量子力學(xué)期末考試知識(shí)點(diǎn)+計(jì)算題證明題

1、1 .你認(rèn)為Bohr的量子理論有哪些成功之處？有哪些不成功的地方？試舉一例說明。（簡(jiǎn)述波爾的原子理論，為什么說玻爾的原子理論是半經(jīng)典半量子的？）答：Bohr理論中核心的思想有兩條：是原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念；二是兩個(gè)定態(tài)之 間的量廣躍遷的概念及頻率條件。首先，Bohr的量r理論雖然能成功的說明氫原/光譜的規(guī)律 性，但對(duì)于復(fù)雜原光譜，甚至對(duì)于氮原廣光譜，Bohr理論就遇到了極大的困難（這里有些困 難是人們尚未認(rèn)識(shí)到電廣的自旋問題），時(shí)于光譜學(xué)中的譜線的相對(duì)強(qiáng)度這個(gè)問題，在Bohr理 論中雖然借助于對(duì)應(yīng)原理得到了 些有價(jià)值的結(jié)果，但不能提供系統(tǒng)解決它的辦法：其次， Bohr理論只能處理簡(jiǎn)單的

2、周期運(yùn)動(dòng)，而不能處理非束縛態(tài)問題，例如：散射；再其次，從理論 體系上來看，Bohr理論提出的原f能量不連續(xù)概念和角動(dòng)量量夕化條件等，與經(jīng)典力學(xué)不相容 的，多少帶有人為的性質(zhì)，并未從根本上解決不連續(xù)性的本質(zhì)。2 .什么是光電效應(yīng)？光電效應(yīng)有什么規(guī)律？愛因斯坦是如何解釋光電效應(yīng)的？答：當(dāng)定頻率的光照射到金屬上時(shí)，有大量電r從金屬表面逸出的現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)：光電效應(yīng)的規(guī)律：a.對(duì)于定的金屬材料做成的電極，有個(gè)確定的臨界頻率外,當(dāng)照射光頻率時(shí)，無論光的強(qiáng)度有多大，不會(huì)觀測(cè)到光電r從電極上逸出：b.每個(gè)光電子的能量只與照射光的頻率有關(guān)，而與光強(qiáng)無關(guān)：C.當(dāng)入射光頻率/時(shí)，不管光多微弱，只要光照，幾乎立刻

3、比io-'觀測(cè)到光電小 愛因斯坦認(rèn)為：（1）電磁波能量被集中在光r身上，而不是象波那樣散布在空間中，所以電子可以集中地、次性地吸收光廣能量，所以對(duì)應(yīng)弛豫時(shí)間應(yīng)很 短，是瞬間完成的。（2）所有同頻率光具有相同能量，光強(qiáng)則對(duì)應(yīng)于光r的數(shù)目，光強(qiáng)越大，光子數(shù)目越 多，所以遏止電壓與光強(qiáng)無關(guān)，飽和電流與光強(qiáng)成正比。（3）光千能量與其頻率成正比，頻率越 高，時(shí)應(yīng)光廣能量越大，所以光電效應(yīng)也容易發(fā)生，光能量小于逸出功時(shí)，則無法激發(fā)光電 子。3 .簡(jiǎn)述量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理，它反映了什么？答：對(duì)于般情況，如果也和y2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加:（q, q是復(fù)數(shù)）也是這個(gè)體系的個(gè)可能狀態(tài)。這

4、就是量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理的含義表示當(dāng)粒處于態(tài)心和k的線性疊加態(tài)-時(shí)，粒是既處于態(tài)心,又處于態(tài)匕。它反映了微觀粒子的波粒二象性矛盾的統(tǒng)-o量J'力學(xué)中這種態(tài)的疊加導(dǎo)致在疊加態(tài)下觀測(cè)結(jié)果的 不確定性。4 .什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質(zhì)？答：體系處于某個(gè)波函數(shù)少任，/） = exp兇/句所描寫的狀態(tài)時(shí)，能量具有確定值。這種狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)的性質(zhì)：（1）粒在空間中的概率密度及概率流密度不隨時(shí)間變化：（2） 任何力學(xué)量（不顯含時(shí)間）的平均值不隨時(shí)間變化；（3）任何力學(xué)量（不顯含時(shí)間）取各種可能 測(cè)量值的概率分布也不隨時(shí)間變化。5 .簡(jiǎn)述力學(xué)量與力學(xué)量算符的關(guān)系？ 答：算符是指作用在

5、個(gè)波函數(shù)上得出另個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)。量子力學(xué)中采用算符來表示微 觀粒廣的力學(xué)量。如果量子力學(xué)中的力學(xué)量F在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué) 量的算符F由經(jīng)典衣示式F（f,p）中將D換為算符P而得出的，即：戶=穴巨力=F（r,-i/V）o量子力學(xué)中的一個(gè)基本假定：如果算符/表示力學(xué)量F,那么 當(dāng)體系處于戶的本征態(tài)。時(shí)，力學(xué)量F有確定值，這個(gè)值就是戶在。中的本征值。6 .經(jīng)典波和量子力學(xué)中的幾率波有什么本質(zhì)區(qū)別？答：1）經(jīng)典波描述某物理量在空間分布的周期性變化，而幾率波描述微觀粒r某力學(xué)量的幾率 分布：（2）經(jīng)典波的波幅增大一倍，相應(yīng)波動(dòng)能量為原來的四倍，變成另狀態(tài)，而微觀粒廣 在空間出現(xiàn)的

6、幾率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度，幾率波的波幅增大倍不影響粒廣 在空間出現(xiàn)的幾率，即將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)，所描述的粒子狀態(tài)并不改變；7 .能量的本征態(tài)的疊加一定還是能量本征態(tài)。答：不一定，如果由, -2對(duì)應(yīng)的能量本征值相等，則=0% +。2-2還是能量的本征態(tài)，否則，如果i，y2對(duì)應(yīng)的能量本征值不相等，則,=%矽+。2%2不是能量的本征 態(tài)8 .什么地表象？不同表象之間的變換是一種什么變換？在不同表象中不變的量有哪些？答：量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象。不同龍象之間的變換是種幺正變換。 在不同衣象中不變的量有：算符的本征值，矩陣的跡即矩陣對(duì)角元素的和。9 .簡(jiǎn)述量子力學(xué)的五個(gè)

7、基本假設(shè).答：（1）微觀體系的狀態(tài)被個(gè)波函數(shù)完全描述，從這個(gè)波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函 數(shù)股應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個(gè)條件；（2）力學(xué)量用厄密算符及示。如果在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則在量子力學(xué)中表示這個(gè)力學(xué)量的算符，由經(jīng)典農(nóng)示中的將動(dòng)量）換為算符一訪得出。及示力學(xué)量的算符具有組成完全系的本征函數(shù)。（3）將體系的狀態(tài)波函數(shù)勿用算符戶的本征函數(shù)展開（戶外=4必”，戶仍=/必）：% =則在態(tài)中m測(cè)量力學(xué)量f得到結(jié)果為4的幾率為得到結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率是卜?。海?）體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定謗方程：法絲=方獷，方是體系的哈密頓算符。（5）在全同 Ot粒/組成的體系中，兩全同粒f相互調(diào)換不

8、改變體系的狀態(tài)（全同性原理）。10 .波函數(shù)歸一化的含義是什么？歸一化隨時(shí)間變化嗎？答：粒子既不產(chǎn)生也不湮滅。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在任何時(shí)刻，粒廣定在空間出現(xiàn)，所 以在整個(gè)空間中發(fā)現(xiàn)粒廣是必然事件，概率論中認(rèn)為必然事件的概率等于1。因而粒廣在整個(gè) 空間中出現(xiàn)的概率即|必2對(duì).整個(gè)空間的積分應(yīng)該等于1.即JM（x,y,z,味4=1式中積分表 示對(duì)整個(gè)空間積分。這個(gè)條件我們稱為歸化條件。滿足歸化條件的波函數(shù)稱為歸化波函 數(shù)0波函數(shù)一旦歸化，歸化常數(shù)將不隨時(shí)間變化。11 .量子化是不是量子力學(xué)特有的效應(yīng)？經(jīng)典物理中是否有量子化現(xiàn)象?答：所謂量廣化，就是指某個(gè)力學(xué)量可取數(shù)值具有離散譜。般來說，這不是

9、量子力學(xué)的特有 效應(yīng).經(jīng)典物理中，例如聲音中的泛音，無線電中的諧波都是頻率具有離散譜。經(jīng)典波在束縛 態(tài)形成駐波時(shí)，頻率也是量子化的，但經(jīng)典波的頻率量廣化并不對(duì)應(yīng)能量量r化。有時(shí)量廣化 用了專指能量量子化，在這種意義上它就是量子力學(xué)特有的效應(yīng)°12 .什么是算符的本征值和本征函數(shù)？它們有什么物理意義？答：含有算符F的方程F（pin = Fm（pm稱為F的本質(zhì)方程，F(xiàn)m為門的個(gè)本質(zhì)值。而（pm則為 戶的屬于本征值外的本征函數(shù)。如果算符多代表個(gè)力學(xué)量，上述概念的物理意義如下：當(dāng) 體系處于門的本征態(tài)9m時(shí)，測(cè)量F的數(shù)值時(shí)確定的，恒等于"”。當(dāng)體系處于任意態(tài)時(shí)，單次 測(cè)量F的值必等于

10、它的本征值之。13 .算符運(yùn)算與一般代數(shù)運(yùn)算有什么異同之處?答：（1）相同點(diǎn)：都滿足加法運(yùn)算中的加法交換律和加法結(jié)合律。（2）不同點(diǎn)：a.算符乘積 般不滿足代數(shù)乘法運(yùn)算的交換律，即戶6工6戶；b.算符乘積定義=運(yùn)算次序由后至前，不能隨意變換。14 .什么是束縛態(tài)和定態(tài)？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)是否必為束縛態(tài)？QU答：定態(tài)是概率密度和概率流密度不隨時(shí)間變化的狀態(tài)。若勢(shì)場(chǎng)恒定一=0,則體系可以處 dt于定態(tài)。當(dāng)粒廣被外力（勢(shì)場(chǎng)）束縛于特定的空間區(qū)域內(nèi)，及在無窮處波函數(shù)等于零的態(tài)叫做 束縛態(tài)。束縛態(tài)是離散的。例如維諧振廣就屬于束縛定態(tài)，具有量r化能級(jí)。但束縛態(tài)不 定是定態(tài)。例如限制在維箱/中的粒/，

11、最股的可能態(tài)是以系列分立的定態(tài)疊加而成的 波包。這種疊加是沒有確定值的非定態(tài)。雖然股情況下定態(tài)多屬束縛態(tài)，當(dāng)定態(tài)也可能有非 束縛態(tài)。15 . （1）在量子力學(xué)中，能不能同時(shí)用粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的確定值來描寫粒子的量子狀態(tài)？（2）將描寫的體系量子狀態(tài)波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的體系量子狀態(tài)是否改變？（3） 歸一化波函數(shù)是否可以含有任意相因子（6是實(shí)常數(shù)）？（4）已知F為一個(gè)算符，當(dāng)F滿 足如下的兩式時(shí)，a. E+ = E,b.尸”=/+，問何為厄米算符，何為幺正算符？（5）證明厄 米算符的本征值為實(shí)數(shù)。量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符是不是都是厄米算符？答：（1）不能；因?yàn)樵诹孔恿W(xué)中，粒:具有波粒二象

12、性，粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不可能同時(shí)具有 確定值。（2）不改變：根據(jù)Born對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，描寫體系呈廣狀態(tài)的波函數(shù)是概率 波，由于粒子必定要在空間中的某點(diǎn)出現(xiàn)，所以粒廣在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率總和等于1,因 而粒廣在空間各點(diǎn)出現(xiàn)概率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度。（3）可以；因?yàn)?i,如果m對(duì)整個(gè)空間積分等于1,則卜1"，對(duì)整個(gè)空間積分也等于1.即用任意相因 f ei3 （6是實(shí)常數(shù)）去乘以波函數(shù)，既不影響體系的量子狀態(tài)，也不影響波函數(shù)的歸化。 （4）滿足關(guān)系式a的為厄密算符，滿足關(guān)系式b的為幺正算符；（5）證明：以4表示F的本 征值，”衣示所屬的本征函數(shù)，則戶獷=/獷因?yàn)镕是厄密算

13、符，于是有2fy/y/dx = y/y/dx.由此可得之=下，即%為實(shí)數(shù)。16 .薛定譚方程應(yīng)該滿足哪些條件？答：（1）它必須是波函數(shù)應(yīng)滿足的含有對(duì)時(shí)間微商的微分方程；（2）方程是線性的，即如果必 和匕都是方程的姐，那么心和匕的線性疊加 =C附+C2%也是方程的解，這是因?yàn)楦鶕?jù)態(tài)疊加原理，如果和*2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加:W = CW+C" （q，C2是復(fù)數(shù)）也是這個(gè)體系的個(gè)可能狀態(tài)：（3）這個(gè)方程的系數(shù)不應(yīng)該包含狀態(tài)的參量，如動(dòng)量、 能量等，因?yàn)榉匠痰南禂?shù)如含有狀態(tài)的參量，則方程只能被粒廣的部分狀態(tài)所滿足，而不能被各 種的狀態(tài)所滿足。17 .量子力學(xué)中的力學(xué)量用什么算

14、符表示？為什么？力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是什么形 式？答：量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄密算符。因?yàn)樗辛W(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)，既然表示 力學(xué)量的算符的本征值是這個(gè)力學(xué)量的可能值，因而表示力學(xué)量的算符，它的本征值必須是實(shí) 數(shù)。力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣。18 .簡(jiǎn)述力學(xué)量算符的性質(zhì)？答：（1）實(shí)數(shù)性：厄密算符的本征值和平均值皆為實(shí)數(shù)；（2）正交性：屬于不同本征值的本 征態(tài)彼此正交。即?。?）完備性：力學(xué)量算符的本征態(tài)的全體構(gòu)成完備 集，即材3=工%3。II19 .在什么情況下兩個(gè)算符相互對(duì)易？答：如果兩個(gè)算符/和c有組共同本征函數(shù)外，而且外組成完全系，則算符戶和e對(duì) 易。2

15、0 .請(qǐng)寫出測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系？答：設(shè)算符/和e的對(duì)易關(guān)系為：戶，。=it,則測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式為： （AF）'.（AG）'> ,如果萬不為零，則尸和6的均方偏差不會(huì)同時(shí)為零，它們的乘積要大 于一正數(shù)。21 .量子力學(xué)中的守恒量是如何定義的？守恒量有什么性質(zhì)？量子力學(xué)中的守恒量和經(jīng)典力學(xué) 的守恒量定義有什么不同，并舉例說明？答：量子力學(xué)中不顯含時(shí)間，且其算符與體系的哈密頓算符對(duì)易的力學(xué)量稱為守恒量：量/體 系的守恒量，無論在什么態(tài)下，平均值和概率分布都不隨時(shí)間改變：量廣力學(xué)中的守恒量與經(jīng) 典力學(xué)中的守恒量概念不相同，實(shí)質(zhì)上是不確定度關(guān)系的反映。a,量廣體系的守恒量并不-定 取確定值，及

16、體系的狀態(tài)并不定就是某個(gè)守恒量的本征態(tài)。如對(duì)于自由粒f,動(dòng)量是守恒 量，但自由粒廣的狀態(tài)并不定是動(dòng)量的本征態(tài)（平而波），在般情況下是,個(gè)波包：b.量 廣體系的各守恒量并不定都可以同時(shí)取確定值。例如中心力場(chǎng)中的粒/，/的三個(gè)分量都守 恒，但由于（不對(duì)易，股說來它們并不能同時(shí)取確定值（角動(dòng)量/=0的態(tài)除外）。22 .定態(tài)微擾理論的適用范圍和適用條件是什么？答：適用范圍：求分立能級(jí)及所屬波函數(shù)的修正；適用條件是：%式中蜷黃£黑。£ 一 £ m 23 .什么是自發(fā)躍遷？什么是受激躍遷？答：在不受外界影響的情況下，體系由高能級(jí)躍遷到低能級(jí)，這種躍遷稱為自發(fā)躍遷；體系在 外界

17、（如輻射場(chǎng)）作用下，由低能級(jí)躍遷到高能級(jí)，這種躍遷稱為受激躍遷。24 .什么是嚴(yán)格禁戒躍遷？角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則是什么？答：如果在任何級(jí)近似中躍遷幾率均為零，這這種躍遷稱為嚴(yán)格禁戒躍遷。角量廣數(shù)和磁量 數(shù)的選擇定則是：A/ = ±1; A/h = 0,± 1 o25 .誰提出了電子自旋的假設(shè)？表明電子有自旋的實(shí)驗(yàn)事實(shí)有哪些？自旋有什么特征？答：烏倫貝克和高斯密特提出了電廣自旋的假設(shè)。他們主要根據(jù)的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)事實(shí)是：堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)和反常的Zeeman效應(yīng)。他們假設(shè)的主要內(nèi)容為：a.每個(gè)電廣具有自旋角動(dòng)量A 1s ,它在空間任何方向上的投影只能是兩個(gè)數(shù)值：s.=&#

18、177;-力：b,每個(gè)電廣具有自旋磁矩 .2它和它的自旋角動(dòng)量S的關(guān)系式是：后s=彳號(hào)，式中e是電子的電荷，是電G的質(zhì)量。農(nóng)明電子有自旋的實(shí)驗(yàn)事實(shí)：斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)。其現(xiàn)象：K射出的處于S態(tài)的氫原f束通過狹縫BB和不均勻磁場(chǎng)，最后射到照相片PP上，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是照片上出現(xiàn)兩條分立線。解釋：氫*F -也配絲cosG 一原具有磁矩，設(shè)9沿Z方向：U =-應(yīng)B = -MBcos3. =-而=法儂如初在空間可 取任何方向，-應(yīng)連續(xù)變化，照片上應(yīng)是連續(xù)帶，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩條，說明應(yīng)是空間量子化的，只有兩個(gè)取向cos9 = ±l,對(duì)s態(tài)，二°,沒軌道角動(dòng)量，所以原子所具有的磁矩是電子固有

19、磁矩，即自旋磁矩。自旋的特點(diǎn)：（D電r具有自旋角動(dòng)量這特點(diǎn)純粹是量J'特性，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解 釋。它是電廣的本身的內(nèi)稟屬性，標(biāo)志/電子還有個(gè)新自由度。（2）電:自旋與其它力學(xué)量 的根本區(qū)別為，般力學(xué)量可衣示為坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)，自旋角動(dòng)量與電坐標(biāo)和動(dòng)量無關(guān)， h不能表示為 iP ,它是電廣內(nèi)部狀態(tài)的表征，是個(gè)新的自由度。（3）電:自旋值是5,而不是為的整數(shù)倍。（4）當(dāng) 匕 而 了一而兩者在差一倍。自旋角動(dòng)量也具有其它角八 八，、動(dòng)量的共性，即滿足同樣的對(duì)易關(guān)系：S"S =筋。 它是個(gè)內(nèi)稟的物理量，不能用坐標(biāo)、動(dòng)量、時(shí)間等變量表示； 它完全是一種量子效應(yīng)，沒有經(jīng)典對(duì)應(yīng)量。也

20、就是說，當(dāng)力-0時(shí)，自旋效應(yīng)消失。它是角動(dòng)量，滿足角動(dòng)量最一般的對(duì)應(yīng)關(guān)系。而且電子自旋在空間任何方向上的投影 只取±力/2兩個(gè)值。26 .什么是斯塔克效應(yīng)？答：當(dāng)原子置于外電場(chǎng)中，它發(fā)射的光譜線將發(fā)生分裂，這稱為Stark效應(yīng)。27 .什么是光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)？產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因是什么？考慮精細(xì)結(jié)構(gòu)后能級(jí)的簡(jiǎn)并度是多 少？答：由于電子自旋與軌道角動(dòng)量耦合，是原來簡(jiǎn)并的能級(jí)分裂成幾條差別很小的能級(jí)，稱為光 譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)：當(dāng)n和1給定后，j可以取/ = /±/，（/ = 0除外），即具有相同的量子數(shù) n, 1的能級(jí)有兩個(gè)，它們的差別很小，這就是產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因?？紤]精細(xì)結(jié)構(gòu)后能級(jí)

21、的簡(jiǎn) 并度為（2j+l）28 .什么是塞曼效應(yīng)？什么是反常的塞曼效應(yīng)？對(duì)簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)，沒有外磁場(chǎng)時(shí)的一條譜線在 外磁場(chǎng)中分裂為幾條？答：把原子（光源）置于強(qiáng)磁場(chǎng)中，原廣發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，我們把這稱為正常 的塞曼效應(yīng)。而反常的塞曼效應(yīng)是指在弱磁場(chǎng)中原廣光譜線的復(fù)雜分裂（分裂成偶條數(shù)）。對(duì) 簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)，沒有外磁場(chǎng)時(shí)的條譜線在外磁場(chǎng)中分裂為三條。29 .什么是全同性原理和泡利不相容原理？答：全同性原理：由全同粒子所組成的體系中，兩全同粒相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。 描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。泡利 不相容原理：不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的焚

22、米子處于同狀態(tài).30 .寫出泡利矩陣的形式及其對(duì)易關(guān)系。請(qǐng)用泡利矩陣定義電子的自旋算符，并驗(yàn)證它們滿足角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系。八答：泡利矩陣：j =1116人方易關(guān)系為：ax（r = 2ia：自旋算符S= - 1%=S£S、e 即:= 2i4ri<0031 .請(qǐng)寫出兩個(gè)電子體系的波函數(shù)。答：按空間態(tài)和自旋態(tài)組合可有四種反對(duì)稱態(tài):.空間態(tài)對(duì)稱自旋態(tài)反對(duì)稱,空間態(tài)反對(duì)稱自旋態(tài)對(duì)稱,2 % 伍 K 伉)+% 伍圾(n )川 Zi (1 % - Zi(2)z_i (1)L 2222ZiO)Zi(2)W 外缶W(wǎng) (馬)一外伍W C Z-i (1 )人 727 T22。)憶+2如L 2222其中方

23、例G）=紇例（弓）：用外（弓）=紇%伍）。32 .請(qǐng)簡(jiǎn)述微擾論的基本思想.答：將復(fù)雜的體系的哈密頓量宜分成白。與兩部分。聲3是可求出精確解的，而,可 行成育。的微擾。只需將精確解加上由微擾引起的各級(jí)修正量，逐級(jí)迭代，逐級(jí)逼近，就可得 到接近問題真實(shí)的近似解。確定后時(shí)，先確定走°,再用育二方一自。確定立33 .什么是玻色子和費(fèi)米子？答：由電九 質(zhì)上 中子這些自旋為5的粒子以及自旋為5的奇數(shù)倍的粒廣組成的全同粒; 體系的波函數(shù)是反對(duì)稱的，這類粒打假從費(fèi)米（Fermi）-狄拉克（Dirac）統(tǒng)計(jì)，稱為費(fèi)米子，由光廣（自旋為1）以及其它自旋為零，或光整數(shù)倍的粒廣所組成的全同粒子體系的波函數(shù)是

24、對(duì)稱的，這類粒子服從玻色（Bose）愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，稱為玻色子。34 .什么是隧道效應(yīng)？請(qǐng)舉例說明隧道效應(yīng)的應(yīng)用。答：粒子在其能量E小于勢(shì)壘高度U。時(shí)，仍然會(huì)有部分粒子穿過勢(shì)壘的現(xiàn)象叫隧道效應(yīng)，又叫隧穿效應(yīng)。隧道效應(yīng)的應(yīng)用：1.掃描隧道顯微鏡（STM）是電J'隧道效應(yīng)的重要應(yīng)用之 掃描隧道顯微鏡可以顯示表面原子臺(tái)階和原子排布的表面三維圖案。在表面物理、材料科學(xué)和 生命科學(xué)等諸多領(lǐng)域中，掃描隧道顯微鏡都能提供十分有價(jià)值的信息。2.隧道二極管是種利 用隧道效應(yīng)的半導(dǎo)體器件，也是隧道效應(yīng)的重要應(yīng)用之-o由于隧道效應(yīng)而使其伏安特性曲線 出現(xiàn)負(fù)陽區(qū)，因而隧道二級(jí)管具有高頻、低噪聲的特點(diǎn)。隧道二級(jí)管

25、是低頻放大器、低頻噪聲 振蕩器和超高速開關(guān)電路中的重要器件。35 .厄米算符具有哪些性質(zhì)？厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有哪些性質(zhì)？答：厄米算符具有下列性質(zhì)：a.兩厄米算符之和仍為厄米算符；b.當(dāng)且僅當(dāng)兩厄米算符A和 B對(duì)易時(shí)，它們之積才為厄米算符。因?yàn)椋?啟）="不=而。只有在4,可=0 時(shí)，BA = AB,才有，啟）=久后，即人后仍為厄米算符；C.無論厄米算符3、方是否對(duì)易，算符1 2八人人人1/A人人人、因?yàn)锳6 + A4）及五（AB 84）必為厄米算符-(AB-BA =-1+1 彳方=b = L(ab-ba2iv， 2i 2i 2iv7 2/vd.任何算符總可分解為6

26、= 6_ +底。令d = -（d+o. 6. =，伍一61,則4和6_ 2/2/均為厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有下列性質(zhì)：厄米算符的平均值是實(shí)數(shù)；在任何狀態(tài)下平均值均為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符：厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)。厄米算符在本征態(tài)中的平均值就是本征值。厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交；厄米算符的簡(jiǎn)并的本征函數(shù)可以經(jīng)過重新組合 后使它正交歸化：厄米算符的本征函數(shù)系具有完備性：厄米算符的本征函數(shù)系具有封閉 型。36 .簡(jiǎn)單討論一下相對(duì)論情形和非相對(duì)論情形下的德布洛意關(guān)系式。2答：對(duì)于非相對(duì)論情形：£k =, P =;2%相對(duì)論情形：E1 = p2c2 +nvc4

27、 ；所以當(dāng)4 «c時(shí)，即得到非相對(duì)論情形下的公式:由于能量只有相對(duì)變化AE才有意義（即能量的絕對(duì)值在物理上是沒有意義的，它依賴于“零能量值”的選?。?，/q = AE = £2 - 4可將常數(shù)項(xiàng)6抵消，此時(shí)相對(duì)論形式的關(guān)系退化為非相對(duì)論情形：u = ?, 4就是非相對(duì)論粒毛的動(dòng)能.德布洛意頻率本身不是個(gè)可觀測(cè) h量，因此只有鐫布洛意波長(zhǎng)具有物理意義。37 .為什么物偵的波動(dòng)性在宏觀尺度不顯現(xiàn)？答：由于九= /?/，原因是普朗克常數(shù)太?。?? = 6.6*10-乂，5）,而宏觀尺度的運(yùn)動(dòng)動(dòng)量太大，導(dǎo)致波長(zhǎng)太小，難以引起可以觀察的物理效應(yīng)。因?yàn)?=J而后，要減小宏觀尺度運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量

28、，必須減小動(dòng)能E,但從物理上考慮E不可能減小到比熱運(yùn)動(dòng)能量鉆7更小，所以必須減 小質(zhì)量。質(zhì)量的減小對(duì)應(yīng)于尺度的減小。只有把物體尺度減小到微觀尺度，才可能出現(xiàn)較大的 物質(zhì)波波長(zhǎng)從而引起可以觀察到的物理效應(yīng)。38 .相對(duì)論粒子德布洛意波對(duì)應(yīng)的相速度，群速度分別是多少？（相速度匕,=2 =，代表相at kdco位傳播的速度0波包是指波動(dòng)在有限空間中分布.群速度,二/對(duì)應(yīng)波包運(yùn)動(dòng)的速度）辭由德布洛意關(guān)系臺(tái)痔工所以：波小于E me2 mnc22 加u = =.。，所以3=“，h h /zl-（v/c）2一CD iTCin.AT 力C2則相速度：=- = O2萬目又因?yàn)?dco 所以，群速度：匕,= dk

29、k 禪-（機(jī)）22加（產(chǎn) V八即在相對(duì)論情形下粒廣運(yùn)動(dòng)速度也對(duì)應(yīng)于波包的群速度。39 .自由粒子非相對(duì)論情形的相速度和群速度分別為多少？答：力G=竺1_,。="-,則群速度：V = = （對(duì)應(yīng)的才是粒用運(yùn)動(dòng)的速度）。2m 2mdk m而相速度：v = =（不是粒子運(yùn)動(dòng)速度）.k 2m40 .什么是希爾伯特空間？波函數(shù)與希爾伯特空間的關(guān)系?答：希爾伯特空間是定義在復(fù)數(shù)域上的個(gè)有限維或無限維的完備矢量空間。波函數(shù)時(shí)應(yīng)于希 爾伯特空間中的態(tài)矢。41 .試舉例有哪些實(shí)驗(yàn)揭示了光的粒子性質(zhì)？哪些實(shí)驗(yàn)揭示了粒子的波動(dòng)性質(zhì)？答：黑體輻射、光電效應(yīng)、康普頓散射實(shí)驗(yàn)給出了能量分立、光場(chǎng)量廣化的概念，從

30、實(shí)驗(yàn)上揭 示了光的粒f性質(zhì)。電楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)、電子在晶體表面的衍射實(shí)驗(yàn)、中子在晶體上的衍射實(shí) 驗(yàn)從實(shí)驗(yàn)上揭示了微粒的波動(dòng)性質(zhì)。16、證明角動(dòng)量算符乙、£v、工滿足如下對(duì)易關(guān)系乙,£=戒八也,£/=癡x、L,Lx = ihLy.<i>角動(dòng)昆麻符的表達(dá)式向動(dòng)量w符的定義為x(-濟(jì)刃它的三個(gè)分量為 2,=應(yīng)-3，=一伏號(hào)-二z”-以一, %力(才Z =勿一應(yīng)=7M在鬢子力學(xué)中,我們經(jīng)常要用到用動(dòng)殳平方算符.其定義為它在H向坐標(biāo)系中的表達(dá)式為,蜷7守+唱-吟力由于這個(gè)友達(dá)式中含有關(guān)于坐標(biāo)xj:二的偏導(dǎo)數(shù)的交叉項(xiàng),因此在求解本征值方程時(shí).法用分滴變量法.為此,我們

31、引入球坐標(biāo)系卜.的表達(dá)式,它在許多情形卜是比較方便的，球坐標(biāo)和葛珀坐標(biāo)的關(guān)系】丁=/sin 0cos0= /-sin 6sin ° ,<二=rcosdr2 =+ cos0 = r/r tan 巾=y! x(2) dt,3則一 »sin 0cos0=sin 6sin(dxdj- cos0dzdear一 cos6cos0de i=cossin(/>dy r更一Lsme dz rdtp1 sin (p r sm 6” _ 1 cos力 / 5m 6弛=。dzhi” d dr d所以。仃一=dr dxdrdx d0 dx %八 ，。1-。sin 0 d=sm 6cos(

32、p+ -COS0COS0* 7-d0 /-sin 6 d(p色二包變上+曳士 = sm asm乒+ Los. df9 dydf 6。d6 5, d(pdr ra型叱士dd / sin 6 d42=2金+ 空 2+竺 £=皿62_%62 de dz dr dz d6 dz d(p dr r d6代回到表達(dá)式中,有2f = -/力八111 6sin 0cos6- /*sin2 6sin " rcossin 6sin 0- drr d6dr八 a >> cos6 d-rcos 6sin <p- rcos6/, d6 /-sin 6 哪=/力(sm(P+ cot6

33、cos d6；/ 八 八 八。 j 1 J dsin 0 dL =-/力。cos6sin Seos4+ rcos 6-cos(brcosddr r d6 rsm 6 d(pd1一 rsin 6cos(Pcqs6+rsin 0cos0-sindrr=-/ft(cos- cotsind6dIdL. - -z/(/3in26cos(/>sin + /-sin 0cos-cosdsm (p+*rd0八 ，cos0 d1八, 八d八 ，1 八+ /-sin 6cos0 zsrn 6sm 0cos0-rsin 6sin 0cos6cos(/>rsin 6 d(p力，d6+ 4黑箭一臉由此得 2

34、?=-一-2(sin 0)+ 1-豈TP,<sin 6 &636 sin 1 6 0(2)角動(dòng)量算符的本征值方程我們先看£的本征俏方程-而23(0)= 郵解之得卜二4(=乙力H這里O是積分總數(shù),也是歸化常銳,利用波函數(shù)的中值性，行吸M 以少+ 2%)=>沖 G L；，1力所以絲=2加”方"、證明在與。的共同本征態(tài)九=1加> 中，算符L、工的平均值為0。推論2：厄米算符平方的平均值大于等于零V：和口7),若Q = d,即一二不貝lj *=Ji/A)2y/d3r =)d3rcoon十8十8f 八 人* " 2AG '=Aii/A /

35、d r = Ai/V J r > 0JOOOQ37、求一維諧振子處于基態(tài)有第一激發(fā)態(tài)時(shí)的能量、坐標(biāo)幾率分布和粒子的最可 兒位置。解：第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)為：=1 ， 一一a廣 2axe 2概率密度:%(x)=| %(刈=4a ' a'*' =xe a 14n=竺2入-2疝/產(chǎn), ch “令 =0,得 x=O x = ±- dra由陷。)的表達(dá)式可知，4 = o,a=±s時(shí)，叫a)=o。顯然不是最大幾率的位置?？梢姽?是所求兒率最大的位置。38、求自由粒子的概率流密度并解釋結(jié)果的意義。EE先看弘(X。= w(a) exp(zx - ff) + v(

36、j) exp(-zx) exp(-/ t) h力£=|w(a)exp(n:)+ v(.v) exp(- ly) exp(- it)由此可見，其能顯值為固定值E，故此狀態(tài)為定態(tài)。 £ £對(duì)丁人(Yj) = (x)exp(_i，f) + (x)exp(T_R)，顯然有兩個(gè)可能的能最值g和E . -nti-所以不是定態(tài)。X4 J y/3UJ) = M(x)exp(-/0 + w(x)exp(/),顯然能審有個(gè)展取伯七和一七 方 力可以驗(yàn)證概率密度及概率流密度是否隨時(shí)間變化。4、設(shè)一維勢(shì)壘寬度為。，試由不確定性原理 計(jì)算粒子的動(dòng)能的不確定大小。為了更為清晰地認(rèn)識(shí)感道效應(yīng)在

37、各種勢(shì) 壘中的隧穿行為，我將從薛定洋方程出發(fā)，進(jìn) 一步討論此類問題。2 一維矩形勢(shì)壘中粒子的隧道效應(yīng)對(duì)于一維矩形勢(shì)壘，其勢(shì)場(chǎng)函數(shù)可以表示 為，如圖1所示。具有一定能量E的粒子白(x<O?x>a)其中 /I：=新加。(0<x<a)其中，=悌(石口)方形勢(shì)壘左方(1區(qū))向右運(yùn)動(dòng).粒子波函數(shù)所演足的葬定語方程是2.1 當(dāng)E>時(shí)j在XVO的區(qū)域內(nèi)，波度數(shù) 必=4*” +40-叼1在Ox<a的區(qū)域內(nèi),波函數(shù)必=CeS+D”“(1)在x>a的區(qū)域內(nèi)，波函數(shù) 必=4/、4易看出此三個(gè)波國數(shù)右邊第一項(xiàng)表示右行波，第二項(xiàng)是左行波，由于在x>a的區(qū)域內(nèi)，無左行波，則為=0.利用波函數(shù)的連族性可得：在 x=o 處：4+4=c+d214 艮=k2 c一心 D（2）在x=a處；C產(chǎn)，+D皆，=4e”k2 C e'S k： D e* = k. A2 4（3）簿上式可存：4 %-* i5 （無+感）-應(yīng)-不）'產(chǎn)。2電；-后）sill*B' =.,（才：_卜2）'/”一（,+0）-1 則透射系數(shù)為：Q = =這（4）14的 sin - ak2 十 %超反射系數(shù)為Im 畫-后