高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)121抽樣方法與總體分布的估計(jì)

1、*第十二章 統(tǒng)計(jì)網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點(diǎn)目標(biāo)定位1.了解簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣及系統(tǒng)抽樣的意義，會用它們對簡單實(shí)際問題進(jìn)行抽樣.2.會用樣本頻率分布估計(jì)總體分布.3.會用樣本估計(jì)總體平均值和方差.復(fù)習(xí)方略指南在本章的復(fù)習(xí)中，要理解幾種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系.應(yīng)充分注意一些重要概念的實(shí)際意義，理解概率統(tǒng)計(jì)中處理問題的基本思想方法，掌握所學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)知識的實(shí)際應(yīng)用.這部分內(nèi)容高考命題趨向主要以選擇題、填空題為主，重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識、基本概念及其簡單的應(yīng)用.對有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用題要多加關(guān)注.12.1 抽樣方法與總體分布的估計(jì)知識梳理1.簡單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個總體的個體數(shù)為N，如果通過逐個抽取的方法從中抽取

2、一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣.2.分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.3.兩種抽樣方法的比較（略）.4.總體：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常把被研究的對象的全體叫做總體.5.頻率分布：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示.6.總體分布：從總體中抽取一個

3、個體，就是一次隨機(jī)試驗(yàn)，從總體中抽取一個容量為n的樣本，就是進(jìn)行了n次試驗(yàn)，試驗(yàn)連同所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機(jī)事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布.點(diǎn)擊雙基1.為調(diào)查參加運(yùn)動會的1000名運(yùn)動員的年齡情況，從中抽查了100名運(yùn)動員的年齡，就這個問題來說，下列說法正確的是A.1000名運(yùn)動員是總體B.每個運(yùn)動員是個體C.抽取的100名運(yùn)動員是樣本D.樣本容量是100解析：這個問題我們研究的是運(yùn)動員的年齡情況.因此應(yīng)選D.答案：D2.一個總體中共有10個個體，用簡單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個容量為3的樣本，則某特定個體入樣的概率是A.B.C.D.解析：用簡單隨機(jī)抽樣法從中抽取，則每個個體被抽到的概

4、率都相同為，所以選C.答案：C3.一個容量為n的樣本，分成若干組，已知某數(shù)的頻數(shù)和頻率分別為40、0.125，則n的值為A.640 B.320 C.240 D.160解析：=0.125，n=320.故選B.答案：B4.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的健康狀況，需從他們中抽取一個容量為36的樣本，在簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣這三種方法中較合適的抽樣方法是_.解析：要研究的總體里各部分情況差異較大，因此用分層抽樣.答案：分層抽樣5.某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中成績分布如下表：分?jǐn)?shù)段0，80）80，90）90，100）人數(shù)2）56分?jǐn)?shù)段100，110）110，120

5、 120，130）人數(shù)8126分?jǐn)?shù)段130，140）140，150）人數(shù)42那么分?jǐn)?shù)在100，110）中的頻率和分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率分別是_、_（精確到0.01）.解析：由頻率計(jì)算方法知：總?cè)藬?shù)=45.分?jǐn)?shù)在100，110）中的頻率為 =0.1780.18.分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率為=0.47.答案：0.18 0.47典例剖析【例1】 （2004年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點(diǎn)中抽取一個容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收

6、入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為.則完成、這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D.簡單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法剖析：此題為抽樣方法的選取問題.當(dāng)總體中個體較多時宜采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個體較少時，宜采用隨機(jī)抽樣.依據(jù)題意，第項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣法.故選B.答案：B評述：采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個體情況來定.【例2】 （2004年福建，15）一個總體中有100個個體，隨機(jī)編號為0，1，2，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1

7、，2，3，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號碼為m，那么在第k小組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同.若m=6，則在第7組中抽取的號碼是_.剖析：此問題總體中個體的個數(shù)較多，因此采用系統(tǒng)抽樣.按題目中要求的規(guī)則抽取即可.m=6，k=7，m+k=13，在第7小組中抽取的號碼是63.答案：63評述：當(dāng)總體中個體個數(shù)較多而差異又不大時可采用系統(tǒng)抽樣.采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時應(yīng)按規(guī)則進(jìn)行.【例3】 把容量為100的某個樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩下三組中頻數(shù)最高

8、的一組的頻數(shù)為_.剖析：已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問題，因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為10.79=0.21，進(jìn)而求出后三組的共有頻數(shù)，或者先求前七組共有頻數(shù)后，再計(jì)算后三組的共有頻數(shù).由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79×100=79，故后三組共有的頻數(shù)為21，依題意=21，a1（1+q+q2）=21.a1=1，q=4.后三組頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為16.答案：16評述：此題剖析只按第二種思路給出了解答，你能按第一種思路來解嗎？【例4】 對某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽命（h）100200200300300400400500500600個 數(shù)2030804

9、030（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖；（3）估計(jì)電子元件壽命在100400 h以內(nèi)的概率；（4）估計(jì)電子元件壽命在400 h以上的概率.剖析：通過本題可掌握總體分布估計(jì)的各種方法和步驟.解：（1）頻率分布表如下：壽命（h）頻數(shù)頻率累積頻率100200200.100.10200300300.150.25300400800.400.65400500400.200.85500600300.151合 計(jì)2001（2）頻率分布直方圖如下：（3）由累積頻率分布圖可以看出，壽命在100400 h內(nèi)的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65，所以我們估計(jì)電子元件壽命在100400 h內(nèi)的概

10、率為0.65.（4）由頻率分布表可知，壽命在400 h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35，故我們估計(jì)電子元件壽命在400 h以上的概率為0.35.評述：畫頻率分布條形圖、直方圖時要注意縱、橫坐標(biāo)軸的意義.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.（2004年江蘇，6）某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為A.0.6 h B.0.9 hC.1.0 h D.1.5 h解析：=0.9.答案：B2.某單位有職工100人，不到35歲的有45人，35歲到49歲的有25人

11、，剩下的為50歲以上的人，用分層抽樣法從中抽取20人，各年齡段分別抽取的人數(shù)為A.7，5，8 B.9，5，6C.6，5，9 D.8，5，7解析：45×=×45=9，25×=5，30×=6.答案：B3.某單位共有N個職工，要從N個職工中采用分層抽樣法抽取n個樣本，已知該單位的某一部門有M個員工，那么從這一部門中抽取的職工數(shù)為_.答案：4.下圖是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空：（1）樣本數(shù)據(jù)落在范圍6，10）內(nèi)的頻率為_；（2）樣本數(shù)據(jù)落在范圍10，14）內(nèi)的頻數(shù)為_；（3）總體在范圍2，6）內(nèi)的概率約為_.答案：（1）0.32

12、（2）36 （3）0.085.舉例說明簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣兩種抽樣方法，無論使用哪一種抽樣方法，總體中的每一個個體被抽到的概率都相等.解：袋中有160個小球，其中紅球48個，藍(lán)球64個，白球16個，黃球32個，從中抽取20個作為一個樣本.（1）使用簡單隨機(jī)抽樣：每個個體被抽到的概率為=.（2）使用分層抽樣：四種球的個數(shù)比為3412.紅球應(yīng)抽×20=6個；藍(lán)球應(yīng)抽×20=8個；白球應(yīng)抽×20=2個；黃球應(yīng)抽×20=4個.由于=，所以，按顏色區(qū)分，每個球被抽到的概率也都是.培養(yǎng)能力6.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，可分為一等品、二等品、三等品三類，根據(jù)抽樣檢驗(yàn)的記錄有

13、一等品54個、二等品140個、三等品6個.（1）估計(jì)三種產(chǎn)品的概率；（2）畫出頻率分布條形圖.解：（1）0.27，0.7，0.03.（2）頻率分布條形圖如下.7.有點(diǎn)難度喲！某縣政府機(jī)關(guān)在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級人事部門為了了解職工對機(jī)構(gòu)改革的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試說明具體實(shí)施辦法，并證明用這種抽樣方法可使總體中每個個體被抽到的概率相等.解：因機(jī)構(gòu)改革關(guān)系到所有人的利益，故采用分層抽樣方法較宜.=，10×=2，70×=14，20×=4.故從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中

14、抽取4人.副處級以上干部被抽到的概率為=，一般干部被抽到的概率為=，工人被抽到的概率為=，即每個個體被抽到的概率都是=.8.有點(diǎn)難度喲！從一個養(yǎng)魚池中捕得m條魚，作上記號后再放入池中，數(shù)日后又捕得n條魚，其中k條有記號，請估計(jì)池中有多少條魚.解：設(shè)池中有N條魚，第一次捕得m條作上記號后放入水池中，則池中有記號的魚占；第二次捕得n條，則這n條魚是一個樣本，其中有記號的魚占.我們用樣本來估計(jì)總體分布，令=，N=.探究創(chuàng)新9.有點(diǎn)難度喲！1936年，美國進(jìn)行總統(tǒng)選舉，競選的是民主黨的羅斯福和共和黨的蘭登，羅斯福是在任的總統(tǒng).美國權(quán)威的文學(xué)摘要雜志社，為了預(yù)測總統(tǒng)候選人誰能當(dāng)選，采用了大規(guī)模的模擬選舉

15、，他們以電話簿上的地址和俱樂部成員名單上的地址發(fā)出1000萬封信，收到回信200萬封，在調(diào)查史上，樣本容量這么大是少見的，雜志社花費(fèi)了大量的人力和物力，他們相信自己的調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，即蘭登將以57%對43%的比例獲勝，并大力進(jìn)行宣傳.最后選舉結(jié)果卻是羅斯福以62%對38%的巨大優(yōu)勢獲勝，連任總統(tǒng).這個調(diào)查使文學(xué)摘要雜志社威信掃地，不久只得關(guān)門停刊.試分析這次調(diào)查失敗的原因.解：失敗的原因：抽樣方法不正確.樣本不是從總體（全體美國公民）中隨機(jī)地抽取，1936年，美國有私人電話和參加俱樂部的家庭，都是比較富裕的家庭.19291933年的世界經(jīng)濟(jì)危機(jī)，使美國經(jīng)濟(jì)遭到沉重打擊，“羅斯福新政”動用行政手段

16、干預(yù)市場經(jīng)濟(jì)，損害了部分富人的利益，但廣大的美國人民卻從中得到了好處.所以，從這部分富人中抽取的樣本嚴(yán)重偏離了總體，導(dǎo)致樣本不具有代表性.思悟小結(jié)1.采用什么抽樣方法，要視情況來定：當(dāng)總體中的個體較少時，一般可用隨機(jī)抽樣；當(dāng)總體中的個體較多時，一般可用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時，一般可用分層抽樣.2.用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個基本思想方法.用樣本估計(jì)總體，本節(jié)主要研究在整體上用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.常用的抽樣方法有三種：簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣，其中第一種是最簡單、最基本的抽樣方法.三種抽樣方法的共同點(diǎn)：都是等概率抽樣，體現(xiàn)了抽樣

17、的公平性；三種抽樣方法各有其特點(diǎn)和適用的范圍.2.總體分布反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率.當(dāng)總體中所取不同數(shù)值比較少時，常用條形圖表示相應(yīng)樣本的頻率分布；否則，常用頻率分布直方圖表示相應(yīng)樣本的頻率分布.3.系統(tǒng)抽樣的步驟：（1）將總體中的個體隨機(jī)編號；（2）將編號分段；（3）在第1段中用簡單隨機(jī)抽樣確定起始的個體編號；（4）按照事先研究的規(guī)則抽取樣本.4.分層抽樣的步驟：（1）分層；（2）按比例確定每層抽取個體的個數(shù)；（3）各層抽樣（方法可以不同）；（4）匯合成樣本.5.解決總體分布估計(jì)問題的一般程序如下：（1）先確定分組的組數(shù)（最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差除以組距得組數(shù)）；（2）分別計(jì)算各組的頻數(shù)及頻率（頻率=）；（3）畫出頻率分布直方圖，并作出相應(yīng)的估計(jì).6.條形圖是用其高度表示取各值的頻率；直方圖是用圖形面積的大小表示在各區(qū)間內(nèi)取值的頻率；累積頻率分布圖是一條折線，利用任意兩端值的累積頻率之差表示樣本數(shù)據(jù)在這兩點(diǎn)值之間的頻率.拓展題例【例1】 （2004年遼寧省重點(diǎn)高中模擬題）用系統(tǒng)抽樣法要從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生隨機(jī)地從1160編號，按編號順序平均分成20組（18號，916號，153160號），若第16組抽出的號碼為126，則第1組中用抽簽的方法確定的號碼是_.解析：不妨設(shè)在第1組中隨機(jī)抽到的號碼為x，則在第16組中應(yīng)抽出的號