三角函數(shù)公式及推導(dǎo)(祥盡版)(課堂PPT)

1、1三角函數(shù)公式及推導(dǎo)（祥盡解釋）（祥盡解釋）1-1-誘導(dǎo)公式（之一）：誘導(dǎo)公式（之一）：常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：公式一：設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（

2、）cot2 1-1-誘導(dǎo)公式（之二）：誘導(dǎo)公式（之二）：公式五：利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cot公式六之一：/2及3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tan公式六之二sin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan(以上kz)

3、 規(guī)律總結(jié)上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對于k/2(kz)的個(gè)三角函數(shù)值，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到相應(yīng)的余函數(shù)值，即sincos;cossin;tancot,cottan. （奇變偶不變）然后在前面加上把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號。（符號看象限）3 上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號看象限。公式右邊的符號為把視為銳角時(shí)，角k360+（kz），-、180，360-所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶水平誘導(dǎo)名不變；符號看象限。各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余弦” 這十二字口訣的意思就是說： 第一象限內(nèi)任何一個(gè)角

4、的四種三角函數(shù)值都是“”； 第二象限內(nèi)只有正弦是“”，其余全部是“”； 第三象限內(nèi)切函數(shù)是“”，弦函數(shù)是“”； 第四象限內(nèi)只有余弦是“”，其余全部是“” 口訣總結(jié)公式七：額外的定義（也是重要的呀）222222s i n( s i n)c o s( c o s)t a n( t a n)4 2-同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 倒數(shù)關(guān)系:tan cot1sin csc1cos sec1商的關(guān)系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec平方關(guān)系：sin2()cos2()11tan2()sec2()1cot2()csc2()證明：22222

5、22222901sinsin1sincos1ABCABCabcabccBA在中,同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）構(gòu)造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。（1）倒數(shù)關(guān)系：對角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；（2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰 的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的 三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。（3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上 的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的 平方。5 3-3-兩角和差公式兩角和差公式兩角和與差的三角函數(shù)公

6、式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsin tantantan（）- 1tan tan tantantan（） 1tan tan 6 AOCBOCAOB cosAxrsinAyrcosBxrsinByr22222222222222222222222222sinsincoscossinsin2sinsincoscos2coscossinsin2sinsincoscos2coscossincossincos2sinsin2coscos1 1 2 sABABAByyxxrrrrrrrrrrrrr 22in

7、sincoscos22 sinsincoscos21sinsincoscosrr2222222222cos2cos22cos22cos21 cosABACBCAC BCACBrrr rrrrrcossinsincoscos（和差公式的證明）兩角差的余弦令A(yù)O=BO=r點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)A縱坐標(biāo)為點(diǎn)B的坐標(biāo)為兩式相等，化簡（或?qū)φ盏茫?y A B （O）C x(-）由余弦定理得：7 coscossinsincoscossinsincoscoscoscossinsin sincos 90cos90sin 90sincos 90coscossinsincos兩角和的余弦兩角和的正弦 兩角差的正弦兩角和

8、的正切兩角差的正切sinsincossinsincoscossinsincossincoscossin sintancoscossinsincoscoscossinsincossinsincoscoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsin1coscostantan1tantantantantantan1tantantantan1tantan 由兩角差的余弦得8 4-二倍角公式二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（也稱為：升冪縮角公式）正弦的二倍角公式：正弦的二倍角公式：表示一：sin22sincos證明：因?yàn)?sin( +)=sincos+cossin

9、，令= ，所以，可得：sin2=2sincos 表示二：（以正切表示二倍角）sin2= 2tan 1+tn2 證明：sin2=2sincos=2 (sin /cos ) .cos2 =2tan/(sec2 ) = 2tan/(1+tan2 ) 余弦二倍角公式：余弦二倍角公式：表示一： cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2 證明：因?yàn)橛珊徒枪剑篶os( +)=coscossinsin，令= 所以，可得： cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2 表示二：cos2= 1-tan2 1+tan2 證明：cos2=2cos21 = (2/sec2)1 =2/(1+ta

10、n2 ) 1 =(1-tan2 )/(1+tan2 ) 9 2tan tan2 1tan2證明：因?yàn)橛珊徒枪剑簍an( +)= (tan +tan )/(1-tan.tan )， 令= ，所以，可得： 2tan tan2 1tan2正切的二倍角公式結(jié)論：利用結(jié)論：利用tantan 可以將可以將sin2sin2 ，cos2cos2 ，tan2tan2 表示出來，表示出來， 1tan2 2tan 1+tan2 2 整理如下：整理如下： (a) sin2= 2tan /(1+ tan2 ) (b) cos2=(1- tan2 )/ (1+tan2 ) (c) tan2=2tan / (1-tan2

11、 ) 用三角形直觀表示如下：（圖）10 6-半角公式半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（也稱：降冪擴(kuò)角公式）cos 1sin sin cos 12tancos 122coscos 122sin22 或也可表示為： 1cos sin2(/2) 2 1cos cos2(/2) 2 1cos tan2(/2) 1cos11 7-7-萬能公式萬能公式2tan122tantan2tan12tan1cos,2tan122tansin 2222 萬能公式推導(dǎo)萬能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*，（因?yàn)閏os2()+sin2()=1）再把*分式上下同除

12、cos2()，可得sin2tan2/(1tan2()然后用/2代替即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。12 8-三倍角公式三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 (a)sin3= 3sin 4sin3證明：sin3 =sin(+2)=sincos2+cossin2 =sin(12sin2)+cos(2sincos) = sin(12sin2)+2sincos2 = sin(12sin2)+2sin(1sin2) = 3sin 4sin3(b)cos3=4cos3 3cos證明：cos3=cos(+2)=coscos2sinsin2 =cos(2cos21)sin

13、(2sin cos) = cos(2cos21)2sin2cos = cos(2cos21)2(1cos2)cos =4cos3 3cos三倍角的正切公式因?yàn)椋簊in33sin4sin3() cos34cos3()3cos 3tantan3所以：tan3 13tan213 三倍角公式推導(dǎo)三倍角公式推導(dǎo)正切三倍角公式推導(dǎo)：（證明）tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上下同除以cos3()，得：tan3(3tantan3()/(1-3

14、tan2()正弦三倍角公式推導(dǎo)（證明）sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2sin2sin3()sin2sin2()3sin4sin3()余弦三倍角公式推導(dǎo)：（證明）cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos三倍角公式聯(lián)想記憶三倍角公式聯(lián)想記憶記憶方法：諧音、聯(lián)想正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之后還有“余”）注意函數(shù)名，即正弦的三倍

15、角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。149-積化和差公式積化和差公式積化和差公式推導(dǎo)（積化和差公式推導(dǎo)（之一）之一）附推導(dǎo)：首先,我們知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同樣的,我們還知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cos

16、b+sina*sinb所以,把兩式相加,我們就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 15 積化和差推導(dǎo)（證明之二）：1sinco

17、s2sincos21sincossincoscossincossin21sinsin21coscos2coscos21coscoscoscossinsinsinsin21coscos21sinsin2sinsin21sinsinsinsincoscoscoscos21coscos216 10-和差化積公式和差化積公式和差化積的公式推導(dǎo)：和差化積的公式推導(dǎo)：好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式.我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式:sinx+sin

18、y=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)17 11-輔助角公式輔助角公式其中 的象限由 的符號確定。22sincossin()ababtanba12-任意三角形面積公式：任意三角形面積公式： C a b h dB c A121sin21sin ()2ABCSahabCacB兩邊和其夾角正弦的乘積1813-13-余弦定理：余弦定理：任意三角形一角的余弦等于兩鄰邊的平方和減對邊的平方

19、之差與兩鄰邊積的兩倍之比。證明：2222222222222222222222(cos)( sin)2coscossin=2cos(cossin)2coscos22bdhacBcBaacBcBcBaacBcBBacacBbacacbBacac（證完）14-14-正弦定理正弦定理 A c O B a Csin2 sinaAcacrrABCA （ 為的外接圓半徑） , sinsin2sinsinsinbcccBCabcrABCc為ABC外接圓的直徑,同理對邊與對角正弦之比相等，且為外接圓的半徑的兩倍1915-海倫公式（任意三角形已知三邊求面海倫公式（任意三角形已知三邊求面積）積）證明2222244422222222224442222222222444222222222244422221sin211cos21122122212414222241422244214ABCSabCabCabcabababca ba cb caba ba babca b