華東理工大學(xué)本科生線性代數(shù)第四冊(cè)

1、華東理工大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)簿（第四冊(cè)）學(xué) 院_專 業(yè)_班 級(jí)_學(xué) 號(hào)_姓 名_任課教師_3.1 矩陣的秩1. 設(shè)矩陣A的秩為, 則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）.（A）A有階子式非零； （B）A的所有階子式為零；（C）A沒(méi)有階子式為零； （D）.解：C.2確定矩陣的秩，并給出一個(gè)最高階非零子式.解：利用初等行變換化成行階梯形矩陣來(lái)求矩陣的秩.由知，最高階非零子式可取.3. 當(dāng)參數(shù)取不同數(shù)值時(shí)，求矩陣的秩。解：由知當(dāng)且時(shí)，當(dāng)且，或且時(shí)，當(dāng)且時(shí)，.4. 設(shè)矩陣，求及.解：設(shè)則且有當(dāng)且時(shí)，當(dāng)或時(shí)，又則有.5設(shè)是階滿秩陣，是矩陣，試證明與是同解方程組，并進(jìn)一步利用齊次線性方程組的有關(guān)定理，說(shuō)明.證：先證的解均為

2、的解，若是的解，則以代入，顯然有；再證的解均為的解，其實(shí)由為滿秩陣，在兩邊同時(shí)左乘，即得；由、即知與是同解方程組，且它們?cè)谀艿贸銎淙我唤獾耐ń馐街泻械娜我鈪?shù)個(gè)數(shù)必相同，即，亦即.6用初等行變換把下列矩陣化成行最簡(jiǎn)形.（1）;（2）.解：（1）解：（2）.7設(shè)為矩陣，則=_.解: 0.3.2齊次線性方程組1已知設(shè)為的兩個(gè)解向量，則.解: -1,-1.2. 方程組必（ ）. (A) 無(wú)解； (B) 僅有零解； (C) 有非零解； (D)以上都不是.解: C.3討論下列齊次線性方程組是否有非平凡解（即非零解）？若有，則求出其通解.（1）;（1）解：由知原方程組有非零解，且原方程組的解為,令則得通

3、解為（2）; （3）.（2）解：由=未知數(shù)個(gè)數(shù)，知原方程只有零解.（3）解：由，知原方程組有非零解，且解為，令，則通解為4已知三階非零矩陣的每一列都是方程組的解，求：（1）的值； （2）； （3）一個(gè)矩陣.解：（1）若記矩陣則由題意可知有非零解，故由，解得.（2）由（1）知方程組的系數(shù)矩陣即，故方程組有無(wú)窮多個(gè)解，但通解表達(dá)式中只有個(gè)任意參數(shù)，且由通解為知矩陣的每一列必為向量的倍數(shù)，即各列對(duì)應(yīng)成比例，故由行列式性質(zhì)，知.另解（2）：假設(shè)，則為可逆陣，由題意知，右乘可得矛盾，所以.（3）由（2）的分析，可取矩陣.3.3 非齊次線性方程組1填空題：（1）線性方程組有解的充分必要條件是_.解: .

4、(2)設(shè)方程組(I)與(II)同解，則 ， ， .解：.2. 選擇題：(1)設(shè)是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是（ ）. （A）若僅有零解，則有唯一解； （B）若有非零解，則有無(wú)窮多解； （C）若有無(wú)窮多解，則僅有零解； （D）若有無(wú)窮多解，則有非零解. (2) 設(shè)矩陣秩為，則非齊次線性方程組（ ）.（A）時(shí)有解； （B）時(shí)有唯一解；（C）是有唯一解； （D）時(shí)有無(wú)窮多個(gè)解.解: (1)D; (2)A.3. 設(shè)是互不相同的常數(shù)，證明方程組無(wú)解.證：，由范德蒙德行列式知，故而，所以由知方程組無(wú)解.4. 求解下列非齊次線性方程組（1）;（2）;（1）解：由知，故方程組有無(wú)窮多個(gè)解，且有令，則通解為.（2）解：由知，故方程組無(wú)解.5. 問(wèn) 取何值時(shí)方程組有唯一解、無(wú)窮多個(gè)解、無(wú)解？并在有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)求出其通解。（1）; (2). （1）解：由于系數(shù)矩陣不是方陣，故只能使用初等行變換法. 當(dāng)時(shí)，由，知方程組有唯一解。由知唯一解為； 當(dāng)時(shí)，則若，則由知有唯一解；若，則由知也有唯一解若且，則由