基本不等式完整版

1、一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、基本不等式原始形式題型一：利用基本不等式證明不等式(1)若 a,b R,則 a2b22ab1、設(shè)a,b均為正數(shù)，證明不等式：癡 21若a,b R,貝U ab22、基本不等式一般形式（均值不等式）若 a,b R*,則 a b2vab3、基本不等式的兩個(gè)重要變形（1）若 a,b R*,則 ab22、已知b23、已知a,一、 ._ *(2)右 a,b R ,則 ab總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，它們的和有最小值； 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，它們的積有最小值;特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“二”4、求最值的條件:5、常用結(jié)論“一正4、(15、a)(1(1)若 x0,則(2)

2、若 X0,貝Ux1x x12（當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)取“=”)2（當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)取“=”)(3)若 ab2 （當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)取“=”)(4)若 a,bR，則 abb2(5)若 a, b特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”6、柯西不等式(1)若 a,b, c,d R,則(a2 b2)(c2 d2) (ac bd )2(2)若 a1,a2,a3,bi,b2,b3 R ,則有:(a；a22232)(心2b2232)(aQ a2b2a3b3)2(3)設(shè)a1，a2, ,an與b1,b2, ,bn是兩組實(shí)數(shù)，則有2a2an2)(b； b22bn2)(砧 a2b2以以)2、題型分析a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)

3、abbccaa,b,c1,求證:b)(1 c) 8abca,b,c R111-1-1bc6、（2013年新課標(biāo)n卷數(shù)學(xué)設(shè)均為正數(shù)，且，證明：(I); ( n).7、（2013年江蘇卷（數(shù)學(xué)）(理)b2選彳4 5:不等式選講選彳45:不等式選講已知 a b 0,求證：2a3 b3 2ab2題型二：利用不等式求函數(shù)值域 1、求下列函數(shù)的值域(1) y 3x2(3) y xa2b12x2(2)x(4 x)1 (x 0)x(4)1 ,x (x 0)x52、已知x 一 ,求函數(shù)y 4X 2 的取大值;44x 5題型三：利用不等式求最值(一)(湊項(xiàng))41、已知x 2,求函數(shù)y 2x 4 的最小值;2x 4

4、艾式1:已知x2,求函數(shù)y2x42x 4的最小值；變式2:已知x2,求函數(shù)y2x4的最大值；2x 4練習(xí)：1、已知x5,求函數(shù)y4x12 一的最小值;44x5題型四：利用不等式求最值(二)(湊系數(shù))1、當(dāng)時(shí)，求y x(8 2x)的最大值；變式1：當(dāng)時(shí)，求y 4x(8 2x)的最大值;3變式2：設(shè)0 x -,求函數(shù)y 4x(3 2x)的最大值。2、若0 x 2 ,求y ，x(6 3x)的最大值;變式1：已知a,b 0,a 2b 2 ,求t11-1的最小值;a b、,、 一，2 8變式2：已知x, y 0,- - 1 ,求xy的最小值;x y變式：若0 x 4,求y ,x(8 2x)的最大值;3、

5、求函數(shù)y J2x 1 5 2x(- x -)的最大值;22(提示：平方，利用基本不等式)變式：求函數(shù)y 44x 3 <11 4x(3 x U)的最大值;4411.變式3：已知x, y 0 ,且一一 9 ,求x y的最小值。x y19變式4：已知x, y 0 ,且一一 x y4 ,求x y的最小值;題型五：巧用“ 1”的代換求最值問題一，11 ,1、已知a,b 0,a 2b 1 ,求t - -的最小值;a b法一：變式5:(1)若 x, y 0 且 2x y111,求一一的最小值； x y艾式：求函數(shù)2x yx（x 1）的值域；1(2)若a,b,x, y R 且 ab 1,求x y的最小值

6、；xy2、求函數(shù)yJx 22x 5的最大值；（提示：換元法）變式6：已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足：a7 a6 2a5,若14 . 一 , .存在兩項(xiàng)am，an,使得；aman4a1，求一 一的最小值；m n、, ，一一xx 1變式：求出數(shù)y 的最大值；4x 9題型六：分離換元法求最值（了解）題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用2_一.x2 7x 101、求函數(shù)y(x1)的值域；x 11、已知log 2 a log 2 b 1 ,求3a 9b的最小值2、（2009天津）已知a,b 0,求1 2每的最小值;a b變式1:已知a,b 0 ,滿足ab a b 3,求ab范圍;變式1： （2010四川）如果a b

7、0 ,求關(guān)于a,b的表達(dá),、211. 一 . 一式a 的取小值；ab a（a b）變式2： （2010山東）已知x, y 0, -2 x 2 y 3求xy最大值；（提示：通分或三角換元）變式2： （2012湖北武漢診斷）已知，當(dāng) a 0,a 1時(shí)，函數(shù)y loga（x 1） 1的圖像恒過定點(diǎn) A,若點(diǎn)A在直線mx y n 0上，求4m 2n的最小值；變式 3： （2011 浙江）已知 x, y 0 , x2 y2 xy 1, 求xy最大值；3、已知 x, y 0 , x 2y 2xy 8,求 x 2 y 最小值;4、（ 2013年山東（理）設(shè)正實(shí)數(shù)x, y,z滿足x2 3xy 4y2 z 0

8、,則當(dāng)上取得最大值z(mì)一 212時(shí)，一一一的取大值為（）x y zA. 0 B. 1 C . - D . 34（提示：代入換元，利用基本不等式以及函數(shù)求最值）,一 11 n ,2、已知x y z 0且恒成立,x y y z x z如果n N，求n的最大值；（參考：4）（提示：分離參數(shù)，換元法）2變式：設(shè)x, y,z是正數(shù)，滿足x 2y 3z 0,求L的 xz最小值；、，、，1 4變式：已知a,b 0滿則一一a b求c的取值范圍；題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1、（2012沈陽檢測(cè)）已知x, y 0,且（x y）（1 a） 9 x y恒成立，求正實(shí)數(shù) a的最小值；題型九：利用柯西不等式求最值1、

9、二維柯西不等式（a,b,c,d R,當(dāng)且僅當(dāng)a乞；即ad be時(shí)等號(hào)成立）c d若 a, b,c,d R,則（a2 b2）（c2 d2） （ac bd）22、二維形式的柯西不等式的變式（1）Va2 b2 cc2 d2 ac bd(a,b,c,d R,當(dāng)且僅當(dāng)a 即ad c dbe時(shí)等號(hào)成立）(2) . a2 b2 ,c2 d2 ac| |bd(a,b,c,d R,當(dāng)且僅當(dāng)a 即ad c d2(a b)(c d) ( . ac , bd )2(a,b,c,d 0,當(dāng)且僅當(dāng)9 b;即ad c dbe時(shí)等號(hào)成立）bc時(shí)等號(hào)成立）此日z262221221(2)23244x ,yz 3332、設(shè) x,

10、y, zR,2x2y 2z 6 ,求 x小值m ,并求此時(shí)x, y,z之值。424Ans: m 4;(x,y,z)(, 一,)33322 一y z的取3、二維形式的柯西不等式的向量形式（當(dāng)且僅當(dāng)0,或存在實(shí)數(shù)k,使a k時(shí)，等號(hào)成立）4、三維柯西不等式若 ai,a2,a3, bi,b2,b R,則有：3、設(shè) x,y,z R, 2x 3y z 3,求 x2之最小值為,此時(shí)y (析：2x 3y z 3 2x 3( y 1) z22(y 1) z0)（a； a22 a32）（ibi2 b22 b32）6 a2b2 a3b3）2（ai,bi r,當(dāng)且僅當(dāng)包 曳 曳時(shí)等號(hào)成立） bi b2 b35、一般n維柯西不等式設(shè)闞色， a與bi,b2, ,bn是兩組實(shí)數(shù)，則有：/22(ai a2an2)(bi2 b22bn2)(a1bla2b2a b )2n n /（ai,bi R,當(dāng)且僅當(dāng)電曳bib2同時(shí)等號(hào)成立） bn4、（2013年湖南卷（理）已知a,b,c ,a222則a 4b 9c的最小值是（2b 3c 6,Ans:12)題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值2221、設(shè) x, y, z R ,右 x y z 4,則 x 2y 2z 的最小值為 時(shí)，（x, y,z） 析：（x 2y 2z）2 （x2 y2 z2）12 （ 2）2 224 9 36x 2y 2z最小