乘法公式提高知識講解

1、乘法公式(提高)【要點梳理】 要點一、平方差公式平方差公式：(a + b)(“歷=/一，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.要點詮釋：在這里，"少既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同項，又有“相反項”，而結果是''相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變 式有以下類型：(1) 位置變化：如(a+b)(-b + a)利用加法交換律可以轉化為公式的標準型(2) 系數(shù)變化：如(3x + 5y)(3x5y)(3) 指數(shù)變化：如(m3 +n2)(m3 -n2)(4) 符

2、號變化：如(5) 增項變化：如(m4-n + p)(ni-n + p)(6) 增因式變化:(«-b)a + b)(a2 + b2(a4 + b4)要點二、完全平方公式完全平方公式：("+b)2=/+2ab+，(a-b)2 =a2 - 2ab + b兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘枳的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和(或差)的平方，右邊是二次三項式，是這兩 數(shù)的平方和加(或減)這兩數(shù)之枳的2倍.以下是常見的變形：a2 +h2 = (a + /?) -2ab =(“-/?)+ 2ab(a + b) =(abf +4ah要點三、添括號法則添括號時，

3、如果括號前而是正號，括到括號里的各項都不變符號：如果括號前而是負號, 括到括號里的各項都改變符號.要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查 添括號是否正確.要點四、補充公式(x + p)(x + q) = x2 +(p + q)x4- pq : (a±b)(a2 ab+b2) = a3 ±b':(a ±b) = / ± 3a2b + 3ab2 ± l> : (a + h + c)2 =a2 +b2 +c2 + lab + lac + 2bc.【典型例題】類型一、平方差公式的應用計算(2+1) (

4、22+1)( 24+1)(28+1)(2,6+1)(232+1)+1.【思路點撥】本題直接計算比較復雜，但觀察可以發(fā)現(xiàn)2+1與2-1, 2? + 1與2，-1, 24 + 1與24-1等能夠構成平方差，只需在前而添上因式(2-1),即可利用平方差公式逐步計算.【答案與解析】解：原式=(2-1) (2+1)( 22 + 1)(24 + 1)(28+1)(2,6+1)(232+1) +1=(22 -1)( 22 + 1)( 24+1)(2s + 1)(2,6 + 1)(232 +1 )4-1=264-1+1=264.【總結升華】對于式子較為復雜的數(shù)的計算求值問題，不妨先仔細觀察，看是否有規(guī)律，然

5、后去解決，會事半功倍，提髙解題能力.舉一反三：【變式1】計算：(1) (x-3)(x2+9)(x + 3)(2) (e+b)( a-b)( a2+b2)( a4+b4)【答案】解：(1)原式=(X +3) (a* 3) (f +9)=(疋9) ( a" + 9) = x4 81.(2)原式=(" + )( a-b) a2+b2)( a4+b4)=(/一慶)(a2+b2)U a4+b4)= （一/）（ a4 +b4） = -Z?s 【變式2】(1)填空：(a - b) (a+b) =；(a-b) (a=+ab+b2) =:(a-b) (a'+b+ab'+b&#

6、39;) =.(2) 猜想：(a-b) (anl+aa：b+-+abns+bal) = (其中 n 為正整數(shù)，且 n>2).(3) 利用(2)猜想的結論計算：29 - 23+27 - -+23 - 2=+2,【答案】解：(1) (a-b) (a+b) =a - b'；(a-b) (a'+ab+b") =a3+a'b+ab" - ab - ab - b'二 a - b；(a-b) (a3+a=b+ab:+b3) =a,+a8b+a5b3+ab9 - a*b - a:bs - abs - b*=al - b1；故答案為:a: - b：>

7、; a3 - b1, a1 - b'(2) 由(1)的規(guī)律可得：原式二a" - b",故答案為:abl(3) 29 - 28+2T +2 - 25+2= (2 - 1) (2s+26+2s+2=+2) =342.新實驗中學校園正在進行綠地改造，原有一正方形綠地，現(xiàn)將它每邊都增加3米，面積則增加了 63平方米，問原綠地的邊長為多少？原綠地的而枳又為多少？【答案與解析】解：設原綠地的邊長為x米，則新綠地的邊長為x+3米，根據(jù)題意得，(x+3) 5 - x=63,由平方差公式得,(x+3+x) (x+3 - x) =63,解得，x=9；原綠地的而積為：9X9=81 (平方

8、米)：答：原綠地的邊長為9米，原綠地的而積為81平方米.【總結升華】本題主要考査了平方差公式的應用，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差；(a+b) (a-b)二a：-b：,熟練應用平方差公式可簡化計算.舉一反三:【變式】解不等式組:(x + 3)(% - 3) - x(x - 2) > 1, (2x5)(2x-5) < 4x(1-x).【答案】(x + 3)(% _ 3) x(x _ 2) > 1, 解：</(2x - 5)(-2x - 5) < 4x(1 - x).由得F -9-x2 +2x> 1, 2x> 10, x>5 .由

9、得 5，-(2兀)2 <4x-4x2, 25-4x2 <4x-4x2,-Ax < -25, x > 6.25 不等式組的解集為x>6.25 類型二.完全平方公式的應用仇運用乘法公式幅(1)(0 + 2"-3)2： (2)(G + 2Z?3c)(a 2b + 3e)【思路點撥】(1)是一個三項式的平方，不能直接運用完全平方公式，可以用加法結合律將a + ” 3化成o + (2b 3),看成d與(2/?-3)和的平方再應用公式：(2)是兩個三項式相乘，其中幺與"完全相同，2b、-3c與-2/兒3c分別互為相反數(shù)，與平方差公式特征一致, 可適當添加括

10、號，使完全相同部分作為“一項”，互為相反數(shù)的部分括在一起作為“另一項”.【答案與解析】 解：(1)原式= G + (2一3)F=/+2"(2b 3) + (2b 3)2=a2 +4" 6“ + 4戻 一 12Z? + 9 =a2 + 4慶 4- 4ub 一 6“ 一 12Z? + 9 .(2)原式=a + (2_3c)a-(2b-3c) = a2-(2b-3c)2 = a1 -4b2 +2bc-9c2. 【總結升華】配成公式中的” “方”的形式再進行計算.舉一反三：【變式】運用乘法公式計算：(1) (ab+e)(a+bc)：(2) (2;vy + l)(y l + 2x):

11、(3)(Xy + z)2:(4)(2a + 3b1)(1-2d3/?).【答案】解：(d-b+c)(d+/?-c) = a ( 一c) "+(bc)a1 -b-c) =(r -(lr - 2bc + c2)=a2 -b，+2l)c-c2 (2x-y + l)(y-l + 2x) =2x+ (y-1)1 2x - (y-1)1 =(2x)?-(y-l)2 =4x2-(/-2y + l) = 4x2 -y2 +2y-l.(3) (x-y + z)" =(x-y) +訂=(x-y)2 +2(a -y) + 2=x2 -2xy + y2 +2xz-2yz + z2.(4) (2a

12、+ 3/?_l)(l_2a_3b)=_(2a + 3Z?_l)2=一(加+3仍22(加+3)+12 =- (2“)2 + 2 2a 3 + (3Z?)2 - 4“ - 6方 +1=4/12“b9Z?'+4d+6b1C4、已知 ZABC 的三邊長 a、b、ca2+b2+c2-ab-be -ac = O,試判斷 AABC 的形狀.【思路點撥】通過對式子變化，化為平方和等于零的形式，從而求出三邊長的關系.【答案與解析】 解：T a2 +b2 +c2 -ab-bc-ac = O 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0 ,即(a2 -2ab+b2) + (b2 -2bc + c2) + (a2 -2ac + c2) = 0 .即(a-b)2+(b-c)2 + (a-c)2 = 0.ab = 0, bc = 0, a c = 0,即a = b = c. :. AABC為