三角形邊角關(guān)系

1、題型二：三角形三邊關(guān)系A(chǔ)CBB圖1圖2圖31、已知：如圖1,AABC中，D是AB上除頂點外的一點.，求證：AB+AODB+DC2、已知：如圖2，ABC中, p是厶ABC內(nèi)的一點.， 求證：AB+AODB+DC3. 已知：如圖 3，ABC中，點 PABC內(nèi)任一點求證： AB+BC > PB+PC延長BP與AC交于點D,4. 如圖所示，已知在厶ABC中，AB=AC =8，P是BC上任意一點，PD丄AB于 點D，PE丄AC于點丘若厶ABC的面積為14，問：PD+PE的值是否確定？若能 確定，是多少？若不能確定，請說明理由.C14題型三：三角形的中線的性質(zhì)1、將 ABC分成面積相等的四個三角形方

2、法一2、已知：如圖，求證：（1）SAOEAD BC。丘是厶ABC的三條中線，0為交點1二一Sabc (2)A0:0D=2:16FEO1.如圖， ABC 中，/ C = 2/ B，/ 1 = Z 2。求證：AB = AC+ CD .BDC2. 已知： ABC中，AB>AC , AD是/ BAC的平分線，P為AD上一點。求證：AB-AC>PB-PC.證明：T AB于 AC 延長 AC至U E點，使AE=AB / CE=ABAC / ADP分角BAC 在厶 AB和 AEP 中 / BAP= / EAP AP=AP AB=AE / ABPAPB=PE 在 PCE 中CE+PC=AB-AC+

3、PC > PE=PB / AAC > PB-PC3. 已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中點，AD是整數(shù)，求 AD解：延長 AD至U E,使AD=DE/ D是BC中點 BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC ACD BDE AC=BE=2在 ABE 中AB-BE V AE V AB+BE/ AB=4即 4-2 V 2AD V 4+21V AD V 3 AD=2三角形的角1、已知 ABC， 如圖1,若P點是.ABC和.ACB的角平分線的交點，請說明 P = 90； - A ;2 如圖2，若P點是.ABC和外角.ACE的角平分線的交點，你能

4、說明/ P= / A 嗎？ 如圖3 ,若P點是外角.CBF和.BCE的角平分線的交點，你能說明r 1P =90" -一 A 嗎？圖1圖21. 如圖,已知 ABC中，.ABC和.ACB的角平分線BD,CE相交于點O.(1) 若.ABC =50 , . ACB =70，貝U . B0C =(2) 若.ABC =48 , ACB =64，貝U . B0C 二(3) 若.A =60 ,則.B0C 二;(4) 請?zhí)骄?A與.BOC的關(guān)系.A2工人師傅在安裝木制門框時，為防止變形常常像圖中所示，釘上兩條斜拉的 木條，這樣做的原理是根據(jù)三角形的_性.3如圖，三角形紙片ABC中，/心65°

5、,/ B= 75°,將紙片的一角折疊，使 點C落在 ABC內(nèi)，若/ 1二20°，則/ 2的度數(shù)為.(記住結(jié)論)4.如圖，已知 AB/ CD / A=550，/ C=20。，則/ P=:變式一：如圖，BP平分/ FBC CP平分/ ECB.(1) 若/ A=40°，求/ BPC的度數(shù)；(2) 若/ A=a,求/ BPC的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)變式二：已知：ABC的角平分線，8為厶ABC的外角平分線，它與 B0的 延長線交于點0,試探索/ B0C與/ A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.引申：如圖，若E為BA延長線上一動點，連EC / AEC與/ ACE勺角平分線交 于Q,

6、當(dāng)E滑動時有下面兩個結(jié)論：/ Q+Z Ai的值為定值；/ Q-Z Ai的值為 定值，其中有且只有一個是正確的，請寫出正確的結(jié)論，并求出其值.一Z Q+Z A=180°)變式三：已知：如圖，線段 AB CD相交于點0,連接AD CB如圖，Z DAB和 Z BCD勺平分線AP和CP相交于點P,并且與CD AB分別相交于M N.試解答 下列問題：(1) 在圖中，若Z D=40o，Z B=30°,試求Z P的度數(shù)；(寫出解答過程)(2) 如果圖中Z D和Z B為任意角，其他條件不變，試寫出Z P與Z DZB之間 數(shù)量關(guān)系.(Z B+Z D=2Z P)如圖甲，在 ABC中, ADI

7、BC于D, AE平分/ BAC(1)若/ B=30°,Z C=70，則/ DAE= 20°(2) 若/ C-Z B=30，則/ DAE= 15°1(3) 若Z C-Z B=a(Z C>Z B),求Z DAE的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)；(-：)2(4) 如圖乙，當(dāng)Z CvZ B時我們發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論不成立，但為了使結(jié)論的統(tǒng)一與 完美，我們不妨規(guī)定：角度也有正負(fù)，規(guī)定順時針為正，逆時針為負(fù)例如：ZDAE- 18°，則Z EAD=18，作出上述規(guī)定后，上述結(jié)論還成立嗎？ 成立;若/ DAE- 7°,則Z B-Z C=14變式一：已知：如圖， AB

8、C中, Z B>Z C,人。是厶ABC的角平分線，點P是 AD上的一點，過點P畫PHL BC于 H(1) 求證：Z DPH= (Z B-Z C);2(2) 如圖2,當(dāng)點P是線段AD的延長線上的點時，過點P畫PHLBC于H,上述 結(jié)論任然成立嗎？請你作出判斷并加以說明.附國甘盪"W衣變式二：如圖，AE、OB、OC 分別平分/ BAC、/ ABC、/ ACB , OD丄 BC,求證：/ 1 =/ 2.1由(1)得.EOD ( ACB -. ABC)2EODOBC OCE1 OBE EOD =/2 . OCD1=2例3.如圖，P是 ABC內(nèi)任一點，求證：.BPC . A?！咀C明】：聯(lián)

9、結(jié)AP并延長，交BC邊于點D ；在AABP和也ACP中，由三角形外角性質(zhì)知:BPD BAP， CPD CAP BPD CPDBAP CAP BPC A?點評：證明此類角的不等關(guān)系時，大多考慮三角形內(nèi)角和定理的推論，即三角 形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角，它指出了三角形的一個外角與它 不相鄰的內(nèi)角的不等關(guān)系。例4.如圖，已知：在 長線交于G。求證：生 ABC中，AB AC, AEF = AFE，延長EF與BC的延1G( ACB - B)。24AC【證明】：在 BEG中，可得.AEG B . G在 MBC 中，可得 NACB=NCFG+NGv . CFG 二/AFE 二/AEF . AE

10、F =/ACBG 由、式可得：/ACB /G ZB ZG1二.G = (. ACB _/B)2?點評：對于比較復(fù)雜的幾何證明題，可以嘗試運用“反推法”。1.如圖， ABC中，/ A = 40°,把厶ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點A落在四邊 形BCDE內(nèi)部的A 處時，求/ 1 + Z 2的度數(shù)，并說明理由。1.80”2. 已知：如圖，在 ABC 中，A：. B：. C =3:4:5，BD、CE 分別是邊 AC、AB 上的高，BD、CE相交于H，求.BHC的度數(shù)。2. 【解答】：v ZA：NB：NC =3:4:5，NA+NB+NC=180 A =45B=601 C =75：聯(lián)結(jié) AH，貝U A = EAH DAH 、 BHC 二 EHD = EHA DHA v BD _ AC，CE _ AB EAH EHA =90%，DAH DHA =90： . EAH EHA . DAH DHA =180：又： EAH . DAH =/A =45 . DAH DHA =135；