華東理工大學(xué)本科生線性代數(shù)第八冊(cè)

1、華東理工大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)簿（第八冊(cè)）學(xué) 院_專 業(yè)_班 級(jí)_學(xué) 號(hào)_姓 名_任課教師_6.1 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型1.設(shè)矩陣與合同，則下述選項(xiàng)正確的是 （ ）. () ； () ； () ； () 與有相同特征值.解：. 提示：與合同即存在可逆矩陣，使得，故.2設(shè)二次型, 則此二次型的矩陣, 二次型的秩為_, 二次型的正交變換標(biāo)準(zhǔn)型為_ _.解：，. 提示：二次型的秩就是二次型的矩陣的秩，也是其標(biāo)準(zhǔn)型中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)（注：標(biāo)準(zhǔn)型不唯一）。因此求二次型的秩有兩種方法，1) 直接求二次型的矩陣的秩，2）先求的特征值，有幾個(gè)非零特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），二次型的秩就是幾.3. 設(shè)實(shí)二次型 其中，則二次型的

2、矩陣為_.解：. 提示： 的值是一個(gè)數(shù)，即，故有。而為對(duì)稱矩陣.4. 若元(>2)實(shí)二次型 的正交變換標(biāo)準(zhǔn)型為，則 _，矩陣的跡為 _.解：0, . 提示：的特征值為，根據(jù) 易得.5. 若二次型的秩為2，則參數(shù)的值為 _，表示的曲面為_.解：3, 橢圓柱面. 提示：二次型的矩陣的秩為2，故，由此可求得=3。再求出的特征值為，即標(biāo)準(zhǔn)型為，由此知為橢圓柱面。6. 已知二次型（a>0） 通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型，求參數(shù)a及所用的正交變換矩陣.解： 二次型的矩陣為，且，由即 得 。有三個(gè)不同的特征值1,2,5,故對(duì)應(yīng)這三個(gè)特征值的特征向量線性無關(guān)。分別求出屬于這三個(gè)特征值的特征向量,并把它們

3、單位化，得正交變換矩陣為.7. 已知二次曲面方程 可以通過正交變換化為橢圓柱面方程。求a,b的值和正交矩陣P.解: 由與相似，故，=0，進(jìn)而得. 代入后分別求出的線性無關(guān)的特征向量, 并把它們單位化，可得正交變換矩陣為.6.2 正定二次型與正定矩陣1. 設(shè)n階方陣都正定，則下述結(jié)論不正確的是 （ ）.（A）正定； （B）正定；（C）正定； （D）正定.解：B. 未必對(duì)稱，故不正定.2與“實(shí)二次型 （其中）是正定的”等價(jià)的是_. （A） 對(duì)任意，恒有； （B）二次型的負(fù)慣性指數(shù)為零；（C） 存在可逆陣，使得； （D）的特征值均不小于零.解：C.3. 若用<0表示為負(fù)定矩陣，則下述結(jié)論正確的

4、是 ( ). （A）若<0，則 <0;（B）若<0，則<0; （C）若<0，則對(duì)任意與同階的可逆陣都有 <0;（D）若<0，則其中至少有一個(gè)<0.解：C. 提示：根據(jù)慣性定理可知第三個(gè)選項(xiàng)成立.事實(shí)上, <0等價(jià)于 , 又等價(jià)于，等價(jià)于<0.4. 設(shè)是正定二次型，則的取值范圍是_.解：. 提示：根據(jù)二次型矩陣的各階順序主子式大于零求解.5. 設(shè)為一個(gè)三階矩陣，其特征值為-1，-1，2，則當(dāng)滿足_條件時(shí)，為正定二次型, 此時(shí)的規(guī)范型為_.解：,. 提示：由的特征值為-1，-1，2知的特征值為 又為正定二次型，其特征值必須全部都大于零，故

5、得.6.設(shè)二次型經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)型，證明：二次型經(jīng)相同的正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)型證明： （）（） 7. 設(shè)二次型 ，試用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并討論當(dāng)取何值時(shí)，為負(fù)定二次型 解：根據(jù)上一題的結(jié)論，我們只需先求出二次型的正交變換矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)型。經(jīng)計(jì)算得二次型的矩陣的特征值為-2,-2,4. 對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為. 經(jīng)施密特正交化，單位化可得所求的正交變換矩陣為, 而在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為故有： 在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為二次型為負(fù)定二次型，即, ,故有（也可用順序主子式來解）.8. 設(shè) 為一個(gè)n元實(shí)二次型，為A的特征值，P為正交矩陣，且. 試證明： （1）； （2）在時(shí)取到的最大值就等于A的最大特征值.證明：1）令 ，則 ，故， 又，故1）得證.2） 令，顯然，代入得由1)得，故在時(shí)取到的最大值就等于A的最大特征值 （同理取，知在時(shí)取到的最小值就等