電力生產(chǎn)問題求解1

1、電力生產(chǎn)問題求解摘要本文討論了發(fā)電機(jī)的合理安排問題，是優(yōu)化模型中的單目標(biāo)整數(shù)規(guī)劃問題。我們根據(jù)原始數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法建立了兩個(gè)非線性的動態(tài)規(guī)劃模型。 模型一：考慮穩(wěn)定工作狀態(tài)下的情況，運(yùn)用線型規(guī)劃的方法確定了三個(gè)指標(biāo)函數(shù)即固定成本，邊際成本和啟動成本，將三者求和得到目標(biāo)函數(shù)。通過lingo編程得到發(fā)電機(jī)的工作安排（見表三（3）。由運(yùn)行成本與發(fā)電機(jī)的臺數(shù)和時(shí)間的線型關(guān)系確立了線性函數(shù)，得到發(fā)電機(jī)的實(shí)際輸出功率和運(yùn)行成本為148.218萬元。 模型二：此時(shí)發(fā)電機(jī)的輸出功率變?yōu)樵瓉淼?0%即可，分析方法和模型一類似。最終求得發(fā)電機(jī)的工作安排（見表四（3），運(yùn)行成本為156.943萬元。關(guān)鍵字：

2、 動態(tài)規(guī)劃 單目標(biāo)整數(shù)規(guī)劃1.問題重述 為滿足每日電力需求（單位為兆瓦（MW），可以選用四種不同類型的發(fā)電機(jī)。每日電力需求如下表1。 每日用電需求（兆瓦）時(shí)段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000每種發(fā)電機(jī)都有一個(gè)最大發(fā)電能力，當(dāng)接入電網(wǎng)時(shí)，其輸出功率不應(yīng)低于某一最小輸出功率。所有發(fā)電機(jī)都存在一個(gè)啟動成本，以及工作于最小功率狀態(tài)時(shí)的固定的每小時(shí)成本，并且如果功率高于最小功率，則超出部分的功率每兆瓦每小時(shí)還存在一個(gè)成本，即邊際成本。這些數(shù)據(jù)均列于表2中。發(fā)電機(jī)情況可用數(shù)量最小輸出功率（MW

3、）最大輸出功率（MW）固定成本（元/小時(shí)）每兆瓦邊際成本（元/小時(shí)）啟動成本型號110750175022502.75000型號241000150018002.21600型號381200200037501.82400型號431800350048003.81200只有在每個(gè)時(shí)段開始時(shí)才允許啟動或關(guān)閉發(fā)電機(jī)。與啟動發(fā)電機(jī)不同，關(guān)閉發(fā)電機(jī)不需要付出任何代價(jià)。 問題（1） 在每個(gè)時(shí)段應(yīng)分別使用哪些發(fā)電機(jī)才能使每天的總成本最小，最小總成本為多少？問題（2） 如果在任何時(shí)刻，正在工作的發(fā)電機(jī)組必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升。那么每個(gè)時(shí)段又應(yīng)分別使用哪些發(fā)電機(jī)才能使每天的總成本最小，此時(shí)最小

4、總成本又為多少？2.問題分析 對問題一;要對發(fā)電機(jī)進(jìn)行安排使得發(fā)電機(jī)的發(fā)電量滿足用電需要，同時(shí)運(yùn)行成本達(dá)到最低，我們考慮運(yùn)行成本最低時(shí)發(fā)電機(jī)型號臺數(shù)的選擇，這樣就可以建立一個(gè)以費(fèi)用最低為目標(biāo)的目標(biāo)方程。 結(jié)合發(fā)電機(jī)的實(shí)際工作情況，最終求解的成本是啟動成本、固定成本和邊際成本這三者之和。固定成本、邊際成本和啟動成本均由發(fā)電機(jī)的型號，臺數(shù)以及該時(shí)間段的運(yùn)行時(shí)間決定。 考慮穩(wěn)定工作狀態(tài)下的情況，為使問題簡單 ，我們假設(shè)所用的發(fā)電機(jī)均是輸出最大功率并且只有在某一型號的發(fā)電機(jī)輸出最大功率時(shí)才會啟動同一型號的發(fā)電機(jī)。首先，在假設(shè)條件下，固定成本和邊際成本均與運(yùn)行時(shí)間及運(yùn)行臺數(shù)線性相關(guān)，啟動成本和第一時(shí)間段

5、內(nèi)啟動的臺數(shù)及下一個(gè)時(shí)間開始時(shí)新啟動的發(fā)電機(jī)臺數(shù)有關(guān)而與關(guān)閉的發(fā)電機(jī)無關(guān)，這樣三者求和結(jié)合約束條件得到目標(biāo)方程。通過編程求解目標(biāo)方程，可以得到最優(yōu)解。 反向?qū)Y(jié)果進(jìn)行調(diào)試，發(fā)電機(jī)的型號和臺數(shù)的安排已經(jīng)確定，即固定成本和啟動成本確定，實(shí)際工作節(jié)約的成本即為邊際成本，這樣得到一個(gè)使得節(jié)約成本最大的線型方程求解。 問題二：對于此問的分析和問題一基本相似，按題目要求即在假設(shè)條件下發(fā)電機(jī)發(fā)出的最大功率為原來發(fā)出最大功率的80%時(shí)，滿足問題一所列的約束條件即可。3.模型假設(shè)假設(shè)發(fā)電機(jī)在瞬間達(dá)到實(shí)際輸出功率。假設(shè)當(dāng)某一發(fā)電機(jī)輸出最大功率時(shí)才會啟動同型號的下一臺發(fā)電機(jī)。假設(shè)各個(gè)型號的發(fā)電機(jī)運(yùn)行過程中不出現(xiàn)故障

6、。假設(shè)發(fā)電機(jī)都是輸出的最大功率。假設(shè)七個(gè)時(shí)間段是一個(gè)整體，考慮穩(wěn)定工作后的情況。 4. 符號說明所用的發(fā)電機(jī)的固定成本所用發(fā)電機(jī)機(jī)的邊際成本所用發(fā)電機(jī)的啟動成本發(fā)電機(jī)工作時(shí)的總運(yùn)行成本發(fā)電機(jī)實(shí)際工作時(shí)所節(jié)約的成本型號為的發(fā)電機(jī)在時(shí)間段的運(yùn)用臺數(shù)。各個(gè)時(shí)間段的時(shí)間長短每臺型號j 的發(fā)電機(jī)的啟動成本。每臺型號j 的發(fā)電機(jī)的固定成本每臺型號j 的發(fā)電機(jī)的邊際成本型號為j的發(fā)電機(jī)的最大輸出功率j 型號的發(fā)電機(jī)的最小輸出功率i時(shí)間段的用電需求j型號發(fā)電機(jī)的可用臺數(shù)發(fā)電機(jī)實(shí)際工作時(shí)在i 時(shí)段j 型號的發(fā)電機(jī)的輸出功率5.數(shù)據(jù)處理現(xiàn)將題目中表一所列的時(shí)間段整理為7個(gè)階段，結(jié)合各個(gè)時(shí)間段的用電量整理表一：時(shí)間

7、功率表時(shí)間段i1234567時(shí)間ti6332442需求功率Pi12000320002500036000250003000018000從上表可以看出，需求功率在第二，四，六這三個(gè)偶數(shù)時(shí)段相對較多，而在第一時(shí)段需求功率最小，第三時(shí)間段和第五時(shí)間段相等。對表二中的不同型號的發(fā)電機(jī)的可用數(shù)量，每小時(shí)工作的固定成本和邊際成本以及每臺發(fā)電機(jī)的啟動成本整理的下表：型號j1234臺數(shù)10483最小功率pminj750100012001800最大功率pmaxj1750150020003500固定成本W(wǎng)2j2250180037504800邊際成本W(wǎng)3j2.72.21.83.8啟動成本W(wǎng)1j500400300400

8、表二：發(fā)電機(jī)情況表 由上表可以知道，一型號的發(fā)電機(jī)可用臺數(shù)最多，四型號的發(fā)電機(jī)輸出功率最大，三型號發(fā)電機(jī)每小時(shí)邊際成本費(fèi)和啟動成本最少，二型號發(fā)電機(jī)的固定成本費(fèi)最低。6.對問題一的解答6.1確定目標(biāo)函數(shù) 6.1.1固定成本與時(shí)間和臺數(shù)線性相關(guān)： 6.1.2 邊際成本是輸出最大功率發(fā)電機(jī)的邊際成本和沒有發(fā)出最大功率的發(fā)電機(jī)邊際成本之和，即：6.1.3 啟動成本是第一時(shí)間段內(nèi)啟動的發(fā)電機(jī)的啟動成本和后階段新啟動的發(fā)電機(jī)的啟動成本構(gòu)成，即：（其中新啟動的發(fā)電機(jī)的啟動成本取決于新啟動的發(fā)電機(jī)與關(guān)閉的發(fā)電機(jī)無關(guān)，令 時(shí)） = 6.1.4 結(jié)合問題的分析，將固定成本、邊際成本和啟動成本求和就得到使得運(yùn)行成

9、本最少的目標(biāo)函數(shù)： Min 6.2 約束條件的建立 6.2.1在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)，發(fā)電機(jī)輸出的總功率要滿足該時(shí)間段內(nèi)的用電量，即：6.2.2 各種型號的發(fā)電機(jī)臺數(shù)不會超過該種型號的發(fā)電機(jī)的總臺數(shù)，即：其中6.3問題一的優(yōu)化模型 發(fā)電機(jī)的工作安排，結(jié)合約束條件和目標(biāo)方程，即：目標(biāo)方程如下：W=+ 約束條件6.4結(jié)果表達(dá)6.4.1 通過lingo編程對問題一的模型進(jìn)行求解，得到發(fā)電機(jī)各個(gè)時(shí)段的工作情況見下表 。表三（1）：發(fā)電機(jī)工作安排表：（發(fā)電機(jī)以最大輸出功率輸出）型號臺數(shù)時(shí)段型號一型號二型號三型號四各時(shí)段成本運(yùn)行臺 數(shù)輸出功 率臺數(shù)平均功 率臺數(shù)平均功 率臺數(shù)平均功 率0-600415003200

10、00016.302萬6-96175041500820000029.046萬9-122175041500820000018.906萬12-142175041500820003350019.720萬12-182175041500820000024.608萬18-225175041500820000032.648萬22-24004150062000008.548萬總成本150.378萬元6.4.2 根據(jù)用電量和假設(shè)，所有的發(fā)電機(jī)均輸出最大功率，而實(shí)際生產(chǎn)中，為節(jié)約成本，發(fā)電機(jī)不一定輸出最大功率。根據(jù)運(yùn)行成本與發(fā)電機(jī)臺數(shù)和工作時(shí)間的線型關(guān)系確定發(fā)電機(jī)的實(shí)際輸出功率，目標(biāo)函數(shù)如下：通過lingo編程得到

11、結(jié)果表三（2）：發(fā)電機(jī)實(shí)際工作節(jié)約成本表功數(shù)臺號型型號一型號二型號三型號四各時(shí)段節(jié)約的成本運(yùn)行臺 數(shù)實(shí)際 功 率臺數(shù)實(shí)際功 率臺數(shù)實(shí)際功 率臺數(shù)實(shí)際功 率0-6004150032000000萬6-961666.674150082000000.405萬9-12215004150082000000.405萬12-14215004150082000335000萬12-18216004150082000000.540萬18-22517504150082000000.810萬22-24004150062000000萬總節(jié)約成本2.160萬元6.4.3 綜合以上結(jié)果對發(fā)電實(shí)際工作情況總結(jié)如下：表三（3）：

12、發(fā)電機(jī)實(shí)際工作情況表型號臺數(shù)時(shí)段型號一型號二型號三型號四各時(shí)段最終成本運(yùn)行臺 數(shù)實(shí)際功 率臺數(shù)實(shí)際功 率臺數(shù)實(shí)際功 率臺數(shù)實(shí)際功 率0-60041500320000016.302萬6-961666.6741500820000028.641萬9-122150041500820000018.501萬12-142150041500820003350019.720萬12-182160041500820000024.068萬18-225175041500820000031.838萬22-24004150062000008.548萬總成本148.218萬元6.4.4 結(jié)果分析在這種安排方案下，我們發(fā)現(xiàn)啟動

13、成本對結(jié)果的影響相對較小，這樣就使得固定成本和邊際成本費(fèi)用較少的型號二，型號三發(fā)電機(jī)在各個(gè)時(shí)段基本以最大輸出功率輸出且運(yùn)行臺數(shù)達(dá)到最大，而型號四發(fā)電機(jī)，在有些時(shí)段沒有運(yùn)行。對表三（2）分析知，發(fā)電機(jī)以最大功率輸出的假設(shè)比較合理，可以進(jìn)行推廣。 對表三（3）發(fā)電機(jī)的工作情況可知，發(fā)電機(jī)基本達(dá)到最大輸出功率，沒有留出20%的發(fā)電能力。7問題二的解答7.1確定目標(biāo)方程7.1.1固定成本與時(shí)間和臺數(shù)線性相關(guān)： 7.1.2 邊際成本是輸出最大功率發(fā)電機(jī)的邊際成本和沒有發(fā)出最大功率的發(fā)電機(jī)邊際成本之和，即：7.1.3 啟動成本是第一時(shí)間段內(nèi)啟動的發(fā)電機(jī)的啟動成本和后階段新啟動的發(fā)電機(jī)的啟動成本構(gòu)成，即：（

14、其中新啟動的發(fā)電機(jī)的啟動成本取決于新啟動的發(fā)電機(jī)與關(guān)閉的發(fā)電機(jī)無關(guān)，令 時(shí)） = 7.1.4 結(jié)合問題的分析，將固定成本、邊際成本和啟動成本求和就得到使得運(yùn)行成本最少的目標(biāo)函數(shù)：Min 7.2約束條件的建立 7.2.1在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)，發(fā)電機(jī)輸出的功率要滿足該時(shí)間段內(nèi)的用電量，即： 7.2.2 各種型號的發(fā)電機(jī)臺數(shù)不會超過該種型號的發(fā)電機(jī)的總臺數(shù)，即：其中7.3問題二的優(yōu)化模型 發(fā)電機(jī)的工作安排，結(jié)合約束條件和目標(biāo)方程，即：目標(biāo)方程如下：W=+ 約束條件如下：7.4 結(jié)果表達(dá)7.4.1利用lingo編程對問題二的模型進(jìn)行求解，得到發(fā)電機(jī)以最大功率輸出時(shí)的安排表如下：臺數(shù)時(shí)段型號一型號二型號三型號

15、四各時(shí)段成本(萬)運(yùn)行臺 數(shù)平均 功 率臺數(shù)平均功 率臺數(shù)平均功 率臺數(shù)平均功 率0-64140041200116000017.6706-97140041200816002280030.5279-127140021200816000020.34612-148140031200816003280020.90412-188140041200616000027.28818-228140041200716001280032.71622-24614004120031600009.280總成本158.731萬元表四（1）：發(fā)電機(jī)工作安排表（發(fā)電機(jī)以最大功率輸出）7.4.2根據(jù)用電量和假設(shè)，所有的發(fā)電機(jī)均輸

16、出最大功率，而實(shí)際生產(chǎn)中，為節(jié)約成本，發(fā)電機(jī)不一定輸出最大功率。根據(jù)運(yùn)行成本與發(fā)電機(jī)臺數(shù)和工作時(shí)間的線型關(guān)系確定發(fā)電機(jī)的實(shí)際輸出功率，目標(biāo)函數(shù)如下：Max 通過求解該線性模型得發(fā)電機(jī)實(shí)際工作節(jié)約成本。臺數(shù)時(shí)段型號一型號二型號三型號四各時(shí)段節(jié)約的成本（萬）運(yùn)行臺 數(shù)實(shí)際功 率臺數(shù)實(shí)際功 率臺數(shù)實(shí)際功 率臺數(shù)實(shí)際功 率0-64140041200116000006-9714004120081600223001.149-1271400212008160000012-1481400312008160032800012-18813254120061600000.64818-2281400412007160

17、012800022-24614004120031600000總節(jié)約成本1.788萬元表四（2）發(fā)電機(jī)實(shí)際工作節(jié)約成本表7.4.3 綜合以上結(jié)果，得到發(fā)電機(jī)此時(shí)實(shí)際工作情況。表四（3）發(fā)電機(jī)實(shí)際工作情況表數(shù)臺號型型號一型號二型號三型號四各時(shí)段最終的成本（萬）運(yùn)行臺 數(shù)實(shí)際功 率臺數(shù)實(shí)際功 率臺數(shù)實(shí)際功 率臺數(shù)平均功 率0-64100041500120000017.6706-97914.28641500820002180029.3879-127857.14321500820000020.34612-1481262.5031500820003180020.90412-1888754150062000

18、0026.6418-228102541500720001180032.71622-24610004150032000009.28總成本156.943萬元7.4.4 結(jié)果分析 從以上三個(gè)表中可以看到發(fā)電機(jī)的運(yùn)行情況有所改變。比較模型一和模型二不難發(fā)現(xiàn)模型二中型號一與型號四的運(yùn)行數(shù)目有所增多，這可能與他們的最大 最小輸出功率的差值較大有關(guān)，這樣型號一與型號四的發(fā)電機(jī)可余留的發(fā)電量較多。8.模型分析（1） 用lingo編程得到的結(jié)果較為準(zhǔn)確。（2） 模型的建立和假設(shè)是忽略了一些次要因素，使得結(jié)果有一定的偏差。（3） 通過對結(jié)果的進(jìn)一步調(diào)試，使得結(jié)果接近理想。9.參考文獻(xiàn) （1） 薛毅 ，數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)

19、， 高等教育出版社； 2004 （2） 韓中庚 ， 數(shù)學(xué)建模方法及其運(yùn)用（第一版）， 北京，高等教育出版社10.附錄問題一：各個(gè)時(shí)段每種型號發(fā)電機(jī)的運(yùn)行臺數(shù)!電力生產(chǎn)問題;sets:!時(shí)間段所對應(yīng)的時(shí)間長度和所需功率;time/1.7/:T,demand;!各種型號發(fā)電機(jī)對應(yīng)的最大數(shù)量、最大輸出功率、最小輸出功率、固定成本、邊際成本、啟動成本;xinghao/1.4/:shuliang,Pmin,Pmax,Wg,Wb,Wq;!實(shí)際工作的發(fā)電機(jī)數(shù)目、總花費(fèi)、實(shí)際功率;links(time,xinghao):X,cost,P;endsets!目標(biāo)函數(shù);min=sum(links(i,j):cost

20、);for(links(i,j)|i#ge#2:cost(i,j)=X(i,j)*Wg(j)*T(i)+(P(i,j)-Pmin(j)*X(i,j)*Wb(j)*T(i)+(X(i,j)-X(i-1,j)#ge#0)*(X(i,j)-X(i-1,j)*Wq(j);for(links(i,j)|i#eq#1:cost(i,j)=X(i,j)*Wg(j)*T(i)+(P(i,j)-Pmin(j)*X(i,j)*Wb(j)*T(i)+(X(i,j)-X(7,j)#ge#0)*(X(i,j)-X(7,j)*Wq(j);!發(fā)電機(jī)實(shí)際所用臺數(shù)的約束;for(links(i,j):X(i,j)<=sh

21、uliang(j);for(links(i,j):gin(X); !發(fā)電機(jī)實(shí)際所產(chǎn)生功率的約束;for(time(i):sum(xinghao(j):P(i,j)*X(i,j)>=demand(i);for(links(i,j):P(i,j)=Pmax(j);!數(shù)據(jù)部分;data:T=6,3,3,2,4,4,2;demand=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;shuliang=10,4,8,3;Pmax=1750,1500,2000,3500;Pmin=750,1000,1200,1800;Wg=2250,1800,3750,4800;W

22、b=2.7,2.2,1.8,3.8;Wq=5000,1600,2400,1200;enddataend對問題一調(diào)試的源程序如下： sets: A/1,2,3,4,5,6,7/:time,needs; B/1,2,3,4/:pmax,pmin,wb; links(A,B):power,sl,wj;endsetsdata: time=6 3 3 2 4 4 2; needs=12000 32000 25000 36000 25000 30000 18000; pmax=1750 1500 2000 3500; pmin=750 1000 1200 1800; wb=2.7 2.2 1.8 3.8;

23、 sl=0 4 3 0 6 4 8 0 2 4 8 0 2 4 8 3 2 4 8 0 5 4 8 0 0 4 6 0;enddata for(A(i):sum(B(j):power(i,j)*sl(i,j)>=needs(i); max=sum(links:wj); for(links(i,j):power(i,j)>=pmin(j); for(links(i,j):power(i,j)<=pmax(j); for(links(i,j):wj(i,j)=(pmax(j)-power(i,j)*sl(i,j)*wb(j)*time(i);end 問題二的源程序： 電力生產(chǎn)問題

24、;sets:!時(shí)間段所對應(yīng)的時(shí)間長度和所需功率;time/1.7/:T,demand;!各種型號發(fā)電機(jī)對應(yīng)的最大數(shù)量、最大輸出功率、最小輸出功率、固定成本、邊際成本、啟動成本;xinghao/1.4/:maxnumber,Pmin,Pmax,Wg,Wb,Wq;!實(shí)際工作的發(fā)電機(jī)數(shù)目、總花費(fèi)、實(shí)際功率;links(time,xinghao):X,cost,P;endsets!數(shù)據(jù)部分;data:T=6,3,3,2,4,4,2;maxnumber=10,4,8,3;demand=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;Pmax=1750,1500,2000,3500;Pmin=750,1000,1200,1800;Wg=2250,1800,3750,4800;Wb=2.7,2.2,1.8,3.8;Wq=5000,1600,2400,1200;enddata!目標(biāo)函數(shù);min=sum(links:cost);!發(fā)電機(jī)實(shí)際所用臺數(shù)的約束; for(links(i,j):X(i,j)<=maxnumber(j); for(links(i,j):gin(X);!發(fā)電機(jī)實(shí)際所產(chǎn)生功率的約束; for(time(i):sum(xinghao(j):P(i,j)*X(i,j)>=demand(i