合肥工業(yè)大學計算方法復化梯形公式實驗

1、計算方法實驗報告學號姓名班級實驗項目名稱實驗二數值積分一、實驗名稱實驗二數值積分二、實驗目的：(1) 熟悉復化梯形方法、復化Simps on方法、梯形遞推算法、龍貝格算法；(2) 能編程實現(xiàn)復化梯形方法、復化Simps on方法、梯形遞推算法、龍貝格算法；(3) 理解并掌握自適應算法和收斂加速算法的基本思想；(4) 分析實驗結果體會各種方法的精確度，建立計算機求解定積分問題的感性認識二、實驗內容及要求(1) 設計復化梯形公式求積算法，編制并調試相應的函數子程序(2) 設計復化辛浦生求積算法，編制并調試相應的函數子程序(3) 用龍貝格算法計算0 x輸入：積分區(qū)間，誤差限輸出：序列Tn, Sn，C

2、n,Rn及積分結果(參考書本 P81的表2-5)取 n=2，4，8，16,精確解為 0.9460831四、實驗原理及算法描述b在許多實際冋題中，常常需要計算定積分f (x)dx的值。根據微積分學基本定理，若被積函a數f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，只要能找到f(x)的一個原函數F(x)，便可利用牛頓 -萊布尼茲公式bf (x) F(b) F(a)求得積分值。a但是在實際使用中，往往遇到如下困難，而不能使用牛頓-萊布尼茲公式。(1) 找不到用初等函數表示的原函數(2) 雖然找到了原函數，但因表達式過于復雜而不便計算(3) f(x)是由測量或計算得到的表格函數由于以上種種困難，有必要研究積分的數值計算

3、問題。bPn ( x )dx 稱為abb利用插值多項式Pn(x)f (x)則積分 f (x)dx轉化為Pn(x)dx，顯然易算。aa插值型求積公式。最簡單的插值型求積公式是梯形公式和Simps on公式，。當求積結點提供較多，可以分段使用少結點的梯形公式和Simpson公式，并稱為復化梯形公式、復化Simpson公式。如步長未知，可以通過誤差限的控制用區(qū)間逐次分半的策略自動選取步長的方法稱自適應算法。梯形遞推 公式給出了區(qū)間分半前后的遞推關系。由梯形遞推公式求得梯形序列，相鄰序列值作線性組合得 Simpson序列,Simpson序列作線性組合得柯特斯序列，柯特斯序列作線性組合的龍貝格序列。若如

4、下圖所示:|R2-R1|< ,則輸出R2;否則依此類推。如此加工數據的過程叫龍貝格算法，復化梯形公式Tn12hf(x0)1f(Xk) f(Xn)1復化Simps on公式SnMX。)1f (Xk)1nf(xn)4kf(xk1)2梯形遞推公式T2nTnhn1f(x1)24T T加權平均公式：豈 nSn24 S2n Sn421Cn43C2n43Cn1Rn龍貝格算法大大加快了誤差收斂的速度，由梯形序列O(h2)提高到龍貝格序列的O(h8)五、程序代碼及實驗結果1 .int主程序mai n()/cout << lo ngbeige(0, 1,0.0000001);cout <&

5、lt; "請輸入你的區(qū)間和誤差限度："<< endl; double x, y, z;cin >> x >> y >> z;<< en dl;cout <<"根據龍貝格算法 求岀的精確值為："<< Iongbeige(x, y, z) 0.00000001) << en dl;cout<<"K"<< en dl;cout<<"0"cout<<"1"cou

6、t<<"(2"<<<<"R"<<"<< "I!I!I!I!I!I!<< "T" <<<<tix in g(0, 1, 1)<<tixi ng(0, 1,2)I!I!<< en dl;<< "S" << "I!<<""<< xingbusheng(0, 1, 1)<< "C&quo

7、t; << "<< en dl;I!<<xingbusheng(0, 1, 2)-(cout << "3" <<I!I!<< tixing(0,1, 4)double (1/15)*xi ngbushe ng(0, 1, 1)<<tixi ng(0,1,8)<<""<<xingbusheng(0, 1, 2) <<" " <<( double (16/15)*<< en dl;<

8、;<""<<xingbusheng(0,1,4)<<' " << ( double (16 / 15)*xingbusheng(0, 1,4)-( <<e ndl;double (1 / 15)*xingbusheng(0, 1,2)<<'"<< Iongbeige(0, 1,0.000000001)<< tixing(0, 1, 16)<< " "<< xingbusheng(0, 1,8)<<

9、; " "<< ( double (16/ 15)* xingbusheng(0, 1,4) - (double (1 / 15)*xingbusheng(0, 1,2)<< " "<< longbeige(0, 1,cout << "4" << "I!cout << "the result "<<4<<' is "<< longbeige(0, 1, 0.00000001);re

10、turn 0;2. 復化梯形公式子程序：double tixing( double a, double b, int n)double fa = f(a);double fb = f(b);double h = ( b- a) / n;double fxk = 0.0;for ( int k = 1; k <= n - 1; k+)double xk = a + k*h;fxk = f(xk) + fxk;double res = (h / 2.0)*(fa + 2.0*fxk + fb);return res;3. 復化辛浦生公式子程序：double xingbusheng( doub

11、le a, double b, int n) doubleh = ( b-a)/ n;doublefa = f(a);doublefb = f(b);/double s = fb - fa; double x = a;double fxk12 = 0.0;double fxk = 0.0;/*for (int k = 1; k <=n; k+) x = x + h / (2.0); double fx = f(x);s = s + 4.0*f(x);x = x + h / (2.0); s = s + 2.0*f(x);s = (h / 6.0)*s;return s;*/for ( i

12、nt k = 0; k <= n - 1; k+)double xk1 = a + k*h;x = xk1 + h / 2.0;fxk12 = fxk12 + f(x);for ( int k = 1; k <= n - 1; k+)double xk = a + k*h;fxk = fxk + f(xk);double s = (h / 6)*(fa + 4 * fxk12 + 2 * fxk + fb);return s;4. 龍貝格公式子程序：double Iongbeige( double a, double b, double wuchaxian) double h =

13、b - a;double T1 = (h / 2.0)*(f( a) + f( b);int k = 1;double S,x,T2,S2,S 1=0,C1=0,C2,R1=0,R2; double Tck100,Sck100,Cck100,Rck100;loop1:S = 0;x = a + h / 2.0;while (x< b)S = S + f(x);x = x + h;T2 = (T1 / 2.0) + (h / 2)*S;/ 第一個S2 = T2 + (1 / 3)*(T2 - T1);if (k = 1)Tckk = T2;k+;h = h / 2;T1 = T2;S1 =

14、 S2; goto loopl;C2 = S2 + (1 / 15)*(S2 - S1);if (k = 2)C1 = C2;Tckk=T2;k+;h = h / 2;T1 = T2;S1 = S2; goto loopl;R2 = C2 + (1 / 63)*(C2 - C1);if (k = 3)Tck k= T2;R1 = R2;C1 = C2;k+;h = h / 2;T1 = T2;S1 = S2;goto loop1;if (fabs(R2 - R1) >=wuchaxian)R1 = R2;C1 = C2;k+;h = h / 2;T1 = T2;S1 = S2; goto loop1;elsereturn R2;實驗結果:3BC;Vi n dev*yb Le rn 3 2cn ld.txe你的區(qū)閆和謀差限芨：0 1 0. 0000000009001|根據龍貝格算法 求出的精埔值為：(19囂0闊 T0. 9207350” 9397930. 9445140.9456910. 945985result 4Sil 2the0. 9461460. 9450870. 9460830. 946083is 0