等差數(shù)列前n項和教案(公開課教案)

1、”等差數(shù)列的前n項和”教案教學(xué)教師活動環(huán)節(jié)新課引入創(chuàng)設(shè)情境：首先讓學(xué)生欣賞一幅美麗的圖片泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景 點，傳說中陵寢中有一個三角形的圖案嵌有 大小相同的寶石，共有100層，同時提出第 一個問題：你能計算出這個圖案一共花了多 少顆寶石嗎？也即計算1+2+3+I.+100=?問題2:何老師按揭買房，向銀行貸款25萬元，采取等額本金的還款方式，即每月還款 額比上月減少一定的數(shù)額。2007年1月，學(xué)生活動現(xiàn)實模型:模型 直觀 用實際 生活引 入新圖片欣賞生活實例我第一次向銀行還款2348元，以后每月比 上月的還款額減少5元，若以2007年1月銀行貸款利率為基準(zhǔn)利率，那么到2026年

2、 12月最后一次還款為止，何老師連本帶利一共還款多少萬元?首先認(rèn)識一位偉大的數(shù)學(xué)家一一高斯， 然后提出問題：高斯是如何快速計算1+2+3 +4+.+100?設(shè)等差數(shù)列an前n項和為Sn ,則Sn =a1 a2, an an問題1老師：利用高斯算法如何求等差數(shù)列的前 n 項和公式？老師：但是否剛好配對成功呢？(1) n為偶數(shù)時：Sn = aan anan 一'122學(xué)生：1+100=101 , 2+99=101, .50+51=101, 所以原式=50x (1+101) =5050學(xué)生：將首末兩項配對，第二項與倒數(shù)第二項配對，以此類推，每一對的和都相等，并且都等于a1 an學(xué)生：不一定，

3、需要對n取 值的奇偶進(jìn)行討論。當(dāng)n為偶數(shù)時剛好配 對成功。Sn = 7 (a1 an)高斯求 和眾所 周知， 學(xué)生能 快速解這里 用到了 生平沏 牙左型 列腳標(biāo) 和性質(zhì)從高 斯算法 出發(fā)， 對n進(jìn)2(2 nSn =a an 1- an.1 - an 1-1老師：那么該如何解決落單的an書呢？cn -1 ,、2Sn (a1 , an) an 12-2-an 1 ' an 1n -122=2 (a1 an)2n,、- 2 (a1 an)同過對n取值的討論，得到了前項和求和公式：sn = n(a1 + an)但是對n討論麻煩了，能否有更好的 方法求前n項和公式呢？接下來給出實際 問題：伐木工

4、人是如何快速計算堆放在木場 的木頭根數(shù)呢？問題2:如何用倒置的思想求等差數(shù)列前 n 項和呢？方法一：Sn = a1 a2an-1 an當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的 一項an 1落單了。-2(可能部分學(xué)生在此會遇 到困難，老師做適當(dāng)?shù)囊?導(dǎo)。)學(xué)生：觀察an中的腳標(biāo)與2an 1 2+ an腳標(biāo)的關(guān)系，即：an 1 an 1_ 22 al ' an一 2 一 2學(xué)生觀察動畫演示，不 難發(fā)現(xiàn)用倒置的思想來解 決此問題。(由上一問題的解決，學(xué)生 容易想到倒序相加求和 法。學(xué)生：利用倒序相加求和 法。Sn = anan/a2a1兩式相加得：2Sn二n(a1 . an)Sn = n(ai an)方法二2同

5、樣利用倒序相加求和法，教材做了如下處理：Sn =ai (ai d)ai (n -1)d! I !Sn = an (an -d)an 一(n -1)d將Sn中的每一項用等差數(shù)列的通項公式進(jìn)行巧 妙的改寫，在倒序相加求和 時，每一組中的d都被正負(fù) 抵消了。2Sn = n(aj a2 )尋找求 和公式 思路自 然，學(xué) 生容易 想到。對中 問項an .1的解決辦 法的過 程中， 進(jìn)一步 讓學(xué)生 體會研 究數(shù)列 就是對 腳標(biāo)數(shù) 學(xué)的研 究。倒序相 加求和 法是重 要的數(shù) 學(xué)思 想，為 以后數(shù) 列求和 的學(xué)習(xí) 做好了 鋪墊。在等差 數(shù)列前 n項和 公式的 推導(dǎo)過 程中， 通過問 題獲得兩式相加得:公式 1

6、： Sn = (ai + an)弓I導(dǎo)學(xué)生帶入等差募I的通項公上 換 掉an整理得到公式2。八'n(n - 1)公式2: Sn = na1+-d學(xué)生類比方法一與方法 的聯(lián)系與區(qū)別。議練活動例1 ：計算(1) 1+2+3+n(2) 1+3+5+-+(2n-1)(3) 2+4+6+-+2n(4) 1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n教師通過動畫演示給(1),(2)問一個直觀 的解釋。變式練習(xí)：課前提出的房貸問題。解：由已知每月還款數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)為6： a1 = 2348,d =-5,n= 240n(n 1)Sn = na12 d240 239=240 2348(- 5)2=4201

7、20(元)學(xué)生自己閱讀教材，體 會教材的解法是如何運用 求和公式。觀察多媒體課件演示。學(xué)生：要求總還款額實際就 是對一個等差數(shù)列求和。問題3:能否給求和公式一個幾何解釋呢?教師提示將求和公式與梯形建立聯(lián)系。學(xué)生：將求和公式與梯形而 積公式建立聯(lián)系，而梯形面 積公式的推導(dǎo)也正是利用 了倒置的思想。學(xué)生：同樣將公式2與梯 形面積公式建立聯(lián)系。用 “割”的思想將梯形分做一 個平行四邊形和一個三角 形，而梯形面積就是這兩部 分面積之和。知識， 讓學(xué)生 經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn) 問題一 一提出 問題一 一解決 問題” 的過程通過對 實際問 題的解 決讓學(xué) 生認(rèn)識 到數(shù)學(xué) 來源于 生活， 同時又 服務(wù)于 生活利用數(shù) 形

8、結(jié)合 的思 想，使 學(xué)生對 兩個公 式有直 觀的認(rèn) 識，體10會數(shù)學(xué)公式 2： Sn = nan(n -1) d 2的圖形 語言。學(xué)生討論：公式中一共含有 五個量，根據(jù)三個公式之間 的聯(lián)系，由方程的思想，知 三可求二。學(xué)生討論分析題目所含的 已知量，選取了公式2進(jìn)行 運算，利用了方程的思想。 需要注意的是學(xué)生可能會 把公差認(rèn)為是-4,以及解得 n的值后未把n=-3舍去。學(xué)生進(jìn)行了分組討 論，然后每組派學(xué)生代表進(jìn) 行分析。不少小組首先對已 知條件作轉(zhuǎn)化，希望能通過 解方程求出首項和公差，但 發(fā)現(xiàn)條件不夠，不能解出這 些基本量，教師做適當(dāng)?shù)囊?在 解決了 例1的 基礎(chǔ) 上，由 淺入 深，深 化了

9、對 公式的 理解， 體現(xiàn)了 方程的 思想。緊扣 教材， 讓學(xué)生 體會整 體應(yīng)用 公式， 類比化 歸的思 想方 法，同剖析公式：公式1 &二幽2公式2 Sn=na1+羋/d通項公式：an = a1 + (n - 1)d教師提示，從方程中量的關(guān)系入手。例2 等差數(shù)列-10 , -6 , -2 , 2,前多 少項的和為54?解：設(shè)題中的等差數(shù)列是 On,前n項和為小 :則 a1= 10, d= 6 (10) =4令Sn)=54,由等差數(shù)列前n項和公式，得：-10n + n(n-1)x4-54.斛行n1一9,門2 一 3 (舍去)導(dǎo)。時，為 以后綜因此，等差數(shù)列的前9項和是54合問題 的解答

10、設(shè)下伏例3：在等差數(shù)列a。中(1)已知：a2 +a5 + a12 +a15 =36，求S16(2)已知：a6=20，求 Sii筆。解：(1) ; a2 + ai5 =a5+ai2 = ai+ai6課堂總結(jié)aiai6 = a2 a15 = 18.Si6 =16(ai a16)=144(2)Sii2(ai aii) 112a6 11-6二 220本小題主要2察了對公式一的整體應(yīng)用0根據(jù)課堂剩余時間，本題作為機動練習(xí),(2)小問留給學(xué)生課后完成。1、教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué) 習(xí)的主要內(nèi)容.2、課后作業(yè)：教材 118 頁：1、2、3、5、6、7課后思考：等差數(shù)列的前n項和的求和方法除 了倒序相加

11、法還有沒有其它方法呢？3、對求和史的了解我國數(shù)列求和的概念起源很早，在北 朝時，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法。他在 張丘建算經(jīng)中給出等差數(shù)列求和問題： 例如：今有女子不善織布，每天所織的布以 同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，共 織三十日，問共織幾何？原書的解法是：“并初、末日織布數(shù)，半之再乘以織日數(shù)，即得本環(huán)節(jié)由學(xué)生自主歸 納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主 要內(nèi)容，教師加以補充說 明.(1)回顧從特殊到一 般，一般到特殊的研究 方法.(2)體會等差數(shù)列的基 本元表示方法，倒序相加的 算法，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思 想.(3)掌握等差數(shù)列的兩 個求和公式及簡單應(yīng)用。了解我國古代研究等差 數(shù)列求和的情況。通過

12、對 生平沏 牙左型 列求和 歷史的 了解， 滲透數(shù) 學(xué)史和 數(shù)學(xué)文 化。二、教學(xué)反思根據(jù)教學(xué)經(jīng)歷和學(xué)生的反饋信息，筆者對本課有如下五點反思：(1)根據(jù)實際教學(xué)情況，學(xué)生比較容易掌握本課知識。在教學(xué)過程中，我重點突出了學(xué)生活動，設(shè)計了四個活動環(huán)節(jié)：(1)公式的探究活動；(2)公式的認(rèn)識(3)公式的應(yīng)用(4) 學(xué)生課后的拓展學(xué)習(xí)。(2)本課特別強調(diào)了幾何直觀，我不僅對求和公式給出了幾何解釋，也對部分習(xí)題 給出了幾何解釋，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。(3)由于高斯求和法眾所周知，于是我補充了我國古代研究數(shù)列求和的情況，但由 于時間關(guān)系不能展開講解，所以如何在課后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了解是一個值得研究的問題。(4)本節(jié)課充分利用了多媒體技術(shù)的強大功能，把現(xiàn)代信息技術(shù)作