1.2.分部積分法ppt課件

1、函數(shù)，復合函數(shù)的積分函數(shù)，復合函數(shù)的積分函數(shù)，有理函數(shù)，無理函數(shù)，有理函數(shù)，無理三角三角了冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù),了冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù),積分公式及換元法解決積分公式及換元法解決分？分？兩類函數(shù)的乘積如何積兩類函數(shù)的乘積如何積問題問題 ?dxxex解決思路解決思路逆用兩個函數(shù)乘積的求導法則逆用兩個函數(shù)乘積的求導法則. vuvuuv , vuuvvu dxvuuvdxvu duvuvudv -分部積分公式分部積分公式5.5 5.5 分部積分法分部積分法Cexexx dxexexx兩邊取積分兩邊取積分不易積不易積易于積易于積 dxxex xxde例例1 1 求積求積分分.cos xdxx解一解一 xdxxc

2、os xdxxxxsin2cos222顯然，積分更難進行顯然，積分更難進行.解二解二 xdxxcos xxdsin xdxxxsinsinCxxx cossin)21(cos2 xxdduvuvudv 例例2 2 求積求積分分.2 dxexx解解 dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法） 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)u 冪函數(shù)冪函數(shù) xdex2duvuvudv )(留下冪函數(shù)留下冪函數(shù)例例3 3 求積求積分分.arctan xdxx解解 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxx

3、xxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx )21(arctan2 xxd例例4 4 求積求積分分.ln3 xdxx解解 xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx )41(ln4 xxd 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)反三角函數(shù)反三角函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)u 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)反三角函數(shù)反三角函數(shù))( 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)反三角函數(shù)反三角函數(shù)留下留下例例5 5 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdex

4、ecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsinCxxex )cos(sin2注意循環(huán)注意循環(huán)形式！形式！例例6 6 求積求積分分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 本題將換元積分法和分部積分法結合使用本題將換元積分法和分部積分法結合使用 dxx)sin(ln,ln xu 令令duedxexuu ,則則 udueusinCuueu )cos(sin2 在接連幾次應用分部積分公式時在接連幾次應用分部積分公式時, 應注意前后幾次應注意前后幾次留下的留下的 應為同類型函數(shù)應為

5、同類型函數(shù).u合理選擇合理選擇 ,正確使用分部積分公式正確使用分部積分公式vu ,求兩個函數(shù)乘積的不定積分，一般采用分部積分求兩個函數(shù)乘積的不定積分，一般采用分部積分 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)留下冪函數(shù)留下冪函數(shù)duvuvudv 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)反三角函數(shù)反三角函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù) 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)反三角函數(shù)反三角函數(shù)留下留下例例7 7 求積求積分分 .1arctan2dxxxx解解 dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1xx arctan12

6、.)1ln(2Cxx )1(1arctan2122xdxx例例8 8 求積求積分分 .)1(2dxxxex解解1 xdxedxxxexx11)1(2)(111 xxxedxxxe dxxxeexxexxx11 dxexxexx1Cexxexx 1Cxex 1解解2 dxxexdxxxexx22)1()11()1( dxxedxxexx2)1(1 xdedxxexx111 dxxexedxxexxx111Cxex 1解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx兩邊同時對兩邊同時對 求導求導, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex dxxfxexfx)()(92，求，求的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是已知已知例例習習練練 dxex. 2tx 令令 dttet2dxexx32. 1 Cexeexxxx 33322729231Cxex )1(2dxx 1arctan. 3Cxxx )1ln(211arctan2 dxxx1arcsin. 4 )1(arcsin2xxdCxxx 14arcsin12xdx 3sec. 5 xxdtansec xdxxxxsectantansec2 xdxxxxsec)1(sectansec2 xdxxdxxxsecsectansec3dx