離散型隨機(jī)變量及其分布列

1、離散型隨機(jī)變量1.試驗(yàn)與隨機(jī)試驗(yàn)凡是對現(xiàn)象的觀察或?yàn)榇硕M(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，都稱之為試驗(yàn)，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下述條件： (1)試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行； (2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn) 會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果它就被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)2隨機(jī)變量(1)隨機(jī)變量的定義 在隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)之間，自然地或人為地建立起一種對應(yīng)關(guān)系，使每一個(gè)可能的結(jié)果都對應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，那么隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果就可以用取值為這些實(shí)數(shù)的一個(gè)變量來表示，這個(gè)變量叫隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用希臘字母X、Y、等表示(2)離散型隨機(jī)變量 如果對于隨機(jī)變量

2、可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量(3)若是一個(gè)隨機(jī)變量，a、b是常數(shù)，則ab也是一個(gè)隨機(jī)變量注意掌握這一點(diǎn)，對于某些問題的解決往往會(huì)有比較直接的幫助 一般地，若是隨機(jī)變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則f()也是隨機(jī)變量也就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量3隨機(jī)變量的理解 隨機(jī)變量從本質(zhì)上講就是以隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果為自變量的一個(gè)函數(shù)，即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果所對應(yīng)的數(shù)，但這些數(shù)是預(yù)先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一個(gè)值，這便是“隨機(jī)”的本源.題型一 隨機(jī)變量的概念例1指出下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由(1)

3、某人射擊一次命中的環(huán)數(shù)；(2)任意擲一枚均勻硬幣5次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)；(3)投一顆質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(最上面的數(shù)字)；(4)某個(gè)人的屬相隨年齡的變化 探究1解答本類題目的關(guān)鍵在于分析變量是否滿足隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，預(yù)先知道所有可能取的值，而不知道在一次試驗(yàn)中哪一個(gè)結(jié)果發(fā)生，隨機(jī)變量取哪一個(gè)值思考題1將一顆骰子擲兩次，不能作為隨機(jī)變量的是()A兩次點(diǎn)數(shù)之和B兩次點(diǎn)數(shù)差的絕對值C兩次的最大點(diǎn)數(shù)D擲骰子的次數(shù)題型二 離散型隨機(jī)變量的判定例2指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并說明理由：(1)一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)；(2)某加工廠加工的一批某種鋼管的

4、外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差；(3)鄭州至武漢的電氣化鐵道線上，每隔50 m有一電線鐵塔，從鄭州至武漢的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進(jìn)行編號，而其中某一電線鐵塔的編號；(4)江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0,29這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測水位.規(guī)律解答此類問題的關(guān)鍵是掌握離散型隨機(jī)變量的關(guān)鍵點(diǎn)是可以“一一羅列出”， 這就說明試驗(yàn)的結(jié)果是有限的，這點(diǎn)是區(qū)別于非離散型隨機(jī)變量的關(guān)鍵探究2離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量都是用來刻畫隨機(jī)試驗(yàn)所出現(xiàn)的結(jié)果的，它們的區(qū)別是：對于離散型隨機(jī)變量，能將它的可能取值按次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量可取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，我們無法對其中的值一一列舉思考題2判斷下列

5、變量是不是隨機(jī)變量，如果是，判斷該隨機(jī)變量是不是離散型隨機(jī)變量(1)2013年世乒賽，從開幕到閉幕的總天數(shù)；(2)京廣高速公路某收費(fèi)站在一天內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；(3)北京市在國慶節(jié)這一天的溫度數(shù)；(4)某小朋友在明天一天內(nèi)的洗手次數(shù)題型三 隨機(jī)變量的取值及表示的事件例3寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果(1)從一個(gè)裝有編號為1號到10號的10個(gè)球的袋中，任取1球，被取出的球的編號為X；(2)一個(gè)袋中裝有10個(gè)紅球，5個(gè)白球，從中任取4個(gè)球，其中所含紅球的個(gè)數(shù)為X；(3)投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X，所得點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)Y. 探究3隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)

6、數(shù)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域思考題3拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之積記為，那么4表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是()A2枚都是4點(diǎn)B1枚是1點(diǎn)，另1枚是4點(diǎn)C2枚都是2點(diǎn)D1枚是1點(diǎn)，另1枚是4點(diǎn)，或者2枚都是2點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的分布列1.(1)分布列的定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為X取每一個(gè)值(i1,2，n)的概率P(X)，則稱表為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱X的分布列(2)分布列的性質(zhì)由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì)： 0，(i1,2,3，n)； .2.兩個(gè)特殊分布列(1)兩點(diǎn)分布列如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服

7、從兩點(diǎn)分布，而稱P(X1) 為成功概率(2)超幾何分布列在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件Xk發(fā)生的概率為P(Xk) ，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.稱分布列為超幾何分布列此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布. 幾點(diǎn)說明：1.離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)離散型隨機(jī)變量分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且能清楚地看到取每個(gè)值時(shí)所對應(yīng)概率的大小，反映了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況，是以后學(xué)習(xí)均值和方差的基礎(chǔ) (2)一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和2.兩點(diǎn)分布列 兩點(diǎn)分布列是

8、一種比較特別的分布列，它反映出隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種可能，且其概率和為1.兩點(diǎn)分布能清晰的反應(yīng)出事件的正反兩面3.超幾何分布列 超幾何分布列給出了一類用數(shù)學(xué)模型解決的問題，對該類問題直接套用公式即可但在解決相關(guān)問題時(shí)，首先確定隨機(jī)變量X是否服從超幾何分布應(yīng)用超幾何分布時(shí)要找準(zhǔn)N、M和n.題型一 求離散型隨機(jī)變量的分布列例1一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5，在袋中同時(shí)取3只，以表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量的分布列探究1求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：(1)找出隨機(jī)變量所有的可能值Xi(i1,2,3，n)；(2)求出相應(yīng)的概率P(XXi)Pi(i1,2,3，n)；(3)列成

9、表格形式解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件找到X的可能取值，再利用概率的有關(guān)知識求出相應(yīng)的概率，最后根據(jù)分布列的定義寫出分布列并利用性質(zhì)檢驗(yàn)分布列的正確性思考題1將一顆骰子擲兩次，求出兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)X的分布列題型二 離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)例2設(shè)隨機(jī)變量的分布列P()ak(k1,2,3,4,5)(1)求常數(shù)a的值；(2)求P()；(3)求P(<<)探究2要充分注意到分布列的兩條重要的性質(zhì)：(1)pi0，i1,2，；(2)p1p2pn1.它是離散型隨機(jī)變量的分布列所必須要遵循的原則思考題2若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P9c2c38c試求出常數(shù)c的值題型三 兩點(diǎn)分布問題例3一個(gè)盒子中裝有5個(gè)白色玻璃球和6個(gè)紅色玻璃球，從中摸出兩球，記 X求X的分布列探究3兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對應(yīng)的結(jié)果，隨機(jī)變量的取值必須是0與1，否則，不是兩點(diǎn)分布思考題3若隨機(jī)變量X只能取兩個(gè)值x1和x2，又知取x1的概率是取x2的概率的3倍，寫出的分布列，并說明是不是兩點(diǎn)分布？題型四 超幾何分布例4設(shè)10件產(chǎn)品中，有3件次品，7件正品，現(xiàn)從中抽取5件，求抽得次品件數(shù)的分布列探究4如何求超幾何分布：一般地，設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有n件，從所有物品中任取M件(MN)，這M件中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為m時(shí)的概率為P(Xm)