北京市房山區(qū)2021屆高三下學期4月一?？荚嚁?shù)學試題Word版含答案

1、2021北京房山高三一模數(shù) 學本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后, 將答題卡交回，試卷自行保存。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。(1)若集合M=-集合N = 0,則MUN等于(A) -2,-1,0,1(B) -2,-1,1(C) -2,-1,0(D) 1(2)下列函數(shù)中，值域為0 ,+s)且為偶函數(shù)的是(A) y=cosx(B)y = |x+l|(C) y = x2(D)y = x-(3)已知a, OtR,且。，則下列各式中一定成立的是(A)

2、-b-(C) ab b(D)2M2出a b(4)將函數(shù)/(x) = sin2x的圖象向左平移E個單位得到函數(shù)), = g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的圖象的一條對稱軸方 6程為(5) “十三五”期間，我國大力實施就業(yè)優(yōu)先政策，促進居民人均收入持續(xù)增長.下面統(tǒng)計圖反映了 2016-2020年我 國居民人均可支配收入(單位：元)情況.根據(jù)圖中提供的信息，下列判斷不正確的是20162020我國居民人均可支配收入統(tǒng)計圖20162017201820192020 年伊人均可支紀收入(元)(A) 20162020年，全國居民人均可支配收入每年都超過20000元(B) 2017 2020年，全國居民人均可支配

3、收入均逐年增加(C)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)估止，2015年全國居民人均可支配收入可能高于20000元(D)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)預測，2021年全國居民人均可支配收入一定大于30000元(6)已知雙曲線C:工-二=1(0力0)的離心率為則點M (3,0)到雙曲線C的漸近線的距離為 (C力(A) 2(B)而(D)2a/27(7)“ / =是直線x +”=1與依+)，= 1平行”的(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件(8)在矩形A8CZ)中，AC與3。相交于點O, E是線段的中點，若aE = ?aQ + AZ5,則加一的值為(A)2(B) -1(C)l(D)2已知等差數(shù)

4、列qr的前項和為S“，且SS8，S8=S9S10,則下而結(jié)論錯誤的是(A)% =(C) J Sl4 (口)58與59均為3的最小值(10)祖胞是我國南北朝時代偉大的科學家，他在實踐的基礎上提出了體積計算的原理：“塞勢既同，則積不容異工意 思是：如果兩個等高的幾何體在同高處截得的截面而積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等，此即祖隨原理.利用這個原理求球的體積時，需要構(gòu)造一個滿足條件的幾何體，己知該幾何體三視圖如圖所示，用一個與該幾何體的下底面平行且相距為力(0力b0)過點(2,0),離心率為,.(C)求橢圓。的方程；()設點M為橢圓C的上頂點，48是橢圓C上兩個不同的動點(不在)，軸上)，直線M4

5、,例8的斜率分別 為ki， 且攵丸=3，求證：直線A3過定點N(0, JJ) .(21)(本小題14分)對于數(shù)列，記2 =maxqM2，M(=l,2,3,)，其中max*/,4,，4表示4，%，這攵個數(shù) 中最大的數(shù)，并稱數(shù)列色是% 的“控制數(shù)列”，如數(shù)列1,2,3,2的“控制數(shù)列”是1,2,3,3.(I)若各項均為正整數(shù)的數(shù)列q的“控制數(shù)列為1,3,4,4,寫出所有的%：(II)設an = an2 -2( e Nf).(i)當0時，證明:存在正整數(shù)加，使得九，包L.旦心一是等差數(shù)列；m in +1 m + 2(ii)當式2,2時，求& + % + +2的值(結(jié)果可含白).L 12 3 4202

6、1北京房山高三一模數(shù)學參考答案一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。題號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(9)(10)答案(A)(C)(B)(C)(D)(B)(B)(A)(C)(D)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。(11) -i (12) -160(13) (2,0);4(14)滿足4+ 1 且9W1 即可(15)三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。(16)( I )證明:解：(I )解法1因為三棱柱ABC - 44G為直三棱柱，所以8/_L平而48c.又因為A3 u平面ABC,所以耳8

7、_L AB.又因為 AB = BC = 1, AC = 0所以 AC2=ab2 + bc2.所以 A5_L 8c.因為優(yōu)8 nBe = 8,平面 8CCB,所以A3_L平面BCC/1.因為AB u平面ABE,所以平面ABE JL平而BBCC.7分解法2.三棱柱ABC A蜴G為直三棱柱，所以8n _L平而ABC.因為平而 8。蜴,所以 8/_LJ.8C.又因為A8 = 4C = 1,AC = &,所以AC2=ab2+bc2所以 A5J_ 8C.以點為8坐標原點，8ABe,3及所在直線分別為x軸，y軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標系8-不憶，則8(0,0,0), 41,0,0), C(0,1,0)

8、, A (1,0,2), B, (0,0,2), C, (0,1,2),1 所以 8E = (0J_), 8A = (1,0,0), 2_n-BA = O設平而4?石的法向量為 = (x，y，z),則上.屁=0 5r = 0所以41八，y+-Z=0令 Z = 2,則 丁 = -1, x = 0 ,則3 = (0,-1由(I )可知，平而8/CG的法向量為麗= (1,0,0),因為麗.日=0,所以平而ABE 平而BiBCC.(H)由(【)知，平面A8E1的法向量為7 = (0,1,2),4C = (-l,l,-2),設直線AC與平面A3E所成角為8,則sin 0 = cos(AC,1 =A。”x

9、/306所以，直線4c與平面ABE所成角的正弦值為叵614分(17)選解：方法1：(I )設A8邊上高為CO6在 RN4CD中，sin A = = =- AC V7 14n2乃B =3cos A = 41 - sin，A =-14sinC = sin(A + 8)=sin AcosB + cosAsin B= V2i _1 5V7xT3 14214210分_ 72? 一(H)在HMOC中，因為的歷DCBC走 r2 = Si屋=3BC 3214分228所以8c = 1又因為b = , sinC =，所以= LabshyC = -xlx14分方法2：10分(I)在R/ABO。中,8C = a =

10、1 (答案與選擇條件相同)(H)設A3邊上高為8在RN4C3中,ad = Jac2-cd2 = n6? _2 =5 2因為CO =，Sn/CBD = 2CD BDCDtanZCBD2兀 tan 3在 RdBDC中.BD = L2AB=ADBD=-=2 2 2又因為CD -2所以= LaB-CD = -x2x = 選 解：(I).B =3：.0 A 3又辿14嬴7=叵14：.siiiC = sin(A + 8) =sin AcosB + cosAsin B10分旦X(+區(qū)x立142142一(II )sin A sin B39bsin A 、X 14a =f= Isin B y/3V= LCxlx

11、6變=走14分選 解：(I )方法1：sin Asin B：.sin A =V714sinC = sin(A + 8)14=sin AcosB +cosAsin BV2T / 1、5近、行142142_ a一方法 2： v b1 = a2 +C1 -2accos3 7 = 1 + c2 - 2 x 1 x c x (-)2即 c2 +c-6 = 0解得：。=2或。=一3(舍去)10分c _ bsinC sin B廠 csinB：.sin C =b2xT_V21、萬(II) S14分14(18)解：(I )解：設“該站運動員甲的成績高于該站運動員乙的成績”為事件A：運動員甲第1站、第2站、第3站

12、、第4站、第5站的成績分別為：86.20、92.80、87.50、89.50、86.00 1分運動員乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為：88.40、88.60、8910、88.20、87.70 2分其中第2站和第4站中的成績高于乙的成績2/. P(A) = -4 分(ID X的可能取的值為0,1,2,則5分P(X=)=等 46 分P(X=1) =等京=|7分“唔$8分所以X的分布列為X012P310351109分3 71 4(X)=Ox + lx- + 2x = -10 分10510 5(III)答案一：推薦乙.12分理由是：從2021賽季前5站的成績可以看出：任意1站運動員

13、甲的成績高于該站運動員乙的成績的概率為三,乙的成績高于該站運動員甲的成績的概率為:,因為,所以乙的成績好于甲的成績的可能性 0J J大.14分答案二：推薦乙.12分用“4 = 1”表示任意1站運動員甲的成績高于乙的成績，用“4 = 0”表示任意1站運動員甲的成績低于乙的成績,23則P4 = D =白尸(O) =二JU232 3E(G = lx + 0x= 04, D = -x- = 0.245 5用” =表示運動員乙的成績高于甲的成績，用“ =0”表示運動員乙的成績低于甲的成績，則P0 = l) = 1產(chǎn)( =0)=/、32,、 3 2E(；7)= lx- + 0x- = 0.6, D(7；)

14、 = -x = 0.2455 5因為(J) = 0.4 表明乙的發(fā)揮比甲的鐮定 14分 所以預測乙的成績會更好.答案四：推薦甲.12分- 1甲 5 站的平均成績?yōu)椋簒Mi=-(86.20+92.80+87.50+89.50+86.00) = 88.40- 1乙 5 站的平均成績?yōu)椋翰灰叶?88.40+88.60+89.10+88.20+87.70) = 88.40甲乙5站的平均成績雖然相同，但是甲成績的極大值為92.80,乙成績的極大值為89.10,14分甲成績的極大值高于乙成績的極大值，所以甲的成績會比乙的更好.(19)解：(I )因為/(x) = 6x24x,所以尸(0) = 0.因為0

15、) = 3, 所以切線方程為y - 3 = 0(x 0),即y = 34分(II)設g(X)=/(x)-(2x+1) = 2x3-2x2+3-(2a + 1)(x0),即 g(x) =- 2x2 -2x + 2，gfM = 6x2 -4x- 2 = 2(3/ - 2x-1) = 2(3x +1 )(x-1),令 g(x) =。，則 X = 1 或工=一；g(x)，g(x)隨工變化情況如下表：X(0,1)1。）g(x)0+g(x)極小值所以 g(x)2g(l) = 2 2 2 + 2 = 0.所以 2/ 2/ + 3 - (2x +1) N 0 , f(x)2x + 110 分(Ill)由于力(

16、x) = 8x2-34,xe R ,設q(x) =/(x)-(x) = 2x-2x?+3-8x?+34, qx = 2x3 -1 Ox2 + 37 , qx) = 6x2 20x = 2x(3x -10).，(x),q(x)隨x變化情況如下表：X0（0,馬10310（Q，+s）q (%)+00+4(x)/極大值極小值7由表可知夕（0） = 37, ）=-,因為式3） = 10,鼠4） = 50,49（?P（4）v。，所以虱幻在（3,刊），（”,4）分別有唯一零點.所以q（x）在（3,4）內(nèi)有兩個零點，在（0,3）, （4,+s）內(nèi)無零點，（一8,0）內(nèi)有唯一零點.所以存在唯一的自然數(shù)? = 3

17、,使得力（外與/（%）的圖象在（機,? + 1）上有兩個不同公共點.15分（20）解：（二）根據(jù)題意得：a = 2 c4 = 2c 1-=- 解得/c = la 2川=2_b = y/3所以橢圓C的方程為+ = 1.43（匚）證法1：因為點河為橢圓上頂點,所以點M的坐標為M值,JJ）.設直線 MA:y = Kx+6,廠,廣1+ = 143 得(3 + 4代)/+8的仁工=0.y = kx + y/3設點人（當，必），8（，%），解得XL普,所以%=%西+0=一4五立4勺+344+35 廣 T；+3C 5 a、嵋+3 +N 仁6 = = 二 一丁;% + 3設直線MB： y = k?x+6k 1

18、同理可得卻川=一左一廠.3 k、3又因為kJ, = 3）所以女）=丁.七2“一， k、 1 kx 1 所以 %，= = - .3 a 3 K所以女AN = kpN17所以直線A3過定點N（0, 2有）.14分證法2：由題意可知，直線A區(qū)存在斜率聯(lián)喉2二=。設直線AB的方程為：y =辰+加，則消去y 得(3 + 48)Y + 8kvc + 4-12 = 0. = 64%2/ -4x(3 + 41(4/ 一12)0.即 4攵 2z2+3o,設 A（N，yJ，A（xry2）,則8km4/一12二一際, 5所以左=因為占&=3,所以3 + 0 一6)kx2 + (7 一 6)13 + (? g)仁 + (XX2XX2所以(女2 3)再再 +攵(7 6)(再 +再) + (，一6) = 0 ./ 午 x 4/?12 12 8K?(2-g)2所以 k-3)b+ 3+1=所以3?2 + 277-15 = 0,即(Rn + 5)(/? 3)= 0.s n所以7 = 一*或?=逐(舍).所以直線A3的方程為：)，=日工. .3所以直線A3過定點N(0, *途)14分(21)解：詳細分析： 1,3,4,1；1,3,4,2；1,3,4,3；1,3,4,44分(II) i)當。 0, /(X)= ux2 - 2x 的對稱