第3講簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞講義

1、1 .命題pAq, pV q,稅p的真假判斷pqpA qpVq稅p真真良真假真假真假假真假真央假假假宴2 .全稱量詞和存在量詞量詞名詞常見量詞表示符號全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個、任給等?存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、某個、有些、某些等?3 .全稱命題和特稱命題命題名稱命題結(jié)構(gòu)命題簡記全稱命題對M中任意一個x,有p(x)成立? x C M , p(x)特稱命題存在M中的一個xo,使p(xo)成立? xo_e M: p(xo)4 .含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定? x M, p(x)? xoC M .吐 p(xo)? xo C M , p(xo)? xC M.刊 p(x

2、)【知識拓展】1 .含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷規(guī)律(1)pVq： p、q中有一個為真，則 pVq為真，即有真為真；(2)pAq： p、q中有一個為假，則 pA q為假，即有假即假；稅p：與p的真假相反，即一真一假，真假相反.2 .含一個量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“或“X”)命題p A q為假命題，則命題 p、q都是假命題.(X )(2)命題p和稅p不可能都是真命題.(V )(3)若命題p、q至少有一個是真命題，則 pV q是真命題.(，)（4）命題稅（p A q）是假命題，則命題 p, q中至少有一個是真命題.（X ）（5）

3、“長方形的對角線相等”是特稱命題.（X ）（6）命題“對頂角相等”的否定是“對頂角不相等”.（X ）1 .已知命題p：對任意xCR,總有|x|>0; q： x=1是方程x+2=0的根.則下列命題為真 命題白是（）A . p A （稅 q）B.（稅 p） A qC.娥 p）八僦 q）D. pAq答案 A解析 命題p為真命題，命題q為假命題，所以命題 稅q為真命題，所以pA （稅q）為真命題,故選A.2 .已知命題p, q, “稅p為真”是“ pAq為假”的（）A.充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件答案 A解析 稅p為真知p為假，可得pAq為假；反之，若

4、pAq為假，則可能是p真q假，從而稅p為假，故“稅p為真”是“pAq為假”的充分不必要條件，故選 A.3 .（教材改編）下列命題中，為真命題的是 （）A. ? xC R, -x2-1<0B . ? xo R, x0+xo= 13 / 1791C. ? xC R, X2-X+ 4>0D. ? xoC R, x2+2xo+2<0答案 A4,設(shè)命題 p： ? xC R, x2+ 1>0,則稅 p為（）A. ? xo R, x0+ 1>0B. ? xoC R, x0+1W0C. ? xoC R, x0+ 1<0D. ? xC R, x2+1<0答案 B解析 全

5、稱命題的否定，要對結(jié)論進(jìn)行否定，同時要把全稱量詞換成存在量詞，故命題p的否定為“？xoCR, x0+1<0",故選 B.5. （2015山東）若“？ xC 0, 4，tan x< m 是真命題，則頭數(shù) m的取小值為 .答案 1解析函數(shù)y= tan x在o ?上是增函數(shù)，4. ，多.ymax= tan 4 1.依題意，m> ymax,即 m> 1.，m的最小值為1.題型一 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷例1 （1）已知命題p：對任意xCR,總有2x>0； q： “x>1”是“ x>2”的充分不必要條件, 則下列命題為真命題的是 （）B.娥 p）

6、A（稅 q）D. pA （稅 q）(2)(2016聊城*II擬)若命題“ pVq”是真命題，“稅p為真命題”，則()A.p真，q真B.p假，q真C. p真，q假D. p假，q假答案(1)D(2)B解析(1) .p是真命題，q是假命題，1- p A (稅q)是真命題.(2) :稅p為真命題，p為假命題，又pVq為真命題，q為真命題.思維升華“pV q” “pA q” “稅p”等形式命題真假的判斷步驟(1)確定命題的構(gòu)成形式；(2)判斷其中命題p、q的真假；(3)確定“pAq” “pVq” “稅p”等形式命題的真假.已知命題p：若x>y,則x< y;命題q ：若x>y,則x2&g

7、t;y2.在命題pAq；pV q;pA娥q);娥p) V q中，真命題是()A.B.C.D.答案 C解析 當(dāng)x>y時，x< y,故命題p為真命題，從而 稅p為假命題.當(dāng)x>y時，X2>y2不一定成立，故命題q為假命題，從而 稅q為真命題.由真值表知：pAq為假命題；pV q為真命題；pA (稅q)為真命題；(稅p) V q為假 命題，故選C.題型二含有一個量詞的命題命題點1全稱命題、特稱命題的真假例 2 (1)(2016 唐山*II擬)命題 p： ? xC N, x3<x2;命題 q： ? aC (0,1) U(1,),函數(shù) f(x)= loga(x1)的圖象過點

8、(2,0),則()A.p假q真B. pM q假C.p彳田q彳田D.p真q真(2)已知命題p： ? x R,2x<3x；命題q： ? xo R, x3= 1-xo,則下列命題中為真命題的是()A.pAqB.娥 p)AqC. pA 娥 q)D.娥 p)A(稅 q)答案(1)A(2)B解析 (1) . x3<x2, - x2(x-1)<0,x<0 或 0<x<1 ,在這個范圍內(nèi)沒有自然數(shù)，命題p為假命題.f(x)的圖象過點(2,0),，10921=0,又? aC(0,1)U(1, + 8)的值均成立.命題 q為真命題.(2)容易判斷當(dāng)xW0時2x>3x,命題

9、p為假命題，分別作出函數(shù)y=x3, y=1 x2的圖象，易知命題q為真命題.根據(jù)真值表易判斷(稅p)A q為真命題.18 / 17命題點2含一個量詞的命題的否定例3 命題“ ？ XoC R,使得x0>0”的否定為()A. ? x R,都有 x2<0B. ? x R,都有 x2>0C. ? xoC R,使得 x2<0D. ? xoC R,使得 x0<0(2)(2015浙江)命題“ ？ nC N*, f(n)C N*且f(n) w n”的否定形式是()A. ? nC N*, f(n)?N*且 f(n)>nB. ? nC N*, f(n)?N*或 f(n)>

10、nC. ? noCN*, f(no)?N*且 f(no)>noD. ? noCN*, f(no)?N*或 f(no)>no答案(1)A(2)D解析(1)將“？”改為“？”，對結(jié)論中的“封”進(jìn)行否定，可知 A正確.(2)由全稱命題與特稱命題之間的互化關(guān)系知選D.x,p(xo)思維升華 (1)判定全稱命題“？ xC M, p(x)”是真命題，需要對集合 M中的每一個元素 證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)至少找到一個x=xo,使成立.(2)對全(特)稱命題進(jìn)行否定的方法找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義先加上量詞，再改變量詞.對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.

11、(1)(2016皖南八校聯(lián)考)下列命題中，真命題是()2X02X0 1A. ? xoC R, sin2+ cos22- = 2B . ? x C (0, nt) sin x>cos xC. ? xC (0, +oo), x2+1>xD. ? x0 R, x0+x0= 1(2)(2017福州質(zhì)檢)已知命題p： “？ xoC R, ex0 x。1W0”，則稅p為()xnA . ? x0 R, e x0 1 >0B. ? xoC R, ex0 -x0- 1>0C. ? xC R, ex-x- 1>0D. ? x R, ex-x- 1 >0答案(1)C (2)C解析

12、 (1)C選項中，當(dāng)x>0時，x2+1x=(x 2)2 + 3>0,即x2+1>x恒成立，C正確.(2)根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，可得 稅p為“？xCR, ex-x1>0"，故選C. 題型三含參數(shù)命題中參數(shù)的取值范圍例4 (1)已知命題p：關(guān)于x的方程x2ax+ 4= 0有實根；命題q:關(guān)于x的函數(shù)y=2x2 + ax + 4在3, +8 )上是增函數(shù)，若pAq是真命題，則實數(shù) a的取值范圍是 .1 y(2)已知 f(x)=ln(x2+1), g(x)=(2)x m,右對？ x1 e 0,3, ? x2C1,2,使得 f(x)>g(x2),則 實

13、數(shù)m的取值范圍是()1、r ,1A，+00 )B- ( 一 0°, 41 、r ,1c. ，+00 ）D- （一°°,一萬答案（1）12, 4U4, +8） （2）A解析（1）若命題p是真命題，則 A= a2 16 >0,即aw4或a> 4;若命題q是真命題， 則一包w 3 即a> 一 12.4,pAq是真命題，p, q均為真，a的取值范圍是12, 4U4, +8).(2)當(dāng) xC 0,3時,f(x)min = f(0) = 0,當(dāng) xC1,2時,1g(x)min = g(2) = 4 m ,由 f(x)min > g(x)min ,得0&

14、gt;； m，所以m> 1，故選A. 44引申探究本例（2）中，若將“？ x2C 1,2”改為“？ x2C 1,2”，其他條件不變，則實數(shù) m的取值范圍 是.- 一 1答案2, +國）1解析 當(dāng) xC 1,2時，g（x）max=g（1）=2-m,1由 f(x)min >g(x)max,得 0口2一 m1，、1 m> -2.思維升華（1）已知含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，可根據(jù)每個命題的真假利用集合的運算求解參數(shù)的取值范圍；（2）含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義， 利用函數(shù)值域（或 最值）解決.(1)已知命題 p： “？ xC 0,1, a>ex”，命題q： “

15、？ x°e R, x2 + 4xo+a=0” .若命題“ pAq”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A. (4, +oo )B. 1,4C. e,4D. ( 8, 1)(2)已知函數(shù) f(x)=x2-2x+ 3, g(x)=log2x+m,對任意的 x1, X2 C 1,4有 f(X1)>g(X2)恒成立, 則實數(shù)m的取值范圍是 .答案 (1)C(2)( 8, 0)解析(1)由題意知p與q均為真命題，由p為真，可知a>e,由q為真，知x2+4x+a=0 有解，則 A= 16-4a>0, .,.a<4.綜上可知 e<a<4.(2)f(x)=x2-2x

16、+ 3=(x- 1)2+2,當(dāng) XC 1,4時，f(x)min = f(1) = 2 , g(x)max= g(4) = 2+ m,則 f(x) min>g(x)max ,即 2>2 + m,解得 m<0,故實數(shù)m的取值范圍是(00, 0).高頻小考點1.常用邏輯用語考點分析 均關(guān)四種命題及其真假判斷、充分必要條件的判斷或求參數(shù)的取值范圍、量詞等 問題幾乎在每年高考中都會出現(xiàn)，多與函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等知識相結(jié)合，難 度中等以下.解決這類問題應(yīng)熟練把握各類內(nèi)在聯(lián)系.一、命題的真假判斷典例 1 (1)已知命題 p： ? XoC R , x0+1<2x0；命題 q

17、：若 mx2mx 1<0 恒成立，則4<m<0, 那么()C. p V q為假命題D. pA q為真命題(2)下列命題中錯誤的個數(shù)為 ()若pV q為真命題，則pAq為真命題；“x>5”是“ x24x 5>0”的充分不必要條件；命題 p： ? XoC R, x2+xo-1<0,則稅 p： ? xC R, x2+x- 1 >0;命題“若x2-3x+ 2=0,則x=1或x= 2”的逆否命題為“若 xw 1或xw2,則x2-3x + 2W0” .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析 由于 x22x+1 = (x 1)2>0,即x2+ 1>2

18、x,所以p為假命題；對于命題q,當(dāng)m = 0時，1<0恒成立，所以命題q為假命題.綜上可知，稅p為真命題， pA q為假命題，pVq為假命題，故選 C.(2)對于，若pVq為真命題，則p, q至少有一個為真，即可能有一個為假，所以 pAq不 一定為真命題，所以錯誤；對于，由x24x5>0可得x>5或x<1,所以“x>5”是“x2 -4x-5>0”的充分不必要條件， 所以正確；對于，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題， 可 知正確；對于，命題“若x23x+ 2=0,則*= 1或x=2”的逆否命題為 “若xw1且xw2, 則x23x + 2w0”，所以錯誤，所以錯誤命

19、題的個數(shù)為 2,故選B.答案(1)C (2)B二、求參數(shù)的取值范圍典例2 (1)已知p： x>k, q： ±<1,如果p是q的充分不必要條件，則實數(shù) k的取值范圍 x+1是()A . 2 , + 8 )B . (2, + 8 )C. 1 , + 8)d.(叱1(2)(2016 鄭州一模)已知函數(shù)f(x) = x + 4, g(x) = 2x+a,若？ x C 己，3, ? x2C2,3使得f(x1)>g(x2),則實數(shù)a的取值范圍是(A. a< 1B.a> 1D.C. a<0. 332-x解析由xzv1,得二一1=二<0 即(x 2)(x+1

20、)>0,解得x<- 1或x>2,由p是q的充分不必要條件，知 k>2,故選B.(2)/x 2, 3, .f(x)>2 fl = 4,當(dāng)且僅當(dāng) x=2 時，f(x)min=4,當(dāng) xC2,3時,g(x)min= 22+a=4+a,依題意 f(x)min> g(x)min, /. a<0,故選 C.答案(1)B(2)C三、利用邏輯推理解決實際問題典例3 (1)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過 A, B, C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過 C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為 .(2)對于中國足球

21、參與的某次大型賽事，有三名觀眾對結(jié)果作如下猜測：甲：中國非第一名，也非第二名；乙：中國非第一名，而是第三名；丙：中國非第三名，而是第一名.競賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)，一人全猜對，一人猜對一半，一人全猜錯，則中國足球隊得了第 名.解析 (1)由題意可推斷：甲沒去過 B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過 A, C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過 A城市，由此可知，乙 去過的城市為A.(2)由題意可知：甲、乙、丙均為“p且q”形式，所以猜對一半者也說了錯誤“命題”，即只有一個為真，所以可知丙是真命題，因此中國足球隊得了第一名.答案(1)A (2)一1 .命題p：若sin x&g

22、t;sin y,則x>y;命題q： x2+y2>2xy.下列命題為假命題的是（）A . p V qB. pA qD.C. q 答案 B解析 命題p假，q真，故命題p A q為假命題.2 .下列命題中，真命題是（A. ? xC R, x2>0B. ? x R, 1<sin x<1C. ? xoC R,2 " <0D. ? xo R, tan xo=2答案 D 解析 ？ xC R, x2>0,故A錯；？ xC R, 1W sin xW 1 ,故B錯；由y=2x的圖象可知？ xC R,2x>0,故 C 錯，D 正確.3. （2017 西安質(zhì)檢

23、）已知命題 p： ? xoCR, log2（3x0 +1）<0,則（）A. p 是假命題；稅 p：?xCR,log2(3x+1)W0B. p 是假命題;Bp：?xCR,log2(3x+1)>0C. p 是真命題；稅 p：?xCR,log2(3x+1)W0D. p 是真命題；稅 p：?xCR,log2(3x+1)>0 答案 B解析3x>0,3x+ 1>1 ,則 log2(3x+1)>0,，p 是假命題；稅 p： ?xCR, log2(3x+1)>0,故選B.4. (2016 河北邯鄲收官考試)已知 p： ? xC R, x2-x+1>0, q： ?

24、XoC(0, +oo), sin xo>1 , 則下列命題為真命題的是()A. p V 娥 q)C. pAqD.娥 p）A（稅 q）答案 A1 c 3解析 因為x2x+1 = （x 2）2 + 4>0恒成立，所以命題 p是真命題；？xCR, sin XW1,所以命題q是假命題，所以 pV （稅q）是真命題，故選 A.5.下列命題中的假命題是()A. ?xCR,2x1>0B. ?xCN*, (x 1)2>0兀LC. ? xo R, lg xo<1D. ? xo R, tan xo + 4 =5答案 B解析 A項，,xCR,，x1CR,由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得2x 1>

25、0； B項，-. x N*,，當(dāng)x= 11 一 1時，(x- 1)2 = 0 與(x1)2>0 矛盾；C 項，當(dāng) x0 = 10時，lg =T<1； D 項，當(dāng) xCR 時，tan兀x C R, . . ? xo R , tan xo + 4 = 5.6. (2016 唐山檢測)已知命題 p： ? xC R, x3<x4；命題 q： ? x°e R, sin x。一 cos xo= 42, 則下列命題中為真命題的是()A. pAqB.娥 p)AqC. p八降q)D.娥p）八微q）答案 B解析若x3<x4,貝U x<0或x>1,，命題p為假命題;若

26、sin x cos x= >/2sin(x 4)=也，則 x j= 3+ 2kTtkCZ),即 x= 74+ 2k TtkC Z),命題q為真命題，(稅p) A q為真命題.一17,已知命題“ ？ xoC R,使2x0+（a1）xo + 2wo”是假命題，則實數(shù) a的取值范圍是（）A. ( 1)B. (-1,3)C. ( 3, i )D. ( 3,1)答案 B1一1解析 依題意可知？ xC R,2x2+(a-1)x+ 2>o”為真命題，所以A= (a-1)2-4X 2xj<。,即(a+1)(a3)<0,解得1<a<3,故選 B.*8.(2016湖南師大附中月

27、考)函數(shù)f(x)=ln x x(a>0),若？ xoCR,使得？ xiC1,2都有a、f(xi)<f(x。)，則實數(shù)a的取值范圍是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2, i)D. (0,1) U (2, i)答案 D解析 由題意可知函數(shù)f(x)的定義域為(0, +8),f (x) = ；- ；(a>0),當(dāng) xC(0，a)時， x af' (x)>0 , f(x)單調(diào)遞增;當(dāng) xC(a,+8)時，f，(x)<0, f(x)單調(diào)遞減;故 f(x)max= f(a) , ? x0C R, 使得？ x1C1,2都有f(x1)<f(x。),即f(a

28、)>f(x1)卞:寸? x11,2恒成立,故a?1,2,所以實數(shù)a的 取值范圍是(0,1) U (2, +8),選D.9.以下四個命題：？ xC R, x2 3x+2>0 恒成立；？ xC Q, x2= 2;？ xC R, x2+1 =0;？ xCR,4x2>2x 1+3x2.其中真命題的個數(shù)為()A. 0B. 1C. 2D. 4答案 A解析x2- 3x+2>0, A= (-3)2-4X2>0,當(dāng) x>2 或 x<1 時，x2 3x+ 2>0 才成立， .為假命題；當(dāng)且僅當(dāng)x= 平時，x2=2, .不存在xC Q,使得x2=2, .為假命題；又?

29、 xC R, x2 + 1w0, .為假命題；4x2- (2x- 1 + 3x2) = x2-2x+ 1 = (x-1)2>0,即當(dāng) x= 1 時，4x2 = 2x1 + 3x2成立， 為假命題. 均為假命題.10.設(shè)xCZ,集合A是奇數(shù)集，集合 B是偶數(shù)集.若命題p： ? xCA,2xCB,則稅p為答案？xoCA,2x0?B解析 命題p： ? xC A,2x B是一個全稱命題，其命題的否定應(yīng)為特稱命題.楙 p： ? xoC A,2x0?B.11. (2016北京朝陽區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=a2x2a+1.若命題“？ xC (0,1), f(x)w0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是 .，一 1答案(, 1)"1, +8)解析函數(shù) f(x) = a2x 2a + 1,命題“？ xC (0,1), f(x)w0”是假命題，.原命題的否定是：“？ x°e (0,1),使f(x0)=0”是真命題，.f(1)f(0)<0,即(a22a+1)(2a+ 1)<0,1 (a-1)2(2a-1)>0,解得 a>2,且 aw 1,1實數(shù)a的取值范圍是(2, 1)U(1, +8).12.已知命題p： x2+2x 3>0;命題q：:>1,若“(稅q)Ap”為真，則x的取值范圍是3 x答案(1)3 , +oo) (2)(1, W解析 (