 x2 x24 0 亠 x4 0或24x24 xx 2rx2或 x2 亠2x 2即或2 x xx2或x 1 2x 3 或 1 x2故原不等式

4、的解集為x1x 3 .分析：這是一個(gè)分式不等式，其左邊是兩個(gè)關(guān)于x二次式的商，由商的符號(hào)法那么，它等價(jià)于以下兩個(gè)不等式組：2 2x 6x50 或 x 6x5012 4x x2012 4x x20所以，原不等式的解集是上面兩個(gè)不等式級(jí)的解集的并集.也可用數(shù)軸標(biāo)根法求解.解法一：原不等式等價(jià)下面兩個(gè)不等式級(jí)的并集：x26x 5 0,亠 x26x50,或124x x20124xx20(x1)(x5)0,或(x1)(x5)0,(x2)(x6)0; 或(x2)(x6)0;1, 或 x 5,2,或 x 61 x 5,x;或2x6x1 x 5,或 x 2 或 x 6 .原不等式解集是xx 2,或1 x 5,

5、或x 6.解法二：原不等式化為(x 1)(x 5)0 .(x 2)(x 6)畫(huà)數(shù)軸，找因式根，分區(qū)間，定符號(hào).(X 1)(X5)符號(hào)(x 2)(x 6) 符原不等式解集是xx 2,或1 x 5,或x 6.說(shuō)明：解法一要注意求兩個(gè)等價(jià)不等式組的解集是求每組兩個(gè)不等式的交集，再求兩組 的解的并集，否那么會(huì)產(chǎn)生誤解.解法二中，“定符號(hào)是關(guān)鍵當(dāng)每個(gè)因式x的系數(shù)為正值時(shí)，最右邊區(qū)間一定是正值，其他各區(qū)間正負(fù)相間；也可以先決定含0的區(qū)間符號(hào)，其他各區(qū)間正負(fù)相間在解題時(shí)要正確運(yùn) 用.典型例題五例5解不等式-2-2 x .3 2x x2分析：不等式左右兩邊都是含有x的代數(shù)式，必須先把它們移到一邊， 使另一邊為

6、0再解.解：移項(xiàng)整理，將原不等式化為(x 2)(x2 x 1)0(x 3)(x 1)由x2 x 10恒成立，知原不等式等價(jià)于(x 2)(x 3)(x 1)解之，得原不等式的解集為 x 1 x 2或x 3 說(shuō)明：此題易出現(xiàn)去分母得 x2 2x 2 x(3 2x x2)的錯(cuò)誤解法.防止誤解的方法是移 項(xiàng)使一邊為0再解.另外，在解題過(guò)程中，對(duì)出現(xiàn)的二項(xiàng)式要注意其是否有實(shí)根，以便分析不等式是否有解，從 而使求解過(guò)程科學(xué)合理.典型例題六例6設(shè)m R，解關(guān)于x的不等式m2x2 2mx 3分析：進(jìn)行分類(lèi)討論求解.解：當(dāng)m 0時(shí)，因 30一定成立，故原不等式的解集為 R.0時(shí),原不等式化為(mx3)(mx1)

7、0時(shí),解得-m10時(shí),解得丄xm當(dāng)m 0時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)m 0時(shí)，原不等式的解集為說(shuō)明：解不等式時(shí)，由于 m R，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因?yàn)楫?dāng)m 0時(shí)，原不等式化為 3 0，此時(shí)不等式的解集為 R，所以解題時(shí)應(yīng)分 m 0與m 0兩 種情況來(lái)討論.在解出m2x2 2mx 3 0的兩根為為3,x2 m1后，認(rèn)為m-丄，這也是易出現(xiàn)的錯(cuò)m m誤之處.這時(shí)也應(yīng)分情況來(lái)討論：當(dāng)m0時(shí)，31 t;當(dāng)mm m0時(shí)，31m m 典型例題七例7解關(guān)于x的不等式.2ax a21 x (a 0).分析：先按無(wú)理不等式的解法化為兩個(gè)不等式組，然后分類(lèi)討論求解.解：原不等式2ax a2(1) 1

8、x 0,2ax a20,(1或x)2；2x a20,1 x 0.由 a 0 ,得：(1)ax2x1,(2)2 x2(a 1)x a2105x 1.由判別式4(a1)2 4( a21) 8a0 ,故不等式x22(a1)x a210的解是a 1. 2a x a 1一 2a .當(dāng)0 a 2時(shí)，a a 12,2a 1,a 1 2a 1,不等式組(1)的解是a 1.2a x 1，不等式組(2)的解是x 1 .當(dāng)a 2時(shí)，不等式組 無(wú)解，(2)的解是x旦.2；當(dāng)a 2時(shí)，原不等式綜上可知，當(dāng)0 a 2時(shí)，原不等式的解集是a 1 . 2a,的解集是說(shuō)明：此題分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)“ 0 a 2 , a 2 是依據(jù)“a

9、 0及中 x - , x 1 2(2)中 x a , x 1確定的解含有參數(shù)的不等式是不等式問(wèn)題中的難點(diǎn)，也是近幾年高2考的熱點(diǎn)一般地，分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)(解不等式)大多數(shù)情況下依“不等式組中的各不等式的 解所對(duì)應(yīng)的區(qū)間的端點(diǎn)去確定.此題易誤把原不等式等價(jià)于不等式2ax a2 (1 x) 糾正錯(cuò)誤的方法是熟練掌握無(wú)理不等式根本類(lèi)型的解法.典型例題八例8解不等式4x210x 33 .分析：先去掉絕對(duì)值號(hào)，再找它的等價(jià)組并求各不等式的解，然后取它們的交集即可.解答：去掉絕對(duì)值號(hào)得3 4x2 10x 3 3,原不等式等價(jià)于不等式組、15原不等式的解集為x x 0或 x 3 .2 2說(shuō)明：解含絕對(duì)值的不等式

10、，關(guān)鍵是要把它化為不含絕對(duì)值的不等式，然后把不等式等 價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組，變成求不等式組的解.典型例題九例9解關(guān)于x的不等式x2 (a a2)x a3 0 .分析：不等式中含有字母a,故需分類(lèi)討論.但解題思路與一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程 x2 (a a2)x a3 0的根，然后寫(xiě)出不等式的解，但由于方程的根含有字母a，故需比擬兩根的大小，從而引出討論.當(dāng)a a2 即a 1或a 0 時(shí)，不等式的解集為：xx a 或 x a2 ；22當(dāng)a a 即0 a 1 時(shí)，不等式的解集為：x x a2 或 x a ;3當(dāng)a a2 即a 0或1 時(shí)，不等式的解集為：x x R 且 x a .說(shuō)明

11、：對(duì)參數(shù)進(jìn)行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開(kāi)始就對(duì)參數(shù)加以分類(lèi)、討論.比方此題，為求不等式的解，需先求出方程的根x1 a，x2 a2，因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根.但a與a2兩根的大小不能確定，因此需要討論 a a2,2 2a a , a a三種情況.典型例題十例10不等式ax2 bx c 0的解集是 x x 0.求不等式2cx bx a 0的解集.分析：按照一元二次不等式的一般解法，先確定系數(shù)c的正負(fù)，然后求出方程 cx2 bx a 0的兩根即可解之.解：解法1由題可判斷出， 是方程ax2 bx c 0的兩根，又 ax2 bx0的解集是 x二 cx2bx0x20，即

12、cx2 (-)x1 1)()0,即(x二x-)(x -)0的解集為解法2由題意可判斷出, 是方程ax2bxc 0的兩根,又ax2bx0的解集是對(duì)方程cx2bx0兩邊同除以x2得a (-)2 bx(丄)x1令t，該方程即為xat2 bt c 0,它的兩根為t1, t2,1X21X1,X22 1 1方程ex2 bx a 0的兩根為一，一 01 1不等式ex2 bx a 0的解集是x x 結(jié)合使用韋達(dá)定理，此題中只有 系數(shù)a b e的關(guān)系也用 是量，故所求不等式解集也用 表示，不等式表示出來(lái)；3注意解法2中用“變換的方法求方程的根.典型例題十二說(shuō)明：1萬(wàn)變不離其宗，解不等式的核心即是確定首項(xiàng)系數(shù)的正

13、負(fù)，求出相應(yīng)的方程的根；2例12假設(shè)不等式2x ax2 x 1x b12的解為，1,，求a、b的值.x2 x 13分析:子.不等式本身比擬復(fù)雜，要先對(duì)不等式進(jìn)行同解變形，再根據(jù)解集列出關(guān)于解：x230，原不等式化為(2 a b)x2 (a b)x a b 0.依題意a b2 a ba b2 a b5232說(shuō)明：解有關(guān)一元二次方程的不等式，要注意判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)解.典型例題十三例13不等式ax2 bx 2 0的解集為 x 1x2，求a與b的值.分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為x 1 x 2,不等式ax22bx 2 0需滿足條件a 0 ,0, ax bx 2 0

14、的兩根為 禺 1 , x? 2.解法一：設(shè)ax2 bx 2 0的兩根為為,X2，由韋達(dá)定理得:解法二：構(gòu)造解集為x 1 x 2的一元二次不等式:bb1 2X1X2a由題意：a221 2X1X2aaa1 ,b1，此時(shí)滿足a0 ,b2 4a ( 2)0ax2 bx 20應(yīng)為同解不等式,(x 1)(x 2)0，即x2 x 20,此不等式與原不等式故需滿足:說(shuō)明：此題考查一元二次方程、一元二次不等式解集的關(guān)系，同時(shí)還考查逆向思維的能 力對(duì)有關(guān)字母抽象問(wèn)題，同學(xué)往往掌握得不好.典型例題十四例14解關(guān)于x的不等式ax2 (a 1)x 10.分析：此題考查一元一次不等式與一元二次不等式的解法，因?yàn)楹凶帜赶?/p>

15、數(shù)，所以還 考查分類(lèi)思想.解：分以下情況討論(1)當(dāng) a0時(shí),原不等式變?yōu)?x10 , x 1(2)當(dāng) a0時(shí),原不等式變?yōu)?(ax1)(x 1)0 當(dāng)a0時(shí)，式變?yōu)?X1)(x1) 0 ,1不等式的解為x 1或x 一aa當(dāng)a0時(shí)，式變?yōu)?X1)(x1) 0 . 1 1，當(dāng)0 a 1時(shí)，丄1，此時(shí)的解為1 x -.當(dāng)a 1時(shí)，11 ,a aaaa1此時(shí)的解為一 x 1 .a說(shuō)明：解此題要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是要找到分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，就此題來(lái)說(shuō)有三級(jí)分類(lèi)：分類(lèi)應(yīng)做到使所給參數(shù) a的集合的并集為全集， 交集為空集，要做到不重不漏另外，解此題 還要注意在討論 a 0時(shí)，解一元二次不等式 ax2 (a 1)x 10應(yīng)首選做到將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解.典型例題十五分析：無(wú)理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，f(x) g(x)可轉(zhuǎn)化為f(x) g(x)或f (x)g(x)，而 f (x)g(x)等價(jià)于:f(x)0或g(x) of(x)g(x)f(x)002g(x)解：原不等式等價(jià)于下面兩個(gè)不等式組:8x0x2 3x 108x 02 x3x 1002 x3x 10(8 x)2由得亠,x 8x 5 或 x 2由