等積法求體積點(diǎn)到面的距離教師版

1、等積法求三棱錐的體積【教師版】2014/10/14由于三棱錐是由4個(gè)三角形圍成的四面體，任何一個(gè)三角形都可以看成其底面。但在求體 積時(shí)需要選擇合適的底和高，這就需要靈活換底面，但是三棱錐的體積保持不變。這種方 法我們稱為“等積法”，它是三棱錐求體積的巧妙方法，也是其“專屬產(chǎn)品”。其他的， 如四棱錐求體積就不能隨意換底，不能用等積法求體積。另外，等積法的優(yōu)越性還體現(xiàn)在 求“點(diǎn)到平面的距離”中?！咀⒁狻康确e法求體積時(shí)，要謹(jǐn)記“先證后求”的原則，先作出或證明底面的高，再計(jì)算三 棱錐的體積。例1 例2. (2011佛山一中三校聯(lián)考)如圖，已知三棱錐 ABPC中，APXPC, AC1M為AB中點(diǎn)，D為P

2、B中點(diǎn)，且 PMB為正三角(I )求證：DM /平面APC ;(II)求證：平面 ABC，平面APC ;(m)若 BC=4, AB = 20,求三棱錐 D BCM的體例2.解：(I)由已知得，MD是AABP的中位線二 MD / AP2分二 MD / 面APC 4 分(H) ：APMB為正三角形，D為PB的中點(diǎn),- MD _L PB, 5分二 AP _L PB 6分又 AP _L PC,PB c PC = P _ AP _L H PBC 7 分又 BC _L AC, AC c ap = A二 BC _L 面APC 9分丁 BC u面ABC二平面ABC，平面APC 10分(m) : MD _L&#

3、174;PBC ,二MD是三棱錐 MDBC的高，且MD= 5J3門 分又在直角三角形 PCB中，由PB = 10, BC=4,可得PC = 2j2i12分于是 S由cd =1S4cp = 221 , 13 分2，Vd -bcm = Vm _dbc = - Sh = 1071 4 分3例3.(茂名2010二模)如圖，在底面是菱形的四棱錐 S-ABCLfr, SA=AB=2SB-SD - 2 .2.(1)證明：BD _L平面SAC(2)問：側(cè)棱SD上是否存在點(diǎn)E,使得SB平面AC日請(qǐng)證明你的結(jié)論;(3)若BAD =120° ,求幾何體A SBD的體積。例3.解：(1) 丫四棱錐S-ABC

4、加面是菱形，, BD _L AC 且 AD=AB太又 SA=AB=2 SB = SD = 2 2.,SA1AB,SA1AD>/總>又 ABc AD = A , 2 分jf：二味/s SA_L平面 ABCD BD u 平面 ABCD 從而 SABD3分T又 SAc AC = A ,BD _L平面SAC 4分(2)在側(cè)棱SD上存在點(diǎn)E,使得SB平面ACE其中E為SD的中點(diǎn)6分 證明如下：設(shè)BDcAC=O,則。為BD的中點(diǎn)，又E為SD的中點(diǎn)，連接OE則OE為ASBD的中位線。7分.OE/SB,又OEu平面AEC SB0平面AEC吩.SB/平面ACE1訴0101(3)當(dāng) /BAD =120

5、 時(shí)，S&bd =-AB ADsin120 =一父2父2父 22:幾何體A SBD的體積為VA _SBD =VSUBD =二 SABD SA =二父向父 2 = - - . 14 分 333點(diǎn)到面的距離、知識(shí)點(diǎn)(求點(diǎn)到面的距離主要方法：)(1)直接法：由定義作出垂線段并計(jì)算，用線面和面面垂直的判定及性質(zhì)來作；(2)轉(zhuǎn)移法：若直線AB/平面口，則直線AB上任意一點(diǎn)到平面的距離相等;(3)等體積法：用同一個(gè)三棱錐選不同底計(jì)算體積，再求高，即點(diǎn)到面的距離。、基礎(chǔ)熱身1、在棱長(zhǎng)為a的正方體AC1中找出表示下列距離的垂線段直接法：AB(1)點(diǎn)A到面BCC1B1的距離；(2) B1D1到面ABCD

6、的距離;(3)點(diǎn)A到面BDD1B1的距離.求C到平面BDC1的距離。AC轉(zhuǎn)移法：棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中，E,F分別是棱AA', BB'中點(diǎn)，求點(diǎn)B'到平面D'EF的距離提示：因?yàn)锳'B'/EFn A'B'/平面D'EF ,所以點(diǎn)B'到平面D'EF的距離即為點(diǎn)A'到平面 D'EF 的距離。作 A'H _LED',證明 A'H，平面 D'EF。A'H =- 05【活學(xué)活用】3、在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD

7、-A'B'C'D'中,E,F分別為棱BB'和CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)F到平 面A'D'E的距離。提示：法一直接法：將三角形擴(kuò)大到平行四邊形，高FH _L 平面 A'D'GE 。取CC'的中點(diǎn)G,連接D 'G、EG ,過F作垂線FH ± D'G O可以證得EG/A'D',所以平面 A'D'GE,即平面 A'D 'E可以證得eg，平面DCC' D ',所以eg ±fh由 FH，D 'G、EG ± FH , EG

8、?n D'G ?=?G?可知 FH，平面 A' D 'GE所以FH即F到平面A'D'E距離。根據(jù)勾股定理可以求得:DGj+(2T，D'Gd又知： FD 'G 的面積？=?s 四邊形 DCC 'D '?-?s DD 'F ?-?s D 'C'G ?-?s fgcFh"氈D'G 10法二：轉(zhuǎn)移法:FP/平面 A'D'E,作 PQ_LA'E。等積法求點(diǎn)到面的距離：4.已知在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCD'中，E F分別是AB'、CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)

9、B到平 面AEC F的距離。等積法Vb /ef=Vf aEBPAF工三、知識(shí)運(yùn)用 例 1:如圖四棱錐 S-ABCD , AB _L AD,AB/CD,CD =3AB ,面 SAD_L面ABCD , M 是線段AD 上一點(diǎn)，AB=AM =1, DM = DC,SM _L AD .證明：BM 1SSMC求點(diǎn)C到面SMB的距離。EX1如圖，在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCDK/ABC =60 : PC _L®ABCD , E,F 是 PA和 AB的中點(diǎn)（1）求證：EF平面PBC（2）求E到平面PBC的距離。提示：由（1）知EF平面PBC所以E到平面PBC的距離等于點(diǎn) F到平面PBC的距離a 一FH

10、_LBC , FH =即為所求。2例2: （2010江蘇卷）如圖，在四棱錐P-ABCDt, PDL平面/ DC / BCD=9h求點(diǎn)A到平面PBC的距離。解析（方法一）分別取AB PC的中點(diǎn)E、F,連DE DF,則: 易證DE/ CB，DE/平面PBC點(diǎn)D E到平面PBC勺距離相等。又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC1平面PCD所以平面PBCL平面PCDT PG 因?yàn)镻D=DC PF=FC所以DF± PG 所以DF1平面PBC于F 易知DF=«2 ,故點(diǎn)A到平面PBC勺距離等于V2。1AB=Z ABAB2(方法二)等體積法：連結(jié)AC設(shè)點(diǎn)

11、A到平面PBC勺距離為ho因?yàn)?AB/ DC / BCD=90 所以/ ABC=90=從而AB=Z BC=1,彳3MBC的面積S聾bc =11由PDL平面ABC吸PD=1,得二棱錐P-ABC的體積V =；S/ABC.PD因?yàn)镻D，平面ABCD DC=平面ABCD所以PCL DC又 PD=DC=1 所以 PC =Jpd2+dc2 =72。由PC! BG BC=1,彳導(dǎo)APBC的面積S也BC =/。11由 VA _PBC VP UBC , S PBC h = V =,行 h = V2 , 33故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于 展。EX2: (2010廣東文數(shù))如圖4,弧AEC是半彳全為a的半圓,AC為

12、直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，平面 AEC#一點(diǎn)F滿足FC_L平面BED,FB=5a(1)證明：EB_FD(2)求點(diǎn)B到平面FED的距離.【解析】(1)證明：二點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，即BD, FC點(diǎn)B為圓的圓心又: E是弧AC的中點(diǎn)，AC為直徑，.二BC_LEB, EB_L平面BDE ,又BD仁平面FBD ,EB 匚平面 BDE , FC 1 EBFC仁平面FBD且BD仆FC = CEB 1平面FBD又; FD仁平面FBD,EB FD(2)解：設(shè)點(diǎn)B到平面FED的距離(即三棱錐B-FED的高)為h.:FC _L平面BDE ,. FC是三棱錐F-BDE的高，

13、且三角形FBCJ直角三角形由已知可得 BC = a,又 FB = V5a /. FC =V(v'5a)2 a2 =2a1c在 RMBDE 中，BD =2a,BE = a ,故 S®de =-x2a><a = a2,2Vf*de =1SBDE FC =1 a2 2a =2a3, 333又: EB _L平面FBD ,故三角形EF出口三角形BD助直角三角形，. EF = V6a, DE = 45a ,在 RtHCD 中，F(xiàn)D = <5a,S占ED1 .21 2 2 34,21, V F _BDE=VB _FED即-a ，h = - a ,苞C h =a ,3232

14、1即點(diǎn)B到平面FED的距離為h =生21a21備用題:1、四棱錐 P-ABCD,底面 ABCM直角卞$形，PDj_底面 ABCD PD=DC=BC= AB=2, AB|CD/ABD90 ,求點(diǎn)D到平面PAB的距離.2、四棱錐P-ABCM,底面ABCD 為正方形，PAj_底面ABCDAB=/6,分別求點(diǎn)C與點(diǎn)D到平面PAB的距離.3、如圖幾何體是由正方體ABCD-ABCD 與四棱錐 E-A1BCD 組成，E為CC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 且 EC=CC, AB=2, M為 EB 的中 點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面ACD的距離.4、如圖 BCM區(qū)MCDTB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD平面BCD AB_L平面BCD求點(diǎn)A到平面MCD勺距離.5、錐P為AC(1-15所示，圖6是它的正(主)視圖.已知圓求該圓傕的側(cè)(3)求點(diǎn);口( 2)證明：AC _L 平面 POD ；面PAC的距離.ABCD1邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分