解析幾何試題的背景及拓展

1、仿射幾何與北京高考解析幾何試題2016北京卷第19題的背景和拓展我們知道，圓錐曲線的很多問題都可以在“圓”那里找到源頭，那么圓的哪些性質(zhì)可 拓廣到其它曲線呢？那些不能照搬的性質(zhì)，又有什么樣的變化形式?舉個(gè)例子：圓有一個(gè)重要的性質(zhì)一一 “直徑所對(duì)的圓周角為直角”。那么類似的，對(duì) 于橢圓能得到什么相應(yīng)的結(jié)論呢?=1的“直徑”（即過中心的弦）。為橢圓上一點(diǎn)（異于2 設(shè)"為橢圓二aA8）,仍垂直嗎？會(huì)有什么關(guān)系?分析：設(shè)4工2）,尸（毛,加），則8（-勺勺8=包口包二二二"二"，又因?yàn)橥?3=1，M+q=1，所以運(yùn)工=-匕，也就是說直線%/8的斜率之積為定值。在2010年

2、高考北京卷的第19題涉及到了這個(gè)內(nèi)容：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)、B 與點(diǎn)4-1.1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，。是動(dòng)點(diǎn)，且直線"與切的斜率之積等于-1。求動(dòng)點(diǎn)尸 3的軌跡方程。這里，實(shí)際上就是把上面的問題反過來了。這些是簡單的問題，對(duì)于圓的更復(fù)雜的性 質(zhì)，圓錐曲線里又會(huì)有怎樣相應(yīng)的結(jié)論呢？我們知道，對(duì)圓錐曲線的研究，思路的起點(diǎn)經(jīng) 常是圓，而圓里面的問題太豐富了，中學(xué)教師如果能夠把圓錐曲線和圓的關(guān)系搞清楚，那 么解析幾何問題的探索與研究的源泉將永不枯竭。本文簡述仿射幾何的幾條基本理論，探討如何把圓里的問題轉(zhuǎn)化到圓錐曲線中去，尋 找高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的圓錐曲線（包括圓）的一致性，并談?wù)勗谶@方面北京

3、卷命題所做的一 些探索和實(shí)踐。一、仿射幾何的幾條基本結(jié)論結(jié)論1:仿射變換保持同素性.仿射變換使得點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn),直線對(duì)應(yīng)直線.結(jié)論2：仿射變換保持結(jié)合性.ARC在直線L上，經(jīng)過仿射變換后，其對(duì)應(yīng)點(diǎn) 4.夕，。在直線L的對(duì)應(yīng)直線L,上.結(jié)論3：兩個(gè)封閉圖形面積之比經(jīng)過仿射變化后保持不變。二、仿射幾何與高考試題結(jié)合2016年高考北京卷的解析幾何試題，談?wù)勗谶@方面北京卷命題所做的一些探索和實(shí) 踐。（一）問題及背景在平面幾何中有下面的問題:已知圓的半徑為1, 80垂直平分AC, P為弧8上的動(dòng)點(diǎn)（且不與C,。重合），則（1）四邊形的面積為定值;（2） AN BM為'定值.實(shí)際上，四邊形ABNM的面積

4、等于所以上面的（1）（2）兩個(gè)問題是等價(jià) 2的,這個(gè)問題的平面幾何解法不難找，這里不細(xì)述了,下面我們給出一個(gè)借助高中三角公式的證明.1 / 1證明：乙NBO,40AM所對(duì)的弧分別為PDC尸，所以 NN8O + NOAM=45 .所以 tan( ZNBO + ZOAM) = 1匚、| NO + OM 彳 nn 1 Arc 111 R CQ,所以：=1,即一NO + -OM =一 一一義 NO OM .-NOxOM由圓的半徑為1，得襄,加222 2= LnO.S. ”, JoM.Sn =、ON-OM,S"=L2， AACZM 27 ZjijVCZW 2，ZirWA. 2所以 S&

5、N6O + S4= Swoe - Sno、.所以 S&A0M + Snnom = S&q0c _ Sambo 即 打型=S4afe 所以四邊形的而積等于居7的面積（等于1）,即四邊形的面積為定值（也即4V為定值）.我們知道，橢圓:+二=1經(jīng)過仿射變換a2 b2V = 二.a后變?yōu)閳A/+y“=l.同樣的，圓也可以經(jīng)過仿射變換變?yōu)闄E圓我們可以從圓的某些性質(zhì)導(dǎo)出橢圓的一些性質(zhì)。由于仿射變換保持同素性和結(jié)合性，所以圖1中的四邊形437W經(jīng)過變換后仍為四邊形 記為四邊形49vAT.又由前面提到的仿射幾何中的推論，我們知道兩個(gè)封閉圖形面積之比經(jīng)過仿射變化后保持不變，即,圓面.積 =，橢圓面

6、積 四邊形KBNM，的面積也 Syq邊S四邊膨LNiw-'為定值.根據(jù)以上的分析，在橢圓里我們可以提出類似的問題，這就有了 2016年高考數(shù)學(xué)北京卷（理科）的第19題：22l已知橢圓C：二+5=1（。>>0）的離心率為吏，4«0） , 3（0力），0（0,0）, a2 lr2aw的面積為i.（I）求橢圓。的方程；（II）設(shè)夕是橢圓C上一點(diǎn)，直線24與，軸交于點(diǎn)M,直線所與x軸交于點(diǎn)N.求證：IANI IBWI為定值.（二）問題的拓展2016高考數(shù)學(xué)北京卷的文科第19題與理科19題是姊妹題，具體如下:己知橢圓C： 5 十二cr b2=1 過42,0), 3(0,1)

7、兩點(diǎn).（I）求橢圓。的方程及離心率;（II ）設(shè)戶為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓。上，直線勿與），軸交于點(diǎn)M,直線總與x軸交于點(diǎn)N.求證：四邊形4外河的面積為定值.在這個(gè)題的命制過程中，還給出了其他的一些方向，但慎重考慮后，我們做了一些取舍， 這里一并和大家談?wù)?，和大家探討。本題中，我們把點(diǎn)戶限定在第三象限，但實(shí)際上點(diǎn)。在其他象限時(shí)也有類似問題，比22如：當(dāng)點(diǎn)夕在第一象限的時(shí)候（且在橢圓?+千=1上），仍然設(shè)AP交y軸于點(diǎn)M, 3P交x軸于點(diǎn)N,其中A（2,0）,3（0J）,則可以證明是一個(gè)定值。證明的過程 中，首先需要一個(gè)幾何轉(zhuǎn)化，即&mw-S.,®=Samva-S.am，=!i

8、4VI I8WI,接下來就 和前面的問題沒什么差別了。這個(gè)結(jié)果非常漂亮，但最后還是割愛了，為什么呢？我們放棄它，并不是因?yàn)檫@個(gè)幾 何轉(zhuǎn)化，我們甚至認(rèn)為解析幾何一定要考查幾何的東西，但是這個(gè)題的幾何轉(zhuǎn)化的途徑太 單一了，幾乎就是“華山一條路”，而一旦考生不能幾何轉(zhuǎn)化，將面臨及其艱苦的運(yùn)算， 這不是北京高考題應(yīng)該具備的特質(zhì)。我們心目中的解析幾何題應(yīng)該是這樣的：它首先應(yīng)該是個(gè)幾何問題，問題的提出應(yīng)該 有一個(gè)幾何背景，中間解決的過程是代數(shù)的，從幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化當(dāng)然是需要的，但一般 會(huì)給考生多一些途徑，這個(gè)代數(shù)的方法也沒有什么一定之規(guī)，套用中學(xué)教師的總結(jié)，”可 以是設(shè)點(diǎn)，也可以是設(shè)直線”，比如今年的題就

9、是這樣，但最后還是回歸到解決一個(gè)幾何 問題。一道好的解析幾何試題里，幾何應(yīng)該是緣起，也是歸宿，代數(shù)是解決這個(gè)幾何問題 的工具。（三）不同解法在閱卷過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生有很多好的解法,在這里列舉幾種理科19題的解法，供大家參 考.解法1：(II )由(I )知，A(2>), 8(0/).設(shè)尸（與,先），則玉；+4寸=4.2yo玉）一2直線PA的方程為y =/一（x - 2）. 而 一 2令人=0 ,得 yM =-,從而 18M 1=11- vw 1= 1 +而一2直線總的方程為，=包二lx + l.令 y = 0 ,得 " =-一，從而 I AN 1=12-xv 1= 2 + 比

10、_所以| %-2|丁 玉:+ 4)'； + 4Koy° - 4工0 8乂)+ 4% .%，%2% + 2=4%*4/8光+8% W2%+ 2=4.當(dāng)/=0時(shí)，為=一1, 15Ml = 2, IAAU = 2,所以IANII8MI=4.綜上，I4VI I8WI為定值.代-1Xp -4,1+1一2勺.yP = -h. “1+1xp =一2公聯(lián)立橢圓C與直線PB的方程x = B七(v-)得到P點(diǎn)坐標(biāo)為二b兩式通分相減,得到(占一玲)(占+e+&/2 T)= 0,如果占=七=女，則;zl=WL,即2+2k=l. - k2+l k2+l因此,無論占，玲是否相等，總有匕+玲+占玲

11、=1.從而(1 +占)(1 + &) = 2.由直線Q4的方程解得M點(diǎn)坐標(biāo)aA/ = 0 , . = k1b.由直線心的方程解得N點(diǎn)坐標(biāo)心=-&4,)訕=0.I AN BM 1=一八jY)(一yM)=ab(+k2)( + 占)=2ab 為定值.解法3：(II )由(I )知，月(2,0), 8(0,1).當(dāng)直線PB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y = lcx + (k=0),令y = 0得入加=-1,從而I AN 1=12 - X* 1=k2k + l二：；二4 得。+止川+弧=。，1一點(diǎn)= Tl+軟-1 + 4K| 一4"2直線PA方程為y =,(a-2),一 8K一以一 21 -7Zr令 x = 0 得 yw =,從而 IBM 1=11- yM 1=2k+ 14k2k + l所以IANI.I8WI=2 + 1 軟28 + 1=4.解法2： (II)聯(lián)立橢圓C與直線"的方程產(chǎn)”仆-4)得到。點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)直線08的斜率不存在時(shí)M(O,-1),N(O,O),此時(shí)IAN 1=2, IBM 1=2,所以 IANLI8MI=4.綜上所述14Vl.15Ml為定值.參考文獻(xiàn)1 .朱德祥，朱維宗.高等幾何M.北京：高