高考理科數(shù)學(xué)輔導(dǎo)直線和圓的方程

1、第八章直線和圓的方程高考導(dǎo)航考試要求 重難點(diǎn)擊命題展望1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率的計(jì)算公式.3.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.4.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.5.掌握用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).6.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行線間的距離.7.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.8.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.9.能用直線和圓的方

2、程解決簡單的問題.10.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.11.了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，會推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式.本章重點(diǎn)：1.傾斜角和斜率的概念；2.根據(jù)斜率判定兩條直線平行與垂直；3.直線的點(diǎn)斜式方程、一般式方程；4.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；5.點(diǎn)到直線的距離和兩條平行直線間的距離的求法；6.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；7.能根據(jù)給定直線，圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；8.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和代數(shù)方法解決幾何問題.本章難點(diǎn)：1.直線的斜率與它的傾斜角之間的關(guān)系；2.根據(jù)斜率判定兩條直線的位置關(guān)系；3.直線方程的應(yīng)用；4.點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)；5.圓的方程的應(yīng)

3、用；6.直線與圓的方程的綜合應(yīng)用.本章內(nèi)容常常與不等式、函數(shù)、向量、圓錐曲線等知識結(jié)合起來考查.直線和圓的考查，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于容易題和中檔題；如果和圓錐曲線一起考查，難度比較大.同時(shí)，對空間直角坐標(biāo)系的考查難度不大，一般為選擇題或者填空題.本章知識點(diǎn)的考查側(cè)重考學(xué)生的綜合分析問題、解決問題的能力，以及函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的能力等.知識網(wǎng)絡(luò)8.1直線與方程典例精析題型一直線的傾斜角【例1】直線2xcos y30，的傾斜角的變化范圍是()A.， B.， C.， D.，【解析】直線2xcos y30的斜率k2cos ，由于，所以cos ，k2cos 1，.設(shè)直線的傾斜角為，則有t

4、an 1，由于0，)，所以，即傾斜角的變化范圍是，故選B.【點(diǎn)撥】利用斜率求傾斜角時(shí)，要注意傾斜角的范圍.【變式訓(xùn)練1】已知M(2m3，m)，N(m2,1)，當(dāng)m時(shí)，直線MN的傾斜角為銳角；當(dāng)m時(shí)，直線MN的傾斜角為直角；當(dāng)m時(shí)，直線MN的傾斜角為鈍角.【解析】直線MN的傾斜角為銳角時(shí)，k0m5或m1；直線MN的傾斜角為直角時(shí)，2m3m2m5；直線MN的傾斜角為鈍角時(shí)，k05m1.題型二直線的斜率【例2】已知A(1，5)，B(3，2)，直線l的傾斜角是直線AB的傾斜角的2倍，求直線l的斜率.【解析】由于A(1，5)，B(3，2)，所以kAB，設(shè)直線AB的傾斜角為，則tan ，l的傾斜角為2，t

5、an 2.所以直線l的斜率為.【點(diǎn)撥】直線的傾斜角和斜率是最重要的兩個(gè)概念，應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)概念，扎實(shí)地記住計(jì)算公式，傾斜角往往會和三角函數(shù)的有關(guān)知識聯(lián)系在一起.【變式訓(xùn)練2】設(shè)是直線l的傾斜角，且有sin cos ，則直線l的斜率為()A.B.C.D.或【解析】選C.sin cos sin cos 0sin ，cos 或cos ，sin (舍去)，故直線l的斜率ktan .題型三直線的方程【例3】求滿足下列條件的直線方程.(1)直線過點(diǎn)(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等；(2)直線過點(diǎn)(2,1)，且原點(diǎn)到直線的距離為2.【解析】(1)當(dāng)截距為0時(shí)，直線過原點(diǎn)，直線方程是2x3y0；當(dāng)截距不

6、為0時(shí)，設(shè)方程為1，把(3,2)代入，得a5，直線方程為xy50.故所求直線方程為2x3y0或xy50.(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程x20合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，則設(shè)直線方程為y1k(x2)，即kxy12k0，所以2，解得k，方程為3x4y100.故所求直線方程為x20或3x4y100.【點(diǎn)撥】截距可以為0，斜率也可以不存在，故均需分情況討論.【變式訓(xùn)練3】求經(jīng)過點(diǎn)P(3，4)，且橫、縱截距互為相反數(shù)的直線方程.【解析】當(dāng)橫、縱截距都是0時(shí)，設(shè)直線的方程為ykx.因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(3，4)，所以43k，得k.此時(shí)直線方程為yx.當(dāng)橫、縱截距都不是0時(shí)，設(shè)直線的方程為1，因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(3，4)，

7、所以a347.此時(shí)方程為xy70.綜上，所求直線方程為4x3y0或xy70.題型四直線方程與最值問題【例4】過點(diǎn)P(2,1)作直線l分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)ABO的面積最小時(shí)，求直線l的方程.【解析】方法一：設(shè)直線方程為1(a0，b0)，由于點(diǎn)P在直線上，所以1.·()2，當(dāng)時(shí)，即a4，b2時(shí)，·取最大值，即SAOBab取最小值4，所求的直線方程為1，即x2y40.方法二：設(shè)直線方程為y1k(x2)(k0)，直線與x軸的交點(diǎn)為A(，0)，直線與y軸的交點(diǎn)為B(0，2k1)，由題意知2k10，k0,12k0.SAOB(12k)·()(4

8、k)4244.當(dāng)4k，即k時(shí)，SAOB有最小值，所求的直線方程為y1(x2)，即x2y40.【點(diǎn)撥】求直線方程，若已知直線過定點(diǎn)，一般考慮點(diǎn)斜式；若已知直線過兩點(diǎn)，一般考慮兩點(diǎn)式；若已知直線與兩坐標(biāo)軸相交，一般考慮截距式；若已知一條非具體的直線，一般考慮一般式.【變式訓(xùn)練4】已知直線l：mx(m21)y4m(mR).求直線l的斜率的取值范圍.【解析】由直線l的方程得其斜率k.若m0，則k0；若m0，則k，所以0k；若m0，則k，所以k0.綜上，k.總結(jié)提高1.求斜率一般有兩種類型：其一，已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)k求斜率；其二，已知傾斜角或的三角函數(shù)值，根據(jù)ktan 求斜率，但要注意斜率不存在時(shí)的情

9、形.2.求傾斜角時(shí)，要注意直線傾斜角的范圍是0，).3.求直線方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目條件，選擇合適的直線方程形式，從而使求解過程簡單明確.設(shè)直線方程的截距式，應(yīng)注意是否漏掉過原點(diǎn)的直線；設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，應(yīng)注意是否漏掉斜率不存在的直線.8.2兩條直線的位置關(guān)系典例精析題型一兩直線的交點(diǎn)【例1】若三條直線l1：2xy30，l2：3xy20和l3：axy0不能構(gòu)成三角形，求a的值.【解析】l3l1時(shí)，a2a2；l3l2時(shí)，a3a3；由將(1，1)代入axy0a1.綜上，a1或a2或a3時(shí)，l1、l2、l3不能構(gòu)成三角形.【點(diǎn)撥】三條直線至少有兩條平行時(shí)或三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)不能構(gòu)成三角形.【變式訓(xùn)

10、練1】已知兩條直線l1：a1xb1y10和l2：a2xb2y10的交點(diǎn)為P(2,3)，則過A(a1，b1)，B(a2，b2)的直線方程是.【解析】由P(2,3)為l1和l2的交點(diǎn)得故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐標(biāo)滿足方程2x3y10，即直線2x3y10必過A(a1，b1)，B(a2，b2)兩點(diǎn).題型二兩直線位置關(guān)系的判斷【例2】已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值.(1)l1l2，且l1過點(diǎn)(3，1)；(2)l1l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到兩條直線的距離相等.【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，所以k21a，若k20，則1a0，即a1.因?yàn)閘1

11、l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b0，又l1過點(diǎn)(3，1)，所以3ab40，而a1，b0代入上式不成立，所以k20.因?yàn)閗20，即k1，k2都存在，因?yàn)閗21a，k1，l1l2， 所以k1k21，即(1a)1，又l1過點(diǎn)(3，1)，所以3ab40，聯(lián)立上述兩個(gè)方程可解得a2，b2.(2)因?yàn)閘2的斜率存在，又l1l2，所以k1k2，即(1a)，因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1l2，所以 l1，l2在y軸的截距互為相反數(shù)，即b，聯(lián)立上述方程解得a2，b2或a，b2，所以a，b的值分別為2和2或和2.【點(diǎn)撥】運(yùn)用直線的斜截式y(tǒng)kxb時(shí)，要特別注意直線斜率不存在時(shí)的特殊情況.求解兩條直

12、線平行或垂直有關(guān)問題時(shí)，主要是利用直線平行和垂直的充要條件，即“斜率相等”或“斜率互為負(fù)倒數(shù)”.【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).點(diǎn)P(0，p)是線段AO上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn))，這里a，b，c，p均為非零實(shí)數(shù)，設(shè)直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為()x()y0，則直線OF的方程為.【解析】由截距式可得直線AB：1，直線CP：1，兩式相減得()x()y0，顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程，又原點(diǎn)O也滿足此方程，故所求直線OF的方程為()x()y0.題型三點(diǎn)到直線的距離【例

13、3】已知ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，)(1m4)，當(dāng)ABC的面積S最大時(shí)，求m的值.【解析】因?yàn)锳(1,1)，B(4,2)，所以|AB|，又因?yàn)橹本€AB的方程為x3y20，則點(diǎn)C(m，)到直線AB的距離即為ABC的高，設(shè)高為h，則h，S|AB|·h|m32|，令t，則1t2，所以S|m32|t23t2|(t)2|，由圖象可知，當(dāng)t時(shí)，S有最大值，此時(shí)，所以m.【點(diǎn)撥】運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般形式.求最值可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用處理代數(shù)問題的方法解決.【變式訓(xùn)練3】若動點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)分別在直線l1：xy50，l2：xy150上移動

14、，求P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值.【解析】方法一：因?yàn)镻1、P2分別在直線l1和l2上，所以()÷2，得100，所以P1P2的中點(diǎn)P(，)在直線xy100上，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線xy100的距離d5.所以，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為5.方法二：設(shè)l為夾在直線l1和l2之間且和l1與l2的距離相等的直線.令l：xyc0，則5c15，且，解得c10.所以l的方程為xy100.由題意知，P1P2的中點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線l的距離d5，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為5.總結(jié)提高1.求解與兩直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí)，主要是利用兩直線平行或垂直的條件，

15、即“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”.若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究.2.學(xué)會用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗(yàn)等基本的數(shù)學(xué)方法和思想.特別是注意數(shù)形結(jié)合思想方法，根據(jù)題意畫出圖形不僅易于找到解題思路，還可以避免漏解和增解，同時(shí)還可以充分利用圖形的性質(zhì)，挖掘出某些隱含條件，找到簡捷解法.3.運(yùn)用公式d求兩平行直線之間的距離時(shí)，要注意把兩直線方程中x、y的系數(shù)化成分別對應(yīng)相等.8.3圓的方程典例精析題型一求圓的方程【例1】求經(jīng)過兩點(diǎn)A(1,4)，B(3,2)且圓心在y軸上的圓的方程.【解析】方法一：設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，則圓心為(，)，由已知得即解得 D0，E2，F(xiàn)9，

16、所求圓的方程為x2y22y90.方法二：經(jīng)過A(1,4)，B(3,2)的圓，其圓心在線段AB的垂直平分線上，AB的垂直平分線方程為y32(x1)，即y2x1.令x0，y1，圓心為(0,1)，r ，圓的方程為x2(y1)210.【點(diǎn)撥】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程都有三個(gè)參數(shù)，只要求出a、b、r或D、E、F，則圓的方程確定，所以確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件.【變式訓(xùn)練1】已知一圓過P(4，2)、Q(1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4，求圓的方程.【解析】設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，將P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得令x0，由得y2EyF0，由已知|y1y2|4，其中y1、y2是方程的兩根.所以(

17、y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48，解、組成的方程組，得D2，E0，F(xiàn)12或D10，E8，F(xiàn)4，故所求圓的方程為x2y22x120或x2y210x8y40.題型二與圓有關(guān)的最值問題【例2】若實(shí)數(shù)x，y滿足(x2)2y23.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)(x4)2(y3)2的最大值和最小值.【解析】(1)，即連接圓上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率，因此的最值為過原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)該直線的斜率，設(shè)k，ykx，kxy0.由，得k±，所以的最大值為，的最小值為.(2)令x2cos ，ysin ，0,2).所以yxsin cos 2sin()2，當(dāng)sin()

18、1時(shí)，yx的最小值為2.(3)(x4)2(y3)2是圓上點(diǎn)與點(diǎn)(4,3)的距離的平方，因?yàn)閳A心為A(2,0)，B(4,3)，連接AB交圓于C，延長BA交圓于D.|AB|，則|BC|，|BD|，所以(x4)2(y3)2的最大值為()2，最小值為()2.【點(diǎn)撥】涉及與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地：形如U形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；形如(xa)2(yb)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為圓心已定的動圓半徑的最值問題.【變式訓(xùn)練2】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2y23(y0).試求m及b2xy的取值范圍.【解析】如圖，m可看作半圓x2y23(y0)上的點(diǎn)與定點(diǎn)A(3，1

19、)連線的斜率，b可以看作過半圓x2y23(y0)上的點(diǎn)且斜率為2的直線的縱截距.由圖易得m，2b.題型三圓的方程的應(yīng)用【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f(x)x22xb(xR)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)問圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))？請證明你的結(jié)論.【解析】(1)令x0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0，b)，由題意b0，且0，解得b1且b0.(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，這與x22xb0是同一個(gè)方程，故D2，F(xiàn)b.令x0，得y2EyF0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出Eb1

20、.所以圓C的方程為x2y22x(b1)yb0.(3)圓C必過定點(diǎn)，證明如下：假設(shè)圓C過定點(diǎn)(x0，y0)(x0，y0不依賴于b)，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，并變形為xy2x0y0b(1y0)0，(*)為使(*)式對所有滿足b1(b0)的b都成立，必須有1y00，結(jié)合(*)式得xy2x0y00，解得或經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0,1)，(2,1)均在圓C上，因此圓C過定點(diǎn).【點(diǎn)撥】本題(2)的解答用到了代數(shù)法求過三點(diǎn)的圓的方程，體現(xiàn)了設(shè)而不求的思想.(3)的解答同樣運(yùn)用了代數(shù)的恒等思想，同時(shí)問題體現(xiàn)了較強(qiáng)的探究性.【變式訓(xùn)練3】(2010安徽)動點(diǎn)A(x，y)在圓x2y21上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)

21、，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知時(shí)間t0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(，)，則當(dāng)0t12時(shí)，動點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.0,1 B.1,7C.7,12 D.0,1和7,12【解析】選D.由題意知角速度為，故可得ysin(t),0t12，t或t，所以0t1或7t12.所以單調(diào)遞增區(qū)間為0,1和7,12.總結(jié)提高1.確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”是解題的基本方法.一般來講，條件涉及圓上的多個(gè)點(diǎn)，可選擇一般方程；條件涉及圓心和半徑，可選圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.解決與圓有關(guān)的問題，應(yīng)充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)幫助解題.解決與圓有關(guān)的最值問題時(shí)，可根據(jù)代數(shù)式子的幾何意義，借助于平面幾

22、何知識，數(shù)形結(jié)合解決.也可以利用圓的參數(shù)方程解決最值問題.8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系典例精析題型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷【例1】已知圓的方程x2y22，直線yxb，當(dāng)b為何值時(shí)，(1)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).【解析】方法一：(幾何法)設(shè)圓心O(0,0)到直線yxb的距離為d，d，半徑r.當(dāng)dr時(shí)，直線與圓相交，2b2，所以當(dāng)2b2時(shí)，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)dr時(shí)，直線與圓相切，b±2，所以當(dāng)b±2時(shí)，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).方法二：(代數(shù)法)聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組消去y得2x22bxb220，164b2.當(dāng)0，即2b2時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；

23、當(dāng)0，即b±2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn).【點(diǎn)撥】解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，既要運(yùn)用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì)，又要結(jié)合待定系數(shù)法運(yùn)用直線方程中的基本關(guān)系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習(xí)慣.【變式訓(xùn)練1】圓2x22y21與直線xsin y10(R，k，kZ)的位置關(guān)系是()A.相離B.相切C.相交 D.不能確定【解析】選A.易知圓的半徑r，設(shè)圓心到直線的距離為d，則d.因?yàn)閗，kZ.所以0sin21，所以d1，即dr，所以直線與圓相離.題型二圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用【例2】如果圓C：(xa)2(ya)24上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】到原點(diǎn)的距離等于1

24、的點(diǎn)在單位圓O：x2y21上.當(dāng)圓C與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，符合題意，故應(yīng)滿足21|OC|21，所以13，即|a|，所以a或a為所求a的范圍.【變式訓(xùn)練2】兩圓(x1)2(y1)2r2和(x2)2(y2)2R2相交于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.【解析】由兩圓的方程可知它們的圓心坐標(biāo)分別為(1,1)，(2，2)，則過它們圓心的直線方程為，即yx.根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點(diǎn)應(yīng)關(guān)于過它們圓心的直線對稱.故由P(1,2)可得它關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，1).題型三圓的弦長、中點(diǎn)弦的問題【例3】已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2y24x12y240.(1)若直線l

25、過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程；(2)求圓C內(nèi)過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】(1)如圖，AB4，D是AB的中點(diǎn)，則AD2，AC4，在RtADC中，可得CD2.設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為 y5kx，即kxy50.由點(diǎn)C到直線的距離公式2，得k，此時(shí)直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)的方程為x0.所以所求直線為x0或3x4y200.(也可以用弦長公式求解)(2)設(shè)圓C上過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，因?yàn)镃DPD，所以0，即(x2，y6)·(x，y5)0，化簡得軌跡方程x2y22x11y300.【點(diǎn)撥】在研究與弦的中點(diǎn)有關(guān)問

26、題時(shí)，注意運(yùn)用“平方差法”，即設(shè)弦AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)為(x0，y0)，由得k.該法常用來解決與弦的中點(diǎn)、直線的斜率有關(guān)的問題.【變式訓(xùn)練3】已知圓的方程為x2y26x8y0，設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A.10B.20C.30D.40【解析】選B.圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(x3)2(y4)225，過點(diǎn)(3,5)的最長弦為AC10，最短弦為BD24，SAC·BD20.總結(jié)提高1.解決直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系有代數(shù)法和幾何法兩種，用幾何法解題時(shí)要注意抓住圓的幾何特征，因此常常要比代數(shù)法簡捷.例

27、如，求圓的弦長公式比較復(fù)雜，利用l2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)求弦長比代數(shù)法要簡便.2.處理直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，要全面地考查各種位置關(guān)系，防止漏解，如設(shè)切線為點(diǎn)斜式，要考慮斜率不存在的情況是否合題意，兩圓相切應(yīng)考慮外切和內(nèi)切兩種情況.3.處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，特別是有關(guān)交點(diǎn)問題時(shí)，為避免計(jì)算量過大，常采用“設(shè)而不求”的方法.8.5直線與圓的綜合應(yīng)用 典例精析題型一直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用【例1】已知圓C：(x1)2(y2)225及直線l：(2m1)x(m1)y7m4 (mR).(1)求證：不論m為何值，直線l恒過定點(diǎn)；(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；(3)求直線l被圓截得的

28、弦長最短時(shí)的弦長及此時(shí)直線的方程.【解析】(1)證明：直線方程可寫作xy4m(2xy7)0，由方程組可得所以不論m取何值，直線l恒過定點(diǎn)(3,1).(2)由5，故點(diǎn)(3,1)在圓內(nèi)，即不論m取何值，直線l總與圓C相交.(3)由平面幾何知識可知，當(dāng)直線與過點(diǎn)M(3,1)的直徑垂直時(shí)，弦|AB|最短. |AB|224，此時(shí) k，即2，解得m，代入原直線方程，得l的方程為2xy50.【點(diǎn)撥】解決弦長問題時(shí)，可利用弦長的幾何意義求解.【變式訓(xùn)練1】若函數(shù)f(x)eax的圖象在x0處的切線l與圓C：x2y21相離，則P(a，b)與圓C的位置關(guān)系是()A.在圓外B.在圓內(nèi)C.在圓上D.不能確定【解析】選B

29、.f(x)eaxf(x)eaxf(0).又f(0)，所以切線l的方程為y(x0)，即axby10，由l與圓C：x2y21相離得11，即點(diǎn)P(a，b)在圓內(nèi)，故選B.題型二和圓有關(guān)的對稱問題【例2】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x2y22x6y10上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線xmy40對稱，又滿足·0.(1)求m的值；(2)求直線PQ的方程.【解析】(1)曲線方程可化為(x1)2(y3)29，是圓心為(1,3)，半徑為3的圓.因?yàn)辄c(diǎn)P，Q在圓上且關(guān)于直線xmy40對稱，所以圓心(1,3)在直線xmy40上，代入得m1.(2)因?yàn)橹本€PQ與直線yx4垂直，所以設(shè) P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則直線PQ的方程為yxb.將直線yxb代入圓的方程，得2x22(4b)xb26b10，4(4b)24×2(b26b1)0，解得23b23.x1x2b4，x1x2，y1y2(x1b)(x2b)b2b(x1x2)x1x2，因?yàn)?#183;0，所以x1x2y1y20，即0，得b1.故所求的直線方程為yx1.【點(diǎn)撥】平面向量與圓的交匯是平面解析幾何的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，解題時(shí)，一方面要能夠正確地分析用向量表達(dá)式給出的題目的條件，將它們轉(zhuǎn)化為圖形中相應(yīng)的位置關(guān)系，另一方面還要善于運(yùn)用