試驗六線性系統(tǒng)根軌跡

1、百度文庫-好好學(xué)習(xí).天天向上 -1 實驗六線性系統(tǒng)的根軌跡 一、實驗?zāi)康?1. 熟悉MATLAB用于控制系統(tǒng)中的一些基本編程語句和格式。 2. 利用MATLAB語句繪制系統(tǒng)的根軌跡。 3. 掌握用根軌跡分析系統(tǒng)性能的圖解方法。 4. 掌握系統(tǒng)參數(shù)變化對特征根位置的影響。 二.基礎(chǔ)知識及MATLAB函數(shù) 根軌跡是指系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變到無窮大時，特征方程的根在s平面上的 變化軌跡。這個參數(shù)一般選為開環(huán)系統(tǒng)的增益K。課本中介紹的手工繪制根軌跡 的方法，只能繪制根軌跡草圖。而用MATLAB可以方便地繪制精確的根軌跡圖, 并可觀測參數(shù)變化對特征根位置的影響。 假設(shè)系統(tǒng)的對象模型可以表示為 系統(tǒng)的閉環(huán)特

2、征方程可以寫成 l + KG()(s) = O 對每一個K的取值，我們可以得到一組系統(tǒng)的閉環(huán)極點。如果我們改變K的數(shù) 值，則可以得到一系列這樣的極點集合。若將這些K的取值下得出的極點位置 按照各個分支連接起來，則可以得到一些描述系統(tǒng)閉環(huán)位置的曲線，這些曲線乂 稱為系統(tǒng)的根軌跡。 1) 繪制系統(tǒng)的根軌跡rlocus () MATLAB中繪制根軌跡的函數(shù)調(diào)用格式為： 其中，num, den分別為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母多項式系數(shù)，按s的 G(s) = KG (s) = K s，! +4$心 + + /?“ +6 rlocus(num,den) rlocus(num,den,k) rlocus(

3、p,z) r=rlocus(num,den) nk=rlocus(num,den) 益向量ko 開環(huán)增益k的范圉自動設(shè)怎。 開環(huán)增益k的范偉1人工設(shè)定。 依據(jù)開環(huán)零極點繪制根軌跡。 不作圖，返回閉環(huán)根矩陣。 不作圖，返回閉環(huán)根矩陣r和對應(yīng)的開環(huán)增 百度文庫-好好學(xué)習(xí).天天向上 -2 降幕排列。K為根軌跡增益，可設(shè)定增益范圍。百度文庫-好好學(xué)習(xí).天天向上 -3 例3“已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)孔)二： 竄+ 9繪制系統(tǒng)的根 軌跡的MATLAB的調(diào)用語句如下： num= 1 1; den= 1 4 2 9; rlocus (numjen) grid xlabel(cReal Axis),ylabelf

4、 Imaginary Axis) %給坐標軸加上說明 titled Root Locus J 則該系統(tǒng)的根軌跡如圖3-1所示: 圖3系統(tǒng)的完整根軌跡圖形 圖3-2特左增益范圍內(nèi)的根軌跡圖形 若上例要繪制K在(1, 10)的根軌跡圖，則此時的MATLAB的調(diào)用格式 如下，對應(yīng)的根軌跡如圖3-2所示。 num= 1 1; den= 1 4 2 9; k=l:10; rlocus (num,den,k) 2) 確定閉環(huán)根位置對應(yīng)增益值K的函數(shù)rlocfind () 在MATLAB中，提供了 rlocfind函數(shù)獲取與特定的復(fù)根對應(yīng)的增益K的 值。在求出的根軌跡圖上，可確定選定點的增益值K和閉環(huán)根r

5、(向量)的值。 該函數(shù)的調(diào)用格式為： k, r=rlocfind(num, den) 執(zhí)行前,先執(zhí)行繪制根軌跡命令rlocus (num, den),作出根軌跡圖。執(zhí)行 rlocfind 命令時,岀現(xiàn)提示語句 uSelect a point in the graphics window”, 即要求在根軌跡圖上選定閉環(huán)極點。將鼠標%左義分子多項式 彫芒義分母多項式 %繪制系統(tǒng)的根軌跡 %畫網(wǎng)格標度線 %給圖形加上標題名 吟. 3S -3 25 2 -15 -1 -05 0 05 RoctLoxa 百度文庫-好好學(xué)習(xí).天天向上 -4 移至根軌跡圖選定的位置，單擊左百度文庫好好學(xué)習(xí).天天向上 5 鍵

6、確定，根軌跡圖上岀現(xiàn)“ + ”標記，即得到了該點的增益K和閉環(huán)根r的返回 變量值。 例3-2：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(S) = K 56 試求：(1)系 2 +&* +35 + 25 統(tǒng)的根軌跡；(2)系統(tǒng)穩(wěn)定的K的范圍；(3) K=1時閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線。則 此時的MATLAB的調(diào)用格式為： G=tf( 1,5,6,1,8,3,25); Hocus (G); %繪制系統(tǒng)的根軌跡 (b) K=1時的階躍響應(yīng)曲線 系統(tǒng)的根軌跡和階躍響應(yīng)曲線 3) 繪制阻尼比歹和無阻尼自然頻率的柵格線sgrid() 當對系統(tǒng)的阻尼比歹和無阻尼自然頻率糾有要求時，就希望在根軌跡圖上 作等：或等線。MAT

7、LAB中實現(xiàn)這一要求的函數(shù)為sgridO,該函數(shù)的調(diào)用 格式為： sgrid(G) 已知和的數(shù)值，作出等于已知參數(shù)的等值線。 sgrid(new9 作岀等間隔分布的等歹和，網(wǎng)格線。 k,r=rlocfind(G) %確左臨界穩(wěn)宦時的增益值k和對應(yīng) 的極點r G_c=feedback(G 1 )； step(G_c) 玄形成單位負反饋閉環(huán)系統(tǒng) %繪制閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 則系統(tǒng)的根軌跡圖和閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖3-2所示。 其中，調(diào)用rlocfind ()函數(shù)，求岀系統(tǒng)與虛軸交點的K值，可得與虛軸 交點的K值為，故系統(tǒng)穩(wěn)定的K的范圍為K e (0.0264,s)。 (a)根軌跡圖形 圖3-2

8、 5 0 5 15 O 血.1 龍9上 SkpRf asc 15 a) a TWe( (5W) 百度文庫-好好學(xué)習(xí).天天向上 -6 例3-3：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) = ,由rlocfind函數(shù)找 5(5+ 1)(5+ 2) 岀能產(chǎn)生主導(dǎo)極點阻尼歹二的合適增益，如圖3-3 (a)所示。 G=tf(l,conv(l,l,l,2),0); zet=: 1 ;wn= 1:10; 說明：sgrid：在現(xiàn)存的屏幕根軌跡或零極點圖上繪制出自然振蕩頻率初、阻尼 比矢量z對應(yīng)的格線。 sgrid( 4new* )：是先清屏，再畫格線。 sgrid(z,wn)：則繪制由用戶指定的阻尼比矢量z、自然振蕩頻率

9、初的格線 添加：sgridCnew5);或 cle sgrid(zet,wn);hold on;rlocus(G) k,r=rlocfind(G) Select a point in the graphics window selected_point = + k = + 同時我們還可以繪制出該增益下閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，如圖3-3(b)所示。 事實上，等歹或等叫線在設(shè)計系補償器中是相當實用的，這樣設(shè)計出的增益K二 將使得整個系統(tǒng)的阻尼比接近。由下面的MATLAB語句可以求出主導(dǎo)極點，即r 點的阻尼比和自然頻率為 G_c=feedback(G, 1); step(G_c) ddO 二 poly(

10、r(2:3,:); wn=sqrt(dd0(3);zet=dd0(2)/(2*wn);zet5wn百度文庫-好好學(xué)習(xí).天天向上 -7 ans = 我們可以由圖3-3 (a)中看出，主導(dǎo)極點的結(jié)果與實際系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)非常 接近，設(shè)計的效果是令人滿意的。 (a)根軌跡上點的選擇 (b)閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng) 圖3-3由根軌跡技術(shù)設(shè)計閉環(huán)系統(tǒng) 4) 基于根軌跡的系統(tǒng)設(shè)計及校正工具rltool MATLAB中提供了一個系統(tǒng)根軌跡分析的圖形界面，在此界面可以可視地 在整個前向通路中添加零極點(亦即設(shè)訃控制器)，從而使得系統(tǒng)的性能得到改 善。實現(xiàn)這一要求的工具為rltool,其調(diào)用格式為： rltool 或 r

11、ltoo1(G) 例3-4：單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)= - s(s + 5)($ + 20)(5 + 50) 輸入系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并對此對象進行設(shè)訃。 den=conv( 1,5,conv( 1,20, 1,50),0,0; num=l,; G=tf(num,den); rltool(G) 該命令將打開rltool工具的界面，顯示原開環(huán)模型的根軌跡圖，如圖3-4 (a)所示。單擊該圖形菜單命令A(yù)nalysis中的Response to Step Command復(fù) 選框，則將打開一個新的窗口，繪制系統(tǒng)的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，如圖3-4 (b) 所示?？梢娺@樣直接得出的系統(tǒng)有很百度文庫-

12、好好學(xué)習(xí).天天向上 -8 強的振蕩，就需要給這個對象模型設(shè)計一 個控制器來改善系統(tǒng)的閉環(huán)性能。百度文庫-好好學(xué)習(xí).天天向上 -9 a）原對象模型的根軌跡 （b）閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng) 圖34根軌跡設(shè)計工具界面及階躍響應(yīng)分析 單擊界面上的零點和極點添加的按鈕，可以給系統(tǒng)添加一對共輒復(fù)極點， 兩個穩(wěn)定零點，調(diào)整它們的位置，并調(diào)整增益的值，通過觀察系統(tǒng)的閉環(huán)階躍 響應(yīng)效果，則可以試湊地設(shè)計出一個控制器 q=18,307加 廿冷將罟麗y 在此控制器下分別觀察系統(tǒng)的根軌跡和閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線?？梢? rltool可以作為系統(tǒng)綜合的實用工具，在系統(tǒng)設(shè)計中發(fā)揮作用。 三.實驗內(nèi)容 1 請繪制下面系統(tǒng)的根軌跡曲線

13、 G(s) = K s(s2 +2s + 2)( 52 + 6s +13) G(s)= _ K(s+ 12) (5+ 1)(52 +125 + 100)(5 + 10) G(s) = K(0.05$ + l) 5(0.0714 5 +1)(0.012 52 +0.15 +1) 同時得出在單位階躍負反饋下使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值的范圍。 GG)= K s(s2 + 2s + 2)( + 65 +13) 的根軌跡曲線程序如下: 卻3曲 |o 百度文庫-好好學(xué)習(xí).天天向上 -10 den=conv(l, 2, 2, 1, 6, 131), 0; num=l; G=tf (num, den); rloc

14、us (G) k, r=rlocfind(G) Select a point in the graphics window selected_point = 波形圖如下: 百度文庫-好好學(xué)習(xí).天天向上 -11 圖一：根軌跡圖形 系統(tǒng)與虛軸交點的K值，可得與虛軸交點的K值為，故系統(tǒng)穩(wěn)定的K的范 圍為 K e (0,29.0271) G(s) = -*2) - 的根軌跡曲線程序如下： (5+ 1)(52 +125 + 100)(5+10) den=conv(l, 1, conv(l, 12, 100, 1, 10); numEl 12; G=tf (num, den); rlocus (G) k,

15、 r=rlocfind(G) Select a point in the graphics window selected_point = +003 + 波形圖如下:百度文庫-好好學(xué)習(xí).天天向上 -12 圖二：根軌跡圖形 系統(tǒng)與虛軸交點的K值，可得與虛軸交點的K值為+003,故系統(tǒng)穩(wěn)定的K 的范圍為 K v (04.0914e+ 003)。 _ K(005s + l) 5(0.0714 5 +1)(0.012 52 + 0.15 +1) den=conv(, 1, , 1), 0; nunp 1; G=tf (num, den); rlocus (G) k, r=rlocfind(G) Sel

16、ect a point in the graphics window selected_point =G(y)= 的根軌跡曲線程序如下: 百度文庫-好好學(xué)習(xí).天天向上 -13 波形圖如下: 圖三：根軌跡圖形 系統(tǒng)與虛軸交點的K值，可得與虛軸交點的K值，故系統(tǒng)穩(wěn)定的K的范圍 為 Kw(O, 7.8378) o 2. 在系統(tǒng)設(shè)汁工具rltool界面中，通過添加零點和極點方法，試湊出上 述系統(tǒng)，并觀察增加極、零點對系統(tǒng)的影響。、 對于6(5)= - - 匚 - 程序如下： 5(52+25 + 2)(52+65 + 13) den=l, 6, 13; num=l; G=tf (num, den); r

17、ltool (G)- 1 1 1 1 5 70 2 CCOX G cwro ixa% Wear (41 一 * - - - 1 1 百度文庫好好學(xué)習(xí).天天向上 14 圖五：根軌跡設(shè)訃工具界而及階躍響應(yīng)分析 對于如=訕7二爲黒+。5程序如下: den=, 1; num=l;1原對象模型的根軌跡 2閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng) 圖四：根軌跡設(shè)計工具界而及階躍響應(yīng)分析 對于G($) = - /(Z2) - 程序如下： (5+ 1)(52 +125+100)(5 + 10) den=l, 12, 100; num=l; G=tf (num, den); rltool(G) 6 1 、 - 25 -M .15 -1

18、0彳 、 dt ErJ Xlp T Virrer for SISO esicn Tool 冬dvr D EE 經(jīng)過添加零極點后顯示的圖形為: 9 SISO D“n 1原對象模型的根軌跡 2閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng) 百度文庫-好好學(xué)習(xí).天天向上 -15 G=tf (num, den); rltool (G) 經(jīng)過添加零極點后顯示的圖形為: Etl* 心0匕3 譏處Analyit% twl% laai%* |klp X O I X k? 四、實驗報告 1. 根據(jù)內(nèi)容要求，寫出調(diào)試好的MATLAB語言程序，及對應(yīng)的結(jié)果。 2. 記錄顯示的根軌跡圖形，根據(jù)實驗結(jié)果分析根軌跡的繪制規(guī)則。 3. 根據(jù)實驗結(jié)果分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，觀察根軌跡上一些特殊點對應(yīng)的K 值，確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍。 4. 根據(jù)實驗分析增加極點或零點對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。 零點極點的位置能改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，閉環(huán)系統(tǒng)無零點，閉環(huán)極點為實 數(shù)，則時間響應(yīng)一定單調(diào)；超調(diào)量主要取決于閉環(huán)復(fù)數(shù)的衰減率，實數(shù)極點， 零點，減少系統(tǒng)阻尼使峰值時間提前，超調(diào)量增大。 1OO.1OA R Loan EtMtr (C) | RWHY 以 5 cfcix Ur more dmcr opicm 百度文庫好好學(xué)習(xí).天天向上 -I2