高中數學不等式

1、高中數學不等式A Aa aB Bb bA Aa aB Bb bbabaa ba ba a b ba a- -b b b ba a- -b b 0 0b b = = a ab b- -a a = = 0 0基本不等式基本不等式注注:是比較兩個數大小的依據是比較兩個數大小的依據一一:不等式的基本性質不等式的基本性質第一講不等式和絕對值不等式第一講不等式和絕對值不等式高中數學不等式1.1.作差作差( (或作商或作商) )2.2.變形變形3.3.例1：比較(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。解：因為解：因為(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18)

2、 =200， 所以所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6)高中數學不等式、對稱性： 傳遞性：_ 、 ，a+cb+c、ab， ， 那么acbc； ab， ，那么acbc、ab0， 那么，acbd、ab0，那么anbn.（條件 ）、 ab0 那么 （條件 ）nnba abbacacbba ,Rcba ,0c0c0 dc2,nNn2,nNn（可加性）（可加性）（可乘性）（可乘性）（乘法法則）（乘法法則）（乘方性）（乘方性）（開方性）（開方性） 一一: 不等式的性質不等式的性質高中數學不等式2例例cbdadcba 求求證證已已知知, 0, 0011, 01, 0, 0, 0: cddccdcddc

3、cddc證證明明, 0, 0, 011 cadaacd又又由由可得可得cbdacbda , 0, 0, 01, 0 cbcacba又又高中數學不等式高中數學不等式3.若a、b、x、yR，則 是 成立的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件()()0 xyabxaybxaybC5.已知f(x)=ax2+c，且-4f(1)-1，-1f(2)5，求f(3)的取值范圍。4.對于實數a、b、c，判斷下列命題的真假：（1）若cab0，則（2）若ab, ，則a0，b0。 abcacb11ab（真命題）（真命題）f(3)的取值范圍是-1, 20高中數學不

4、等式 二二: 基本不等式基本不等式2222如果a，bR，那么a +b 2ab，如果a，bR，那么a +b 2ab， 當且僅當a = b時等 當且僅當a = b時等定理1：定理1：號成立。號成立。aabbb幾何解釋幾何解釋高中數學不等式（基本不等式）（基本不等式）a+ba+b 如果a，b0，那么ab， 如果a，b0，那么ab，2 2 當且僅當a = b時等 當且僅當a = b時等定理2：定理2：號成立。號成立。 三三: 基本不等式基本不等式算術平均數算術平均數幾何平均數幾何平均數幾何解釋幾何解釋OabDababACB 兩個正數的算術平均不小于它們的幾何平均。兩個正數的算術平均不小于它們的幾何平均

5、。高中數學不等式注：一正、二定、三等。注：一正、二定、三等。例例 3求證求證:(1)在所有周長相同的矩形中在所有周長相同的矩形中,正正 方形的面方形的面積最大積最大;(2)在所有面積相同的矩形中在所有面積相同的矩形中,正方形的周正方形的周長最短長最短.高中數學不等式例例: 某某居民小區(qū)要建一做八邊形的休閑場所居民小區(qū)要建一做八邊形的休閑場所,它的主體造它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形型平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和和EFGH構成的面積構成的面積為為200平方米的十字型地域平方米的十字型地域.計劃在正方形計劃在正方形MNPQ上建一座上建一座花壇花壇,造價為每平方米造價為每平方米4300元

6、元,在四個相同的矩形上在四個相同的矩形上(圖中圖中陰影部分陰影部分)鋪花崗巖地坪鋪花崗巖地坪,造價沒平方米造價沒平方米210元元,再在四個空再在四個空角角(圖中四個三角形圖中四個三角形)上鋪草坪上鋪草坪,每平方米造價每平方米造價80元元. (1)設總造價為設總造價為S元元,AD長長x為米為米,試建立試建立S關于關于x的函數關系的函數關系式式; (2)當為何值時當為何值時S最小最小,并求出這個最小值并求出這個最小值.QDBCFAEHGPMN解解: :設設AM=yAM=y米米2 22 2200-x200-x從而 4xy+x = 200y =從而 4xy+x = 200y =4x4x2 22 2于于

7、是是S S = = 4 42 20 00 0 x x + +2 21 10 04 4x xy y+ +8 80 02 2y y0 x 10 20 x 10 2高中數學不等式高中數學不等式高中數學不等式解解： 1x 01x011x 11xx= 112111) 1(21111xxxx 當且僅當當且僅當 111xx即即 0 x時 11xx有最小值有最小值13、若，則為何值時若，則為何值時 11xx有最小值，最小值為幾？有最小值，最小值為幾？高中數學不等式1.yxx4、求函數的值域解解:2121,0) 1 (xxxxx時當,1,0)2(Rxxx時當2)1()(21xxxx21xx)., 22,(y高中

8、數學不等式1(3)821xxxx21、求函數y=的最小值；x-3、求函數y=的值域. 作業(yè)作業(yè)47(3)3aaa3、求證其中高中數學不等式三：三個正數的算術三：三個正數的算術幾何平均不等式幾何平均不等式類比基本不等式得類比基本不等式得3 3+ +a a+ +b b+ +c c如如果果a a、b b、c cR R ，那那么么a ab bc c，3 3 當當且且僅僅當當a a = = b b = = c c時時，等等定定理理3 3：號號成成立立。，1 12 23 3n n1 12 23 3n nn n1 12 23 3n n1 12 23 3n n對對于于n n個個a a , ,a a , ,a

9、a , ,a a正正數數它它們們的的算算術術平平均均數數不不小小于于它它們們的的幾幾何何平平均均數數，a a + +a a + +a a + + +a a , ,即即 a a a a a a , ,a an n當當且且僅僅當當a a = = a a = = a a = = = a a 時時, ,推推廣廣：等等號號成成立立高中數學不等式.3 32 2）若若x x+ +y y+ +z z= =p p（定定值值），p p 則則當當x x= =y y= =z z時時, ,x xy yz z有有最最大大值值2 27 7,.z3 3設設x x, ,y y都都是是正正數數，則則有有 1 1）若若x xy yz z= =s s（定定值值）， 則則當當x x= =y y= =z z時時, ,x x+ +y y+ +z z有有定定最最小小值值3 3 s s理理：注：一正、二定、三等。注：一正、二定、三等。高中數學不等式例例1: 如圖，把一塊邊長是如圖，把一塊邊長是a的正方形的正方形鐵鐵 片的各角切片的各角切 去大小相同的小正方形，去大小相同的小正方形， 再把它的邊沿著虛線折轉作成一個無蓋再把它的邊沿著虛線折轉作成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多方底的盒子，問切去的正方形邊長是多小時？才能使盒子的容積最大？小時？才能使盒子的容積最大？ax2 2解：依題意有 v =(a