1.2含參變量廣義積分ppt課件

1、本節(jié)研究形如本節(jié)研究形如adxyxf),(的含參變量廣義積分的連續(xù)性、可微性與可積性，的含參變量廣義積分的連續(xù)性、可微性與可積性，以及與之相關(guān)的特殊函數(shù)。下面主要對無窮限積分以及與之相關(guān)的特殊函數(shù)。下面主要對無窮限積分討論，無界函數(shù)的情況可類似處理。討論，無界函數(shù)的情況可類似處理。)(,),(為瑕點bdxyxfba113 含參變量的廣義積分 含參量廣義積分與函數(shù)項級數(shù)在所研究問題與含參量廣義積分與函數(shù)項級數(shù)在所研究問題與論證方法上極為相似，學習時應注意比較。論證方法上極為相似，學習時應注意比較。( , ),f x yaxcyd設二元函數(shù)在 (x,y)上有定義，,( ,)aycdf x y dx

2、固定若無窮積分收斂，,c d則在上定義了一個函數(shù)( )( , ),ag yf x y dxcyd稱其為含參變量的無窮積分。000,()0,( ,)yc dg yNNy若則收斂，即,AN只要則有000( ,)( ,)()AAaf x y dxf x y dxg y。0Ny上面收斂定義中的常數(shù)通常與有關(guān)。許多應用中都需要如下一致收斂概念。定義： 設無窮積分( )( , ),ag yf x y dxY Yy對區(qū)間 （ 為任意區(qū)間）中的一切 都收斂，如果0,( ),( , )ANNaANyYf x y dx 則稱含參變量的無窮積分在區(qū)間Y 上一致收斂。關(guān)于不一定收斂的充分條件： 命題命題 設含參變量的

3、無窮積分設含參變量的無窮積分 在在 上點上點點收斂，若存在常數(shù)點收斂，若存在常數(shù) ，不論，不論 多大，總存在多大，總存在 及及 ，使，使0lYdxyxfa),(NNAYyA,|),(|ldxyxfaA則無窮積分 在 上不一致收斂.Y命題的極限形式：時有極限趨向于某一值，當若對于任意取定的,A0yYy, 0),(lim0kdxyxfAyy無關(guān)的常數(shù)，則積分是一個與其中Akadxyxf),(在 不一致收斂.Y含參變量無窮積分一致收斂的判別方法： 一致收斂的柯西收斂準則一致收斂的柯西收斂準則:0 ,N充要條件是：存在與 y 無關(guān)的常數(shù)使得( , )AAf x y dx。( , )af x y dx含

4、參變量的無窮積分在區(qū)間Y 上一致收斂的,ANANyY都有定理1：|( , ) |( ),f x yxxayY若( )ax dx且無窮積分收斂，則含參變量的無窮積分( ,)af x y dxY在上一致收斂。利用柯西收斂準則證明下列M判別法: 例例 1 積分積分 在在 內(nèi)一致內(nèi)一致收斂收斂 .0sin dxxex) 0(),00解解因為00|sin|0,xxexex而積分 收斂，00dxex0sindxxex所以在)0(),00內(nèi)一致收斂.例例2 考慮積分考慮積分.0,)(02tdxe ttJtx證明;0,)() 1 (dcdctJ上一致收斂，其中在區(qū)間., 0)()2(上不一致收斂在區(qū)間dtJ證

5、證連續(xù)，所以關(guān)于時，由于當xe tdtctx2) 1 (是可積的，上關(guān)于它在任意區(qū)間xA, 0dxe tAtx02即定積分存在.又這時,|22cxtxede t.02是收斂的而無窮積分dxedcx上一在因此,)( Jdct.致收斂有時，對于任意取定的當0,A0)2(dt|2dxe tAtxdxe tAtx2xtu dueAtu2dueu02.20t., 0)(上不一致收斂在區(qū)間這樣dtJ2,Aa（ ）積分1,( ,)yYg x yx（）函數(shù)關(guān)于單調(diào)且定理2（ 狄利克雷判別法）( , ),( , )f x yg x y若函數(shù)滿足：( ,)0,g x yyYx ( , )Aaf x y dxyY存

6、在且對一致有界,0,( , ),;AaMf x y dxMAa yY即存在常數(shù)滿足( , ) ( , )af x y g x y dxY則含參變量無窮積分在一致收斂。定理3（ 阿貝耳判別法）2( , );af x y dx（ ） 含參變量無窮積分在 Y 上一致收斂( , ),( , )f x yg x y若函數(shù)滿足：1,( , )yYg x yx（）函數(shù)關(guān)于單調(diào)且對y一致有界，0,( , ),;Mg x yMyYx即存在常數(shù)滿足充分大( ,)( ,)af x y g x y dx則含參變量無窮積分在 Y 上一致收斂。一致收斂積分具有如下性質(zhì)：定理4：( , )( , )|,f x yx yax

7、cyd 設函數(shù)在區(qū)域連續(xù)，()( ,),ag yfx y dxyc d且 積 分, c d在上一致收斂，則1( )g y（）在 c,d 上連續(xù)；2( )g y（ ）在 c,d 上可積，且有( )( ,)( ,)dddccaacg y dydyf x y dxdxf x y dy。定理5：aadxyxfydxyxfdyd),(),(,) ,(,)yfxyfxy設 函 數(shù)在 區(qū) 域( , ) |,x yaxcyd 上連續(xù)且積分( )( , ),ag yf x y dxc d在上逐點收斂，( , ),yafx y dxc d又積分在上一致收斂，( )( , )ag yf x y dx則含參變量的無窮

8、積分, c d在上可導且3.函數(shù)函數(shù)和一、一、 )(考慮含參數(shù)無窮限積分 .01dxexx特點特點: 1) 積分區(qū)間為無窮，是一個無窮積分；積分，個瑕為瑕點，所以它又是一時，當01)2x稱此類積分為無窮瑕積分. 將它分為兩項：01dxexx101dxexx.11dxexx時，時為瑕積分，且當上式中第一項當01x111xexx, 1xe即因而當110時，10與暇積分積分101dxexx101xdx同收斂.時，而當1.101為正常積分dxexx時，當總之0,.上式中第一項收斂分，積窮無第二項，它是x當時，都有對于任意的實數(shù)211xexx, 01xex收斂因而由121dxx.11收斂對一切實數(shù)dxe

9、xx即可推出時上述含參變量的無窮綜合起來可得：當0.瑕積分收斂.0的函數(shù)時，它定義了一個故當稱為 函數(shù)，記作. 0,)(01dxexxs)(oGamma Gamma 函數(shù)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)(2)遞推公式)0()() 1(證明證明0d) 1(xexx0dxex(分部積分)01d0 xexexxx).(1) 非負性：. 0)(注意到:0d) 1 (xex1有,N n)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!nn當為自然數(shù)時有(n+1)= n!,即-函數(shù)是階乘運算的推廣。0 xe (1 1)nn (2) 1,(3) 2,(4) 6,( ) (1)!nn (3)特殊值53122 333,224

10、75122 證明證明: : 有時當,21)(2112012xxe dx2102tt etdttx令202tedt22。有此得31122 11,2225515,22897122 77105,2216.), 0()(內(nèi)是連續(xù)的在區(qū)間下面我們來證明使必存在區(qū)間內(nèi)任意取定一點在.,), 0(0dca)., 0(,0dca.,11上連續(xù)在再證dcdxexx.,101上連續(xù)在先證明dcdxexx，事實上，當10 x,11xcxexexdc在其上二元連續(xù)且時，101dxexxc時收斂，當0c,101上一致收斂在因而dcdxexx由定, 8理.,101上連續(xù)在dcdxexxacx，當1,時d,11xdxexe

11、x在其上二元連續(xù)且11dxexx而,收斂,11上一致收斂在因而dcdxexx，于是由定理4.,11上連續(xù)在dcdxexx,01上連續(xù)在綜合起來dcdxexx.0處連續(xù)特別在a.), 0()()0(0內(nèi)連續(xù)在內(nèi)的任一點，故是由于a 1Beta函數(shù)及其連續(xù)性 ( 含有兩個參數(shù)的 )含參數(shù)積分 1110(1)( 0 , 0 )pqxxdxpq.11時，為正常積分且當qp為瑕點；時當01xp.11為瑕點時當xq將它寫為兩項之和：1011)1 (dxxxqp21011)1 (dxxxqp,)1 (12111dxxxqp時，當00 xpqpxxx1111)1 (1)1 (qx, 1時，瑕積分即故當1011

12、0pp21011)1 (dxxxqp時，當01xqqpxxx1111)1 (1px, 1時，瑕積分即故當10110qq12111)1 (dxxxqp收斂.收斂.綜合起來，時，且當00qp1011)1 (dxxxqp積分收斂. 并確定了一個二元函數(shù)，稱之為B函數(shù)，記作).0, 0( ,)1 (),(1011qpdxxxqpBqp 與證明 函數(shù)的連續(xù)性類似，我們可以證明 區(qū)域 上是連續(xù)的.),(qpB), 0(), 0(2. B-函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性: 證明證明 1110( , )(1)1pqB p qxxdxtx 令0111(1)pqttdt 1011),()1 (pqBdtttpq)()(

13、)(),(qpqpqpB) 0 , 0 (qp 因而，可由函數(shù)的數(shù)值與性態(tài)了解 B-函數(shù)的mn當和為自然數(shù)時，由如上公式得數(shù)值與性態(tài)。( ) ( )(1)!(1)!( , )()(1)!mnmnB m nmnmn。 111 122,2 21B 23332,2238B。例例 7 求求.)1 (024的值dxxx解解同價，時，被積函數(shù)與當)41(21xx因而無窮積.分收斂,1, 11,112dyydxyxxy即令024)1 (dxxx104141)1 (dyyy)45,43(B)2()45()43()45()43()45()47(34.1107. 1例例 8 求求.11022dxxx解解,111.1同價時被積函數(shù)與當是瑕點xxx所以積分收斂.則令,4xt 10221dxxx102141)1 (41dttt)45()21()43(41.)45()43(4)21,43(41B例例 9 求求).0(021dtett解解則令, xt 02121