2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案：第37講空間夾角和距離

1、2021年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第37講空間夾角和距離一. 課標(biāo)要求：1 能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離；2. 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在研究幾何 問題中的作用。二. 命題走向空間的夾角和距離問題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本講的考察主要有以下情況：(1)空間的夾角；(2)空間的距離；(3 )空間向量在求夾角和距離中的應(yīng)用。預(yù)測(cè)2021年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。課本淡化 了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解， 因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角

2、和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考察。三. 要點(diǎn)精講1空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。(1) 異面直線所成的角的范圍是(0,。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決。具體步驟如下： 利用定義構(gòu)造角， 可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂 點(diǎn)選擇在特殊的位置上； 證明作出的角即為所求的角； 利用三角形來求角。(2) 直線與平面所成的角的范圍是0,。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。2具體步驟如下： 找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；

3、連結(jié)垂足和斜足， 得出斜線在平面的射影， 確定出 所求的角； 把該角置于三角形中計(jì)算。注：斜線和平面所成的角， 是它和平面內(nèi)任何一條直 線所成的一切角中的最小角，即假設(shè)B為線面角，a為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，那么有；(3) 確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法： 斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； 如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等， 那么這一點(diǎn)在平面上的射影在 這個(gè)角的平分線上； 如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等， 那么這一條直線在平面上 的射影在這個(gè)角的平分線上； 兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的 交線上； 利用某

4、些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a. 如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的 射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影 是底面三角形的垂心；(4) 二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指(0,，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法 棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角； 面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角

5、的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線， 再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)(即垂足)， 斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角； 空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線， 這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：S Seos (S為原斜面面積，S為射影面積，為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形，任意多邊形都成立是求二面 角的好方法當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí)，如果能找得斜面面積的射影面積，可直接應(yīng)用公 式，求出二面角的大小。2 .空間的距離(1) 點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P到直線a的距離為點(diǎn)P到直線 a的垂線段的長(zhǎng)，常

6、先找或作直線a所在平面的垂線，得垂足為A,過A作a的垂線，垂足為E連pe,那么由三垂線定理可得線段PE即為點(diǎn)P到直線a的距離。在直角三角形PAB中求出PE的長(zhǎng)即可。點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)P到平面的距離為點(diǎn)P到平面的垂線段的長(zhǎng)常用求法作出點(diǎn)P到平面的垂線后求出垂線段的長(zhǎng)；轉(zhuǎn)移法，如果平面 的斜線上兩點(diǎn)A, B到斜足c的距離ab,ac的比為 m:n,那么點(diǎn)a,b到平面的距離之比也為 m:n .特別地，AB = AC時(shí)，點(diǎn)A,B到平面的距離相等；體積法(2) 異面直線間的距離：異面直線a，b間的距離為a，b間的公垂線段的 長(zhǎng).常有求法先證線段AB為異面直線a，b的公垂線段，然后求出A B的 長(zhǎng)即可.找或

7、作出過b且與a平行的平面，那么直線a到平面的距離就是異 面直線a，b間的距離.找或作出分別過a，b且與b , a分別平行的平面，那么 這兩平面間的距離就是異面直線a，b間的距離.根據(jù)異面直線間的距離公 式求距離。(3) 直線到平面的距離：只存在于直線和平面平行之間.為直線上任意一點(diǎn)到平面間 的距離。(4) 平面與平面間的距離：只存在于兩個(gè)平行平面之間.為一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另 一個(gè)平面的距離。以上所說的所有距離：點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距都是對(duì)應(yīng)圖形上兩點(diǎn)間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。3. 空間向量的應(yīng)用(1)用法向量求異面直線間的距離如右圖所示，a、b是兩異

8、面直線，n是a和b的法向量，點(diǎn)E a, F b，那么異面直線 a與b之間的距離是EF n dbn(3) 用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面 的距離問題。(4) 用法向量求兩平行平面間的距離首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問題。(5) 用法向量求二面角如圖，有兩個(gè)平面 a與3,分別作這兩個(gè)平面的法向量1-kni與山，那么平面a與3所成的角跟法向量 ni與山所成的 角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。(6) 法向量求直線與平面所成的角要求直線a與

9、平面a所成的角B,先求這個(gè)平面 a的法向量n與直線a的夾角的余弦 cos n,a :，易知 B三 n,a：或者 ，n,a：。四. 典例解析題型1 :異面直線所成的角例1.(1 )直三棱住 AiBiCi ABC，/ BCA= 90°，點(diǎn) Di、Fi分別是AiBi、AiCi的中點(diǎn)，BC=CA=CC i,貝y BDi與AFi所成角的余弦值是()301、30/、寸 15(A )(B) (C)(D)-1021510(2)二二面角l的大小為600,m,n為異面直線，且m,n，那么 m,n所成的角為()(A) 300(B) 600(C) 900(D) 12001解析：(1)連結(jié) DiFi，那么 D

10、iFi/BQ ,1-BC / BiG 二 D1F1 /BC2設(shè)點(diǎn) E 為 BC 中點(diǎn)， DiFi/ BE ,a BDi/ EFiEFiA 或其補(bǔ)角即為 BD i 與 AFi30所成的角。由余弦定理可求得cos EF1A 。應(yīng)選A。10(2)二面角的大小為60°， m, n為異面直線，且 m,n，那么m,n所ILILUAC2,2,2 ,ILIllLlUllULUD1E 2,1, 2 , AB0,2,0,BB1uuu不難證明AC為平面BCiD的法向量，lUlU uuuuT COS(,LULL UUULiAC,DiE)AC gD1EUJlU|UlUUc 。AC DiE9成的角為兩條直線所成

11、的角，B=0°，選b。點(diǎn)評(píng)：通過平移將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條相交直線的夾角。 例2 正方體 ABCD AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)。 求：DiE與平面BCiD所成角的大小(用余弦值表示)解析：建立坐標(biāo)系如圖，那么 A 2,0,0、B 2,2,0 , C 0,2,0 ,A 2,0,2 , B 2,2,2 , Di 0,0,2 , EDiE與平面BCiD所成的角的余弦值為點(diǎn)評(píng)：將異面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角。題型2:直線與平面所成的角例3. PA、PB、PC是從P點(diǎn)出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為 60°，那么直線PC與平面PAB所成角的

12、余弦值是A.、2B.2D.解：構(gòu)造正方體如下圖，過點(diǎn)C作CO丄平面PAB，垂足為O,那么O為正 ABP的中心，于是/ CPO為PC與平面PAB所成的角。設(shè)PC=a ,貝U PO=-PD33a ,故3cos CPOPO即選CoPC3思維點(diǎn)撥：第2題也可利用公式 COSDCOS cos 直接求得。例2 如圖，直三棱柱 ABC AiBiCi中，底面是等腰直角三角形，/ACB = 90，側(cè)棱AAi= 2, D、E分別是CCi與AiB的中點(diǎn)，點(diǎn)求AiB與平面ABD所成角的大小結(jié)果用余弦值表示； 解析：如下圖，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為 C,設(shè) CA = 2a,那么 A2a, 0, 0,B0, 2a, 0,E

13、在平面ABD上的射影是 ABD的重心G。E(a, a, 1),D(0, 0, i), Ai(2a, 0,g(2?，2M), GEa3，'ULirBD 0,2a,i ,uui iLir GEgBD2 2 a3a= i,uuu GEuuuAB2,2, 20 ,23a313,23，13,ULL/ GE為平面ABD的法向量，且cos2),AiBiDEGyuuLur uuuA1B,GEuiuu uuu ABgGE uulu uuu AB GE二AiB與平面ABD所成角的余弦值是點(diǎn)評(píng)：先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量 夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角。題型3： 二面角例5.在四棱錐P ABC

14、D中, ABCD為正方形，PU平面 ABCD PA= AB= a, E為BC中點(diǎn)。1求平面PDE與平面PAB所成二面角的大小用正切值表示；2求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。解析：1延長(zhǎng)AB DE交于點(diǎn)F,那么PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱，/ PA1 平面 ABCD - ADLPA AB, PAA AB=A DAL平面 BPA于 A,過A作AO丄PF于O,連結(jié)OD那么/ AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角。.'5易得tan AOD，故平面PDE與平PAD所成二面角的正切值為 一；2 22解法 1 面積法如圖T ADLPA AB, PAAAB=A D

15、AL平面 BPA于 A,同時(shí)，BCL平面 BPA于 B, PBA是厶PCD在平面PBA上的射影，設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為0,COS 0 =Sapa“S pc d=：_/2 ='0 =45°。即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為 45解法2 補(bǔ)形化為定義法如圖：將四棱錐P-ABC補(bǔ)形得正方體 ABC PQMN那么PQL PA PD于是/ APD是兩面所成二面角的平面角。在Rt PAD中，PA=AD，那么/ APD=45。即平面 BAP與平面所成二面角的大小為 45 °。例6. 1如圖6，正三棱柱ABC A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱AAD是C

16、B延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD BC。求二面角B1 AD B的大小。略去了該題的，問2球0的半徑是1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，A、B兩點(diǎn)和A、C兩點(diǎn)的球面距離都是一，B、C兩點(diǎn)的球面距離是一，那么二面角BOA C的大小是)43(A)(B)-(C)-(D )43223解析：(1 )取 BC的中點(diǎn)O，連AO。由題意：平面ABC平面 BCC1B1， AOBC， AO平面 BCC1B1，BB,33A0,073，B 二,0,0，22AD 9,0,欽3，2 2B1DABD3。93，。為平面ABD平面 AB1Dx, y, z,n2 ADn2 B-i Dn293 3D 二,0Q, B1二丐占,0,22 23, 23

17、,0,BBi 0, 3飛,0,的法向量。ADB1D量為3 -3z 023x3® 02cos3綱3x不妨設(shè)乎，1,3，2 2BB1, n2BB1 n23IBBi I I “2 |3、3得 BB1,n260。故所求面角BiADB的大小為60。評(píng)析：1 用法向量的方法處理二面角的問題時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角問題時(shí) 的三步曲： 找一一證一一求直接簡(jiǎn)化成了一步曲： 計(jì)算，這外表似乎談 化了學(xué)生的空間想象能力，但實(shí)質(zhì)不然，向量法對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求 更高，也更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，表達(dá)了教育改革的精神；2此法在處理二面角問題時(shí)，可能會(huì)遇到二面角的具體大小問題，如此題中假設(shè)取n2會(huì)算得cosB

18、B1, n2-，從而所求二面2角為120 ，但依題意只為60。因?yàn)槎娼堑拇笮∮袝r(shí)為銳角、直角，有時(shí) 也為鈍角。所以在計(jì)算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后 根據(jù)計(jì)算取相等角或取補(bǔ)角。2解析：球O的半徑是R=1，A,B,C三點(diǎn)都在球面上，A, B兩點(diǎn)和 代C兩點(diǎn)的球面距離都是 ，那么/ AOB，/ AOC都等于，AB=AC , B,C兩點(diǎn)的球面距離是 ，4 43/ BOC= _ , BC=1，過B做BD丄AO，垂足為 D，連接 CD，貝U CD丄AD，那么/ BDC是 3OA C的大小是一，2F5面角B OA C的平面角，BD=CD= , / BDC=,二面角2 2選C。題型4:異

19、面直線間的距離例7如圖，正方體ABCD-A1 B1 Ci D1棱長(zhǎng)為a ,求異面直線ED與 B1 C的距離.Ci解法一：連結(jié)AC交BD的中點(diǎn)O,取CC1的中點(diǎn)M,連結(jié)BM交 BiC 于E,連 ACi ,那么 OM ACi,過E作 EF/O M交O17BMB于F,貝 V EF /AC1。BD。又斜線AC1的射影為AC,BDAC, BD AC1, FE同理AC1 B1C, EF B1C , EF為BD與B1C的公垂線，由于M為 CC1的中點(diǎn),MECMC ME 1s BEB,BB1BE 2 °BM雯匹Z，故BF 2 OBBO BM 335 2 5,BE MB a , EF/OM,233EF

20、 .BE2 BF2 -a3解法二轉(zhuǎn)化為線面距因?yàn)锽D/平面 B1D1C , B1C平面BDC ,故BD與 B1C的距離就是BD到平面B1D1C的距離。£ a2 a，得 h 山 a231毎由 Vb b1 d1cVd1 b1bc，即 34解法三.轉(zhuǎn)化為面面距易證平面BDC /平面A| BD，用等體積法易得A到平面ABD的距離為企。3同理可知：C1到平面B1D1C的距離為.a，而A1C339，故兩平面間距離為.解法四.垂面法如圖，ED/平面BpC ,B1 D1A1C1, B1D1OO1, BiD1 平面 OO1C1C ,平面 OOQQ 平面 B1 D1C = O1C , O1 B1D1，故

21、 OxhCB八。Ci到平面B1D1C的距離為Rt OQC斜邊上的高OC OO1O1C、2a a2?a；2AlBiCiM解法五。函數(shù)最小值法ME BC于E,過E作EN如圖，在上取一點(diǎn) M ,BD交BD于N，易知MNBD與B1C的公垂線時(shí)，MN最小。/CEB設(shè) BE=x , CE=ME= ax , ENx ,2MN= y 1 x2A22ax a22a-。3t丄2當(dāng)時(shí)x -a ,3例&如圖2,正四棱錐S ABCD 底邊長(zhǎng)AB 2。求異面直線 BD和SC之間的距 離？分析：建立如下圖的直角坐標(biāo)系，那么f,尹,芫,0,2 2 0,0,2。DB .2, 2,0,時(shí)，MN min.3a。3 的高SO

22、 2 ,令向量nr UULT 小n DB 那么 r uuun CSuuuCS(x,y,1)，且 n(J，j，2)。2 2LULT rUULDB, n CS ,0(x, y,1) (2,2,0)00(彳，訂0y 02 2 0n ( ：2,2,1) o異面直線BD和SC之間的距離為:uuur rOC n d r n汀z®血，血,1|1 1 o|2翦.(.2)2 ( 2)2 12 o題型5:點(diǎn)面距離例9.如圖，ABCD為邊長(zhǎng)是4的正方 形，E, F分別是AB,AD的中點(diǎn)，GC垂直 于ABCD所在的平面，且GC=2，求點(diǎn)B至U 平面EFG的距離。解法:連結(jié)B F ,B G ,S BEF1BE

23、1 FA - 22 2,22又E ,F分別是AB , A D的中點(diǎn)，EF1BD2.2,CH3 AC,24GH B CH2 A2 222 oS GEF-2 222211 , Vb EFG23211h 211h，Vg bef,211 h11解法二. E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),EF/BD,B到平面GEF的距離為BD上任一點(diǎn)到平面GEF的距離，BDA"O ,EF/BD,EF GC,EFEF AC,又GC 平面 ABCD,EF平面 ABCD,平面GEF,平面GEF 平面GCH,過O點(diǎn)作 00 HG,貝U 00 平面GEF,00為O到平面GCH的距離，即B到平面GEF的距離。OH AC 2

24、由解法一知：GH 22 ,由 H00 s HCG 得 40H 00 “2 11,00GH GC11思維點(diǎn)拔：注意點(diǎn)距，線面距，面面距的轉(zhuǎn)化，利用平面互相垂直作距離也是一種常用的方法。例10. 1 多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面 內(nèi)，其余頂點(diǎn)在 的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn) A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到 的距離分別為1,2和4, P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，那么P到平面 的距離可能是： 寫出所有正確結(jié)論的編號(hào) 3；4;5；6；72平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn) A在平面 內(nèi)，其余頂點(diǎn)在 的同側(cè)，其中有兩個(gè)頂點(diǎn)到 的距離分別為1和2 ,那么剩下的一個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離可能是：

25、1 ；2；3 ；4;以上結(jié)論正確的為。寫出所有正確結(jié)論的編號(hào) 解析：1如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，那么D、A1的中點(diǎn)到平的距離為1 ;所以選。面 的距離為3，所以D1到平面 的距離為6； B、A15的中點(diǎn)到平面的距離為一，所以B1到平面 的距離23為5;貝U D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到2平面 的距離為3;C、A1的中點(diǎn)到平面的距離為-,2 所以C1到平面 的距離為7;而P為C、C1、B1、D1 中的一點(diǎn)，所以選。2如圖，B、D到平面 的距離為1、2，那么D、3B的中點(diǎn)到平面的距離為一，所以C到平面 的距2離為3;B、C到平面 的距離為1、2,D到平面 的距離為x，

26、那么x 1 2或x 2 1,即x 1 , 所以D到平面 的距離為1;C、D到平面 的距離為1、2,同理可得B到平面 題型6:線面距離例11.正三棱柱 ABC AB1C1的底面邊長(zhǎng)為8,對(duì)角線EC 10 , D是AC的中點(diǎn)。1求點(diǎn)B到 直線AC的距離。2求直線 AB1到平面C1BD的距離。解析：1連結(jié)BD , B1D，由三垂線定理可得：B1D AC，所以BQ就是B1點(diǎn)到直線AC的距離。在 Rt B1BD 中 BB1 . B1C2 BC2. 102 82 6, BD 4.3 .(2)因?yàn)锳C與平面BD C1交于AC的中點(diǎn)D,設(shè) B1C BC1 E，那么AB1/DE，所以AB1/平面C1BD ,所以

27、ABi到平面BD G的距離等于A點(diǎn)到平面 BD G的距離，等于C點(diǎn)到平面BD q的距離，也就等于三棱錐C BDC1的高。VC BDC1VC1 BDC ,1 hS BDC1313SbdcCCi，所以，直線ABi到1312 J13平面BD C1的距離是帀一。思維點(diǎn)拔：求空間距離多用轉(zhuǎn)化的思想。 例1 2.如圖7,邊長(zhǎng)為E、F分別為BC和AC的中點(diǎn)，設(shè)平面 過PF且與 AE平行。離？4 2的正三角形 ABC中,PA 面 ABC，且 PA 2 , 求AE與平面間的距LLT分析：設(shè)AP、LLL LLLAE、EC的單位向量分別為ireLTe2、e3，選取e，e2 ，e3 作為空間向量的一組基底。易知J LJLTurLT ULe e2ee3 e30 ,LLLAPIT LLL2e,AE一 LT LLL26e2,EC2玄LJILLLLujurLLL 1 LLLTLLL 1 JJJLLJPFPA