1.2多元函數(shù)與連續(xù).ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的極限及連續(xù)多元函數(shù)的極限及連續(xù)一、多元函數(shù)概念一、多元函數(shù)概念二、二、 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限三、三、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性四、四、 小結(jié)小結(jié) 習(xí)題課習(xí)題課（一區(qū)域（一區(qū)域一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念0P 1. 鄰域鄰域),( 0PU |0PPP .)()(| ),( 2020yyxxyx設(shè)設(shè) 是是 平面上的一個(gè)點(diǎn)，是平面上的一個(gè)點(diǎn)，是某一正數(shù)，與點(diǎn)某一正數(shù)，與點(diǎn) 距離小于距離小于 的的點(diǎn)點(diǎn) 的全體，稱為點(diǎn)的全體，稱為點(diǎn) 的的 鄰域鄰域，記為，記為 或（或（ ）。）。),(000yxPxoy ),(000yxP ),(yxP0P ),( 0PU

2、()0UP.),(0的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱稱，的的某某一一鄰鄰域域一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)如如果果存存在在點(diǎn)點(diǎn)是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE .EE 的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于2.內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)注意注意:.為為開開集集的的點(diǎn)點(diǎn)都都是是內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱如如果果點(diǎn)點(diǎn)集集EE),(41221 yxyxE例如，例如，的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱稱），也也可可以以不不屬屬于于身身可可以以屬屬于于本本的的點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)點(diǎn)的的點(diǎn)點(diǎn)，也也有有不不屬屬于于于于的的任任一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)既既有有屬屬如如果果點(diǎn)點(diǎn)EPEEPEEP即為開集即為開集3. 開集開集:4. 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn):EP EE的的邊

3、邊界界點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為的的邊邊界界DDDD設(shè)設(shè)是是 開開 集集 如如 果果 對(duì)對(duì) 于于內(nèi)內(nèi)任任 何何 兩兩 點(diǎn)點(diǎn) ， 都都 可可 用用 折折 線線 連連 結(jié)結(jié) 起起 來來 ，且且 該該 折折 線線 上上 的的 點(diǎn)點(diǎn) 都都 屬屬 于于， 則則 稱稱開開 集集是是 連連 通通 的的 ( (或或 稱稱 為為 弧弧 連連 通通 ） 5. 連通連通記為記為 .E 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.| ),(4122 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域. . .| ),(4122 yxyx例如，例如，xyo6. 區(qū)域區(qū)域:

4、7.有界集、無界集有界集、無界集則則稱稱為為無無界界點(diǎn)點(diǎn)集集為為有有界界點(diǎn)點(diǎn)集集，否否則則稱稱即即，不不超超過過間間的的距距離離與與某某一一定定點(diǎn)點(diǎn)，使使一一切切點(diǎn)點(diǎn)如如果果存存在在正正數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于點(diǎn)點(diǎn)集集EKAPKAPAEPKE, | ),(0 yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，| ),(4122 yxyx8. n維空間維空間;nR 設(shè)設(shè) 為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱 元數(shù)組元數(shù)組 的全體為的全體為 維空間，而每個(gè)維空間，而每個(gè) 元數(shù)組元數(shù)組 稱為稱為 維空間中的一個(gè)維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)點(diǎn)，數(shù) 稱為該點(diǎn)的第稱為該點(diǎn)的第 個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo)

5、 n),(nxxx21nn),(nxxx21nixin 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離面、空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n),(nxxxP21),(nyyyQ21.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可類似定義可類似定義鄰域：鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為(二二) 二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)，時(shí)，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù). . 多多元元函函數(shù)數(shù)中中同同樣樣有有定定義義

6、域域、值值域域、自自變變量量、因因變變量量等等概概念念. . 類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù) 設(shè)設(shè) 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) ， 變量變量 按照一定的法則總按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱 是變量是變量 的二的二元函數(shù)，記為元函數(shù)，記為 （或記為（或記為 ）.DDyxP ),(zzyx,),(yxfz )(Pfz 注注: :與單元函數(shù)類似與單元函數(shù)類似, ,對(duì)公式表示的多元對(duì)公式表示的多元1. 1. 定義定義例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arccos(),(yxyxyxf 解

7、解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?,| ),(22242yxyxyxD 函數(shù)函數(shù), ,使此算式有意義的自變量所確定的點(diǎn)使此算式有意義的自變量所確定的點(diǎn)集為這個(gè)函數(shù)的定義域集為這個(gè)函數(shù)的定義域. .2. 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)樵O(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，對(duì)于任意，對(duì)于任意取定的取定的 ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 ，這樣，以，這樣，以 為橫坐標(biāo)、為橫坐標(biāo)、 為縱坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)、 為豎坐標(biāo)在空間就確定為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)一點(diǎn) ，當(dāng)，當(dāng) 取遍取遍 上一上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集，這個(gè)點(diǎn)集切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集，這個(gè)點(diǎn)集稱為二

8、元函數(shù)稱為二元函數(shù) 的圖形的圖形.),(yxfz DDyxP ),(),(yxfz xyz),(zyxMxDy),(),(| ),(Dyxyxfzzyx 二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,右圖球面右圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限任意給定的正數(shù)任意給定的正數(shù) ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得，使得對(duì)于對(duì)于適合不等式適合不等式 20200)()(|0yyxxPP的一切點(diǎn)的一切點(diǎn) ，都有，都有P |),(

9、|Ayxf成立，成立，則稱則稱A為函數(shù)為函數(shù) 當(dāng)當(dāng)),(yxfz ,0 xx 0yy 時(shí)的極限，記為時(shí)的極限，記為 Ayxfyyxx ),(lim00(1)(1)二重極限二重極限鄰域內(nèi)有定義鄰域內(nèi)有定義( (在在P0P0處可以沒定義處可以沒定義) )，如果對(duì)，如果對(duì)定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxfz 000(,)P xy某個(gè)去心某個(gè)去心說明：說明：（1定義中定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(limyxfyyxx00 （3二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似函數(shù)類似（或（或)0

10、(),( Ayxf這里這里|0PP ）. . 證明極限存在不能用沿特殊方式證明；但證明極限存在不能用沿特殊方式證明；但證明極限不存在時(shí)，只需找自變量沿兩種證明極限不存在時(shí)，只需找自變量沿兩種不同方式趨近時(shí)，函數(shù)的極限值不同即可不同方式趨近時(shí)，函數(shù)的極限值不同即可.（4當(dāng)動(dòng)點(diǎn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn) 進(jìn)入定點(diǎn)進(jìn)入定點(diǎn) 的的 所對(duì)應(yīng)的曲面所對(duì)應(yīng)的曲面 介于平面介于平面),(yxP),(000yxP鄰域時(shí)，鄰域時(shí)，),(yxfz AzAz和和之間。之間。例例2 2 求證求證 證證01222200 yxyxyxsin)(lim012222 yxyxsin)(22221yxyx sin22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，

11、 22000)()(yx22221()sin0,xyxy 原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200yxyxyx )sin(lim,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x.)sin(lim022200 yxyxyxyxu2 證證例例4 4 證明證明 不不存在存在 26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300yxyxyx lim6263303xkxkxxkxyx lim,21kk 其值隨其值隨k的不同而變

12、化，的不同而變化， 故極限不存在故極限不存在不存在不存在.觀察觀察26300yxyxyx lim,圖圖形形263yxyxz （1 1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨向于趨向于),(000yxP， 若， 若極限值與極限值與k有關(guān)，則可斷言極限不存在；有關(guān)，則可斷言極限不存在； （2 2） 找兩種不同趨近方式， 使找兩種不同趨近方式， 使),(limyxfyyxx00存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP處極限不存在處極限不存在 確定極限不存在的常用方法：確定極限不存在的常用方法：?jiǎn)卧瘮?shù)求極限的方法、技巧在求多單元函數(shù)求極限的方法

13、、技巧在求多元函數(shù)極限時(shí)也可以用。元函數(shù)極限時(shí)也可以用。例例5 求求 11lim00 xyxyyx解解 2)11(lim)11)(11()11(lim11lim000000 xyxyxyxyxyxyxyxyxyyxyxyxn元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限 利用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有定義定義2 設(shè)設(shè) 元函數(shù)元函數(shù) 的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集 是其內(nèi)點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)是其內(nèi)點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得對(duì)于適合不等式，使得對(duì)于適合不等式 的一切點(diǎn)的一切點(diǎn) ，都有，都有 成立，則稱成立，則稱A為為 元函數(shù)元函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限，記為時(shí)的極限，記為 n)(P

14、f0PD, |00PPDP |)(|APfn)(Pf0PP APfPP )(lim0(2) (2) 二元函數(shù)的累次極限二元函數(shù)的累次極限),(limlim00yxfyyxx00lim lim( , ),yy xxf x y解釋解釋: :固定固定 , ,考察考察0yy ),(lim0yxfxx若此極若此極限限存在存在, ,記記),(lim)(0yxfygxx 再考察極限再考察極限0lim( ),yyg y若此極限存在并且等于若此極限存在并且等于A,A,那么那么000lim lim( , )lim( )yy xxyyf x yg yA 注注: :二重極限二重極限 累次極限累次極限例例1 1 討論函

15、數(shù)討論函數(shù) 在原點(diǎn)的二重極在原點(diǎn)的二重極限和累次極限限和累次極限. . 22),(yxxyyxf 2200lim),(limyxxyyxfxx 解解 累次極限累次極限, ,對(duì)任意對(duì)任意 有有 , 0 y故故200000limlim( , )limyxyf x yy 002 y同理得同理得200000limlim( , )limxyxf x yx 二重極限二重極限 沿沿xy 22200012lim( , )limxxyy xxf x yxx 沿沿xy 22200012lim( , )limxxyy xxf x yxx 二重極二重極限不存限不存在在例例2 2 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,1sin

16、1sin)(),(xyxyyxyxyxf的二重極限和累次極限的二重極限和累次極限. .解解 先考察累次極限先考察累次極限011lim()sinsinyxyxy 011limsinsinyxxy 右端極限不存在右端極限不存在, ,因此累次極限不存在因此累次極限不存在. .同理另一個(gè)累次極限也不存在同理另一個(gè)累次極限也不存在. .二重極限二重極限yxyxyxf1sin1sin)(0),( 0 yx存在等于存在等于0.0.三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性（1多元函數(shù)連續(xù)的定義多元函數(shù)連續(xù)的定義(2)(2)極限極限)(lim0pfpp存在存在; ;(3)(3)()(lim00pfpfpp 定義

17、定義3 3 假假設(shè)設(shè))(pf滿足下列條件滿足下列條件: :)(pf在在0p的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義; ;(1)(1)則稱函數(shù)則稱函數(shù))(pf在點(diǎn)在點(diǎn)0p連續(xù)連續(xù). .如果函數(shù)如果函數(shù))(pf在區(qū)域在區(qū)域D上每一點(diǎn)上每一點(diǎn)都連都連續(xù)，那么就稱函數(shù)續(xù)，那么就稱函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 上連上連續(xù)。續(xù)。)(pfD 設(shè)設(shè) 是函數(shù)是函數(shù) 的定義域的內(nèi)點(diǎn)，假的定義域的內(nèi)點(diǎn)，假設(shè)設(shè) 在在 點(diǎn)處不連續(xù)，則稱點(diǎn)處不連續(xù)，則稱 是是函數(shù)函數(shù) 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn).0P)(Pf)(Pf0P0P)(Pf定義定義 5：例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyx

18、yxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解 取取,cos x siny),(),(00fyxf )cos(sin 33 2 200 ),(),(fyxf故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),(),(lim),(),(0000fyxfyx , 0 ,2 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 220yx例例7 7 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)點(diǎn)的連續(xù)性點(diǎn)的連續(xù)性解解取取kxy 2200yxxyyx lim22220 xkxkxkxyx lim21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化， 極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不

19、連續(xù)多元函數(shù)的極限、連續(xù)與單元函數(shù)多元函數(shù)的極限、連續(xù)與單元函數(shù)具有相同的運(yùn)算性質(zhì)。具有相同的運(yùn)算性質(zhì)。例如：連續(xù)函數(shù)的加、減、乘、除例如：連續(xù)函數(shù)的加、減、乘、除作除法時(shí)，分母不為零及復(fù)合構(gòu)成作除法時(shí)，分母不為零及復(fù)合構(gòu)成的函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。的函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。（2多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)定義定義5 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的、可用一個(gè)式子表示的多元函數(shù)稱為多、可用一個(gè)式子表示的多元函數(shù)稱為多元初等函數(shù)。元初等函數(shù)。結(jié)論：結(jié)論： 多元初等函數(shù)在定義區(qū)域上連續(xù)。多元初等函數(shù)在定義區(qū)域上連續(xù)。例如，

20、例如，1),(22 yxyxyxfz在在xoy平面平面上連續(xù)。上連續(xù)。（3閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函上的多元連續(xù)函數(shù)，在數(shù)，在D上至少取得它的最大值和上至少取得它的最大值和最小值各一次最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值上取得介于這兩值之間的任何值至少一次之間的任何值至少一次1.最大值和最小值定理最大值和最小值定理2.介值定理介值定理例例8 8).sin(lim00yxyx 求求).()(lim)()()

21、()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續(xù)續(xù)，于于是是在在點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，則則的的定定義義區(qū)區(qū)域域的的是是初初等等函函數(shù)數(shù)，且且是是時(shí)時(shí)，如如果果一一般般地地，求求解解 因?yàn)橐驗(yàn)?sin(yxz 為初等函數(shù)，且為初等函數(shù)，且)0 , 0(在其定義區(qū)域內(nèi)，所以在其定義區(qū)域內(nèi)，所以0)sin(lim00 yxyx多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）（注意趨近方式的任意性）四、小結(jié)四、小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義思考題思考題 若點(diǎn)若點(diǎn) 沿著無數(shù)多條平面曲線趨向沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)于點(diǎn) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 都趨向于都趨向于A，能否斷，能否斷 定定 ？),(yx),(00yx),(yxfAyxfyxyx ),(lim),(),(00思考題解答思考題解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf ),(),(00yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因?yàn)槿羧≡驗(yàn)槿羧?2yx