2021年全國卷3文科數學試題及參考答案

1、絕密 啟用前試題類型：新課標皿2021 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 文科數學參考答案本卷須知：1. 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上 .2. 答復選擇題時， 選出每題答案后， 用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑 . 如 需改動， 用橡皮擦干凈后， 再選涂其他答案標號 . 答復非選擇題時， 將答案寫在答題卡上 . 寫 在本試卷上無效 .3. 考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回 .一、選擇題：本大題共 12 小題，每題 5 分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符 合題目要求的 .1 集合 A x|x 10 , B 0, 1, 2，那么 AI B ()A 0 B

2、1 C1, 2 D 0, 1, 2【答案】C【解析】A:x1，AI B1,2【考點】交集2 1i2i()A 3iB3iC 3 iD3i【答案】D【解析】1i2i 2 i2 i3i【考點】復數的運算3.中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出局部叫做榫頭，凹進局部叫做卯眼， 圖中的木構件右邊的小長方體是榫頭 . 假設如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成 長方體，那么咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是 ()A.B.C.俯視方向【答案】A【解析】注意咬合，通俗點說就是小長方體要完全嵌入大長方體中，嵌入后最多只能看到小長方體的一個面，而 B答案能看見小長方體的上面和左面，C答案至少能看見小

3、長方體的左面和前面，D答案本身就不對，外圍輪廓不可能有缺失【考點】三視圖14假設 sin3，那么 cos2 ()3C7 _9B.00 - 9AD7 _900B9/【解析】cos2 1 2sin9【考點】余弦的二倍角公式5某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金也用非現金支付的概率為0.15，貝U不用現金支付的概率為()A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】B【解析】1 0.45 0.15 0.4【考點】互斥事件的概率6.函數f x -1tanx的最小正周期為tan x【答案】【解析】tan x21 tan xtanx cos2 x2 21 tan x cos xs

4、in xcosx -sin2x x 一2 2定義域并沒有影響到周期【考點】切化弦、二倍角、三角函數周期7以下函數中，其圖像與函數y In X的圖像關于直線x 1對稱的是A. y In 1 x b . y In2 x c. y In 1 x d.y In 2 x【答案】B【解析】米用特殊值法，在y In x 取一點 A 3, In3,那么A點關于直線1的對稱點為A' 1，In3應該在所求函數上，排除A , C ,【考點】函數關于直線對稱2y 2上，那么. 2&直線x y 2 0分別與x軸、y軸交于點A, B兩點，點P在圓x 2 ABP面積的取值范圍是A.2,6 B.4, 82,3

5、.2 d .2 .2, 3 2【答案】【解析】A 2, 0 ,B 0,AB2 2，可設 P 22 cos ,2 sin，那么4 2sind P AB. 2 sin 2, 3、一 2S abp二 AB dp ab J2dp ab2, 6注：dp AB的范圍也可以這樣求：設圓心為O,那么O 2, 0，故d P ABdO AB，而do AB2.2 ,d P AB2, 3 2【考點】點到直線距離、圓上的點到直線距離最值模型圓的參數方程、三角函數 429. y x x 2的圖像大致為【答案】D【解析】f 12，排除A、B ； y' 4x除C【考點】函數圖像辨識按照奇偶性、2 210.雙曲線的C:

6、篤篤 1 aa b距離為A .2 B . 2C . 2 229V2x 2x 1 2x2，故函數在 0, -y單增，排特殊點函數值正負、趨勢、單調性導數的順序來考慮0, b 0的離心率為,那么點4, 0到C的漸近線的【答案】D【解析】e漸近線為【考點】雙曲線的離心率、漸近線之間的互相轉化11. ABC的內角A, B,C的對邊分別為a, b, c，假設 ABC的面積為【答案】C【解析】SabcrbsinC2.2 2 2.2 2a b ca b c，而 cosC -42ab故 absinC 2甜：曲 labcosC, C 242,4【考點】三角形面積公式、余弦定理12設代B, C, D是同一個半徑為

7、4的球的球面上四點,9 3，那么三棱錐D ABC的體積最大值為A . 12.3b 18.3 C. 24.3 D. 54. 3ABC為等邊三角形且其面積為【答案】B【解析】如圖，0為球心，F為等邊 ABC的重心，易知OF 底面ABC，當D, 0, F三點共線，即DF 底面ABC時，三棱錐D ABC的高最大，體積也最大此時：ABC等邊S ABC 9 3AB 6 ,在等邊 ABC中，BF3bE 弓AB 2.2在Rt OFB中，易知 OF 2 ,1DF 6，故 VD ABC max 空 9 3 6 18 3【考點】外接球、椎體體積最值r r r1,.假設 c 2a b，那么、填空題：本大題共 4小題，

8、每題5分，共20分13.向量 a 1, 2 , b 2,2 ,412【考點】向量平行的坐標運算14.某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其效勞的評價有較大差異，為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方式有簡單隨機抽樣，分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，貝U最適合的抽樣方法是.【答案】分層抽樣【解析】題干中說道“不同年齡段客戶對其效勞的評價有較大差異，所以應該按照年齡進行分層抽樣【考點】抽樣方法的區(qū)別2x y 3 0 115假設變量X, y滿足約束條件x 2y 4 0,那么z x -y的最大值是3x 20【答案】3【解析】采用交點法：交點為 2, 1 , (2)(3)交點為2, 3 ,(3)

9、交點為2, 751分別代入目標函數得到5 , 3 , 1，故最大值為3(為了嚴謹可以將最大值點2, 3代入33方程(1)檢驗一下可行域的封閉性 )此題也可以用正常的畫圖去做【考點】線性規(guī)劃16.函數f xIn . 1 x x1，f a4，那么fa【答案】 2【解析】令g xIn . 1 x2 x ，那么g xln . 1 x2xg x，f a g a 14，而 f ag a 1g a 12【考點】對數型函數的奇偶性三解答題：共70分解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第1721題為必考題,每個試題考生必須作答第22、23題為選考題，考生根據要求作答一必考題：共60分.17. 12 分等比數

10、列 an中，a1 1, a5 4a3.1求an的通項公式;(2)當 q2時,Sm63，解得m2 時，Sm63，得 2188無解記Sn為an的前n項和.假設 Sm 63，求 m.【答案】1ann 1 t、2 或 an2n 1；m 6【解析】1a54a3 a3q2，q 2，an2n 1 或 ann 12m綜上：m 6【考點】等比數列通項公式與前n項和公式18. (12 分)某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式，根據工人完成生產任

11、務的工作時間單位：min繪制了如下莖葉圖：第一種生產方式第二種生產方式86556899762701223456689877654332814452 110 0901根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；2求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m ,并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表：超過m不超過m第一種生產方式第二種生產方式根據中的列聯表，能否有 99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異?2附:K2n ad bea b ed a eb d 'PK2 k0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】1第二組生產方式效率

12、更高；2見解析；3有；【解析】1第二組生產方式效率更高；從莖葉圖觀察可知， 第二組數據集中在 70min80min之間，而第一組數據集中在80min90min之間，故可估計第二組的數據平均值要小于第一組數據平均值，事實上84匚 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 86 87 87 88 89 90 90 91 91 92 匕20同理E2 74.7，QE?巳，故第二組生產方式效率更高由莖葉圖可知，中位數79 8180,且列聯表為:超過m不超過m第一種生產方式155第二種生產方式515(3)由(2)可知k22 2 240 152 5210 6.635，20 20 20 20

13、故有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異【考點】莖葉圖、均值及其意義、中位數、獨立性檢驗19. (12 分)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧 CD所在的平面垂直，M是CD上 異于C, D的點.證明：平面 AMD 平面BMC ；(2)在線段AM上是否存在點P，使得MC /平面PBD ?說明理由C【答案】(1)見解析；P為AM中點ABCDCDMBC DCMBCDM【解析】(1)BCCDDM BMC ADN BMCMCDM(這邊只給出了證明的邏輯結構，方便大家閱讀，考試還需要寫一些具體的內容)當P為AM的中點時，MC/平面PBD .證明如下連接BD , AC交于點O,易知O為AC

14、中點，取AM中點P，連接PO,那么PO/AC，又MC 平面PBD , PO 平面PBD，所以MC/平面PBDC【考點】面面垂直的判定、線面垂直、存在性問題20. 12 分2斜率為k的直線l與橢圓c : 1'42y_1交于A, B兩點，線段AB的中點為M 1, m m 01證明：k 1 ；2設F為C的右焦點,uurP為C上一點，且FPiLur uiur FA FBrurn0.證明2 FPuui FAuuiFB【答案】1見解析；見解析【解析】1點差法：設A X1, Y1B X2, y2，那么2X1T2X242 yL 3231相減化簡可得:1y1y2y1y2334，koM kAB此公式可以作

15、為點差法的二級結論在選填題中直接X1X2X1X24431 m211用，m 4k，易知中點M在橢圓內，3 1，代入可得k 或k ，又m 0，1k 0，綜上k 22 2X y_ 1聯立法：設直線方程為 y kx n，且A X!, y1 , B X2, y2，聯立 43 可得,y kx n8knX1X24k2 23 x 8knx 4n 120，那么4 k23X1X24n2124k23y1y2k X1X22n6n4 k23XM14kn4k23c，兩式相除可得m3nyM m4k23較麻煩4k，后續(xù)過程和點差法一樣如果用算的話比uiuiuunuuuruuruuiur14mQ FPFAFB0，FP2FM0，

16、即 P 1, 2m，431，3,7mm0k1,n mk44(1)求曲線y f x在點0,1處的切線方程;(2)證明：當a1時，f xe 0.【答案】(1)2xy1 0;(2)見解析2 ax2a1 x 2【解析】(1) f'x,f' 02e因此曲線y fx在點0,1處的切線方程為:2x y 10(2)當 a1時，fx e2x.x 1xx 1 e e(利用不等式消參)由(1)得聯立前方程為7x214x -42 c a0,uuuuuu2 c aFAFBa ca cX2uun(或者fac2a a xi x23(橢圓的第二定義)同理uuuFBuuu 而FPuuuFAX2uuu uur F

17、B 2 FPULUFA212Xi42 X代入橢圓方程消掉yiuuuFB 4XiX23)【考點】點差法、直線與橢圓聯立求解、向量的坐標運算、禾U用橢圓方程消yi, y221. (12 分)函數f x2ax xXe令 g x x2 x 1 ex 1 那么 g' x 2x 1 ex 1 , g'' x 2 ex 1 0,g' x單調增，又g' 10 ,故當x 1時，g' x 0 , g x單減；當x 1時，g' x 0 , g x單增;故 g x g 10因此f x e 0【考點】切線方程、導數的應用 二選考題：共10分，請考生在22、23題中

18、任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題 計分22.選修4 4 :坐標系與參數方程10分在平面直角坐標系 xOy中，eO的參數方程為cos sin為參數，過點傾斜角為的直線I與eO交于A, B兩點.(1)求的取值范圍;求AB中點P的軌跡的參數方程【答案】(1)x3；(2)y、2sin 2遼遼cos22 234 , 4【解析】(1)當 -時,直線0，符合題意;-時，設直線i : ykx由題意得1，即kU 1,又 k tan4U 2,34綜上,43_42可設直線參數方程為tcos2tsin34 , 4代入圓的方程可得:t22 2tsin+ t1 t2 tP 丁cos- 2sin sin43_4即點P的軌跡的參數方