知識講解_集合的基本關系及運算_基礎

1、集合的基本關系及運算【學習目標】1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別一些給定集合的子集在具體情境中，了解空集和全集的含義2.理解兩個集合的交集和并集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集【要點梳理】要點一：集合之間的關系1.集合與集合之間的“包含”關系集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合，我們說集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集(subset).記作：，當集合A不包含于集合B時，記作AB，用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關系：要點詮釋：（1）“是的子集”

2、的含義是：的任何一個元素都是的元素，即由任意的，能推出（2）當不是的子集時，我們記作“(或)”，讀作：“不包含于”（或“不包含”）真子集：若集合，存在元素xB且，則稱集合A是集合B的真子集(proper subset).記作：AB(或BA)規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合與集合之間的“相等”關系，則A與B中的元素是一樣的，因此A=B要點詮釋：任何一個集合是它本身的子集，記作要點二：集合的運算1.并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：AB讀作：“A并B”，即：AB=x|xA，或xBVenn圖表示：要點詮釋：（1）“xA

3、，或xB”包含三種情況：“”；“”；“”（2）兩個集合求并集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復元素只出現(xiàn)一次).2.交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：AB，讀作：“A交B”，即AB=x|xA，且xB；交集的Venn圖表示：要點詮釋：（1）并不是任何兩個集合都有公共元素，當集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是（2）概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“AB中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時“A與B的公共元素都屬于AB”（3）兩個集合求交集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.3.

4、補集全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U.補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集(complementary set)，簡稱為集合A的補集，記作：補集的Venn圖表示：要點詮釋：（1）理解補集概念時，應注意補集是對給定的集合和相對而言的一個概念，一個確定的集合，對于不同的集合U，補集不同（2）全集是相對于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題，則為全集；而當問題擴展到實數(shù)集時，則為全集，這時就不是全集（3）表示U為全集時的補集，如果全集換成其他集合（如）時，則

5、記號中“U”也必須換成相應的集合（即）4.集合基本運算的一些結(jié)論：若AB=A，則，反之也成立若AB=B，則，反之也成立若x(AB)，則xA且xB若x(AB)，則xA，或xB求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結(jié)合的思想方法.【典型例題】類型一：集合間的關系例1. 請判斷00 ；，正確的有哪些？【答案】【解析】錯誤，因為0是集合中的元素，應是；中都是元素與集合的關系，正確；正確，因為是任何集合的子集，是任何非空集合的

6、真子集，而中的為非空集合；錯誤，是沒有任何元素的集合【總結(jié)升華】集合的符號語言十分簡潔，因而被廣泛用于現(xiàn)代數(shù)學之中，但往往容易混淆，其障礙在于這些符號與具體意義之間沒有直接的聯(lián)系，突破方法是熟練地掌握這些符號的具體含義.舉一反三：【變式1】用適當?shù)姆柼羁眨?1) x|x|1 x|x21；(2)y|y=2x2 y|y=3x2-1； (3)x|x|>1 x|x>1；(4)(x，y)|-2x2 (x，y)|-1<x2【答案】 (1)= (2) (3) (4) 【總結(jié)升華】區(qū)分元素與集合間的關系，集合與集合間的關系.例2.（2015秋 確山縣期中）已知A=xx24=0，B=xax6

7、=0，且B是A的子集（1）求a的取值集合M；（2）寫出集合M的所有非空真子集【思路點撥】對（1）根據(jù)A集合中的元素，分類討論B的可能情況，再注解a，寫出集合M根據(jù)含有n個元素的集合的真子集個數(shù)是2n1，求解（2）【答案】（1）M=0，3，3；（2）0，3，3，0，3，0，3，3，3【解析】（1）A=2，2B是A的子集，B=，2，2，B=時，方程ax6=0無解，得a=0；B=2時，方程ax6=0的解為x=2，得2a6=0，所以a=3；B=2時，方程ax6=0的解為x=2，得2a6=0，所以a=3所以a的取值集合M=0，3，3（2）M=0，3，3的非空真子集為0，3，3，0，3，0，3，3，3【總

8、結(jié)升華】本題考查集合的子集問題，含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2n，真子集個數(shù)是2n1；非空真子集個數(shù)是2n2舉一反三：【變式1】已知，則這樣的集合有 個.【答案】7個【變式2】同時滿足：；，則的非空集合有（ ）A. 16個 B. 15個 C. 7個 D. 6個【答案】C 【解析】時，；時，；時，；時，；時，；非空集合可能是：，共7個.故選C.【變式3】已知集合A=1，3，a， B=a2，并且B是A的真子集，求實數(shù)a的取值.【答案】 a=-1， a=或a=0【解析】， a2A， 則有：（1）a2=1a=±1，當a=1時與元素的互異性不符，a=-1；（2）a2=3a=（3）a2=aa=

9、0， a=1，舍去a=1，則a=0綜上：a=-1， a=或a=0.注意：根據(jù)集合元素的互異性，需分類討論.【高清課堂：集合的概念、表示及關系377430 例2】例3. 設M=x|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，則M與N滿足( )A. M=N B. MN C. NM D. MN=【答案】B【解析】當aN+時，元素x=a2+1，表示正整數(shù)的平方加1對應的整數(shù)，而當bN+時，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然數(shù)的平方加1對應的整數(shù)，即M中元素都在N中，但N中至少有一個元素x=1不在M中，即MN，故選B.例4已知若M=N，則=

10、 A200 B200 C100 D0【思路點撥】解答本題應從集合元素的三大特征入手，本題應側(cè)重考慮集合中元素的互異性【答案】D【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由00，|x|，y可知若x=0，則xy=0，即x與xy是相同元素，破壞了M中元素互異性，所以x0.若x·y=0，則x=0或y=0，其中x=0以上討論不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破壞了N中元素的互異性，故xy0若，則x=y，M，N可寫為M=x，x2，0，N=0，|x|，x由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上討論知不成立若|x|=1即x=±

11、;1當x=1時，M中元素|x|與x相同，破壞了M中元素互異性，故 x1當x=-1時，M=-1，1，0，N=0，1，-1符合題意，綜上可知，x=y=-1=-2+2-2+2+2=0【總結(jié)升華】解答本題易忽視集合的元素具有的“互異性”這一特征，而找不到題目的突破口因此，集合元素的特征是分析解決某些集合問題的切入點舉一反三：【變式1】設a，bR，集合，則b-a=( )【答案】2【解析】由元素的三要素及兩集合相等的特征：當b=1時，a=-1，當時，b=a且a+b=0，a=b=0(舍)綜上：a=-1，b=1，b-a=2.類型二：集合的運算例5.（1）（2014 湖北武漢期中）已知；，則AB（ ）A B C

12、2，2 D（2）設集合M=3，a，N=x|x22x0，xZ，MN=1，則MN為（ ）A 1，2，a B 1，2，3，a C 1，2，3 D 1，3【思路點撥】（1）先把集合A、B進行化簡，再利用數(shù)軸進行相應的集合運算（2）先把集合N化簡，然后再利用集合中元素的互異性解題【答案】（1）C （2）D【解析】（1）集合A、B均表示構(gòu)成相關函數(shù)的因變量取值范圍，故可知：A=y|y2，B=y|y2，所以AB=y|2y2，選C（2）由N=x|x22x0，xZ可得：N=x|0x2，xZ=1，又由MN=1，可知1M，即a=1，故選D舉一反三：【變式1】設A、B分別是一元二次方程2x2+px+q=0與6x2+(

13、2-p)x+5+q=0的解集，且AB=，求AB.【答案】， ，-4【解析】AB=，是方程2x2+px+q=0的解，則有： (1)，同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)聯(lián)立方程(1)(2)得到：方程(1)為2x2+7x-4=0，方程的解為：x1=， x2=-4， ，由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3=， x4=，B=， ，則AB=， ，-4.【變式2】設集合A=2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，若AB=2，3，求AB.【答案】 2，3，6，18【解析】由AB=2，3，知元素2，3是A，B兩個集合中所有的公共元素，所以32，a2-2a，6，則必有a2-

14、2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1當a=3時，A=2，3，6，B=2，18，3AB=2，3，62，18，3=2，3，6，18當a=-1時，A=2，3，6，B=2，2，-9這既不滿足條件AB=2，3，也不滿足B中元素具有互異性，故a=-1不合題意，應舍去.綜上AB=2，3，6，18例6. 設全集U=xN+|x8，若A(CuB)=1，8，(CuA)B=2，6，(CuA)(CuB)=4，7，求集合A，B.【答案】A=1，3，5，8，B=2，3，5，6【解析】全集U=1，2，3，4，5，6，7，8由A(CuB)=1，8知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)B=2，6，知不在

15、A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)(CuB)=4，7，知不在A中且不在B中的元素有4，7，則元素3，5必在AB中.由集合的圖示可得A=1，3，5，8，B=2，3，5，6.類型三：集合運算綜合應用例7（2014 北京西城學探診）已知集合A=x|4x2， B=x|1x3，C=x|xa，aR（1）若（AB）C=，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若（AB）C，求實數(shù)a的取值范圍【思路點撥】（1）畫數(shù)軸；（2）注意是否包含端點【答案】（1）a3 （2）a4【解析】（1）A=x|4x2， B=x|1x3，又（AB）C=，如圖，a3；（2）畫數(shù)軸同理可得：a4【總結(jié)升華】此問題從表面上看是集合的運算，但其本

16、質(zhì)是一個定區(qū)間，和一個動區(qū)間的問題思路是，使動區(qū)間沿定區(qū)間滑動，數(shù)形結(jié)合解決問題舉一反三：【變式1】已知集合P=xx21,M=a.若PM=P,則a的取值范圍是（ ）A(-, -1 B1, +） C-1，1 D（-，-1 1，+） 【答案】C 【解析】又 ， ， 故選C例8. 設集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【思路點撥】明確、的含義，根據(jù)的需要，將其轉(zhuǎn)化為等價的關系式和，是解決本題的關鍵.同時，在包含關系式中，不要漏掉的情況.【答案】（1）或；（2）【解析】 首先化簡集合，得.（1）由，則有，可知集合為，或為、，或為.若時，解得.若,代入得.當時，符合題意；當時，也符合題意.若，代入得，解得或.當時，已討論，符合題意；當時，不符合題意.由，得或.（2）.又，而至多只有兩個根，因此應有，由（1）知.【總結(jié)升華】兩個等價轉(zhuǎn)化：非常重要，注意應用.另外，在解決有條件的集合問題時，不要忽視的情況.舉一反三：【變式1】（2015 源匯區(qū)一模）設A=xx2+4x=0，B=xx2+2(a+1)x+a21=0，其中xR，如